静止电荷的电场

1、1大学物理（下）大学物理（下） 电磁学电磁学购买作业本购买作业本( (实验班使用实验班使用) )：每套：每套1212元元 时间：周一至周三下午时间：周一至周三下午2 2点点55点点 地点：理学院楼地点：理学院楼840840室室27.1 电荷电荷7.3 电场和电场强度电场和电场强度7.5 -6电场线和电场线和电通量电通量 高斯定理高斯定理7.2 库仑定律与叠加原理库仑定律与叠加原理7.4 静止的点电荷的电场及其叠加静止的点电荷的电场及其叠加7.7 利用高斯定理求静电场的分布利用高斯定理求静电场的分布补充补充*：高斯定理的微分形式高斯定理的微分形式目目 录录第第7 7章章 静止电荷的电场静止电荷的

2、电场37.1 电荷电荷m密立根密立根（R.A.Millikan）带电油滴实验带电油滴实验 （ 1906 1917 ,1923年诺贝尔物理奖）年诺贝尔物理奖）2、电荷是量子化电荷是量子化(quantization)的的基本电荷基本电荷 e =1.60217733(49) 10-19C1、电荷只有正电荷只有正、负两种负两种电磁现象归因于电荷及其运动电磁现象归因于电荷及其运动m宏观电磁学宏观电磁学电荷值连续电荷值连续m夸克夸克（quark）带分数电荷带分数电荷 和和 但实验未发现自由夸克（夸克囚禁）但实验未发现自由夸克（夸克囚禁）3 3e e 3/2e eenQ 同号相斥、异号相吸同号相斥、异号相吸

3、4 在不同惯性系中观测，同一带电粒子的电量在不同惯性系中观测，同一带电粒子的电量相同。相同。4、电荷是一个洛仑兹不变量电荷是一个洛仑兹不变量(相对论不变性相对论不变性) )3、电荷守恒电荷守恒：在宏观和微观上在宏观和微观上,电荷总量守恒。电荷总量守恒。5、有电荷就有质量有电荷就有质量 静质量为零的粒子，例如光子，只能是电中静质量为零的粒子，例如光子，只能是电中性的。性的。但是，都精确电中性！但是，都精确电中性！2HHepp 例如：例如：H2He原子动量：原子动量：电荷的电量与它的运动状态无关电荷的电量与它的运动状态无关 5K = 8.9880 109 Nm2/C2 9 109 Nm2/C27.

4、2 库仑定律与叠加原理库仑定律与叠加原理 惯性系，真空中的两静止惯性系，真空中的两静止（或低速或低速）点电荷点电荷间的作用力为间的作用力为212210212122121214rrqqrrqqkF q2q112F21F21 r21r一、库仑定律（一、库仑定律（17851785年年电学发展史上的第一个定量规律电学发展史上的第一个定量规律）有理化有理化041 k 0真空介电常数真空介电常数 (Permittivity of vacuum) 0 = 8.85 10-12 C2/Nm26平方反比规律平方反比规律( (与万有引力定律类似与万有引力定律类似) )如果指数严格等于如果指数严格等于2，则，则光子

5、静质量为零。光子静质量为零。光子静质量上限为光子静质量上限为10-48 kg. 16)2(101 . 37 . 2, r实验结果实验结果点电荷点电荷( (一种理想模型一种理想模型):当带当带电体的大小、形状与带电体电体的大小、形状与带电体间的距离相比可忽略时间的距离相比可忽略时, ,就就可把带电体视为一带电的几可把带电体视为一带电的几何点。何点。1q2qr12r12F212210212122121214rrqqrrqqkF方向根据方向根据同号相斥，同号相斥，异号相吸异号相吸来判定。来判定。71q2qr12r12F0221041rrqqF讨论讨论：(1) 库仑定律适用于真空中的静止点电荷库仑定律

6、适用于真空中的静止点电荷；(2) 库仑力满足牛顿第三定律库仑力满足牛顿第三定律：万电FF(3) 一般一般真空介电常数。真空介电常数。2212./1085. 8mNC 02112FF8【例例】比较氢原子中的质子和电子间的库仑力比较氢原子中的质子和电子间的库仑力和万有引力。和万有引力。oA53. 0 epr N1018m10530C1061CmN109418210219229220 .reFe N1073m10530kg1071kg1019skgm107647210273123112 .rmmGFpeg宏观物体靠分子、原子间的库仑力维系。宏观物体靠分子、原子间的库仑力维系。强力强力电磁力电磁力弱力

7、弱力引力引力 原子核中的核子原子核中的核子( (质子、中子质子、中子) )靠强力吸引，库仑排斥很弱。靠强力吸引，库仑排斥很弱。3910 geFF库仑力库仑力引力：引力：9二、二、电力的叠加原理电力的叠加原理 实验表明：实验表明：两个点电荷之间的作用力并不因两个点电荷之间的作用力并不因第三个点电荷的存在而改变。第三个点电荷的存在而改变。在电磁场的量子效应中，经典叠加原理不成立。在电磁场的量子效应中，经典叠加原理不成立。 两个以上的点电荷对一个点电荷的作用力，两个以上的点电荷对一个点电荷的作用力，等于各个点电荷单独存在时对该点电荷作用力等于各个点电荷单独存在时对该点电荷作用力的矢量和的矢量和 ii

8、FF10电场力的叠加电场力的叠加: :21ffF1r2r1q3q2q1f2fq q3 3 受的力：受的力：nFFFF.21020041iiiiiirrqqF对对n n个点电荷：个点电荷：对对连续分布连续分布的带电体的带电体: :02004ddrrqqFQQrrqqFdF02004dQr rqd0qFd;iiyyFF;iixxFFiizzFFkFjFiFFzyx 11例例1 1：相距为相距为2a2a处，有两个正点电荷，电量都是处，有两个正点电荷，电量都是+q,+q,有有qq在中垂线在中垂线x x处，求处，求(1)q(1)q所受静电力；所受静电力；(2)X(2)X？时，时， qq受力最大受力最大?

9、 ?aaqqqoxxx1F2FF 解解（1 1）以连线的中点为原点，沿中以连线的中点为原点，沿中垂线做垂线做oxox轴，轴，q q在在x x处处)(4122021xaqqFF 132220212xFFF cosqq x(ax ) 方向沿方向沿x x方向。方向。12（2 2）0 dxdFax22 0)(21(23220 axxqqdxd 2020max3333aqqaqqF 或或aaqqqoxxx1F2FF 3222012qq xF(ax ) 13已知两杆电荷线密度为已知两杆电荷线密度为 ，长度为，长度为L，相距，相距L 解解qdxxxqddxqddqd2020)(4dd)(4d ddxxxqx

10、xqqFLLLxxxxF320202)(4dd例例2 2两带电直杆间的电场力。两带电直杆间的电场力。求求34ln402L3L2LxO两点电荷间的电场力：两点电荷间的电场力：直杆与直杆与dq间的电场力间的电场力:LLxxxdxxdxxdqF020020)(4d)(4两带电直杆间的电场力两带电直杆间的电场力:14后来后来: : 法拉第提出场的概念：法拉第提出场的概念：早期：早期：电磁理论是超距作用理论电磁理论是超距作用理论 电场电场（electric field）的性质的性质: :(1)(1)对位于其中的带电体有力的作用对位于其中的带电体有力的作用(2) 带电体在电场中运动带电体在电场中运动, ,

11、电场力要作功电场力要作功电荷电荷电场电场电荷电荷作用于作用于产生产生7.3 电场和电场强度电场和电场强度场的观点：场的观点：电荷之间的电荷之间的相互作用是通过电场相互作用是通过电场传递的，或者说电荷传递的，或者说电荷周围存在电场。周围存在电场。15场的观点场的观点 Maxwell电磁理论电磁理论m 场的观点：场的观点：电荷之间的相互作用是通过电电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说电荷周围存在电场。场传递的，或者说电荷周围存在电场。变化的电变化的电磁磁场以光速传播：场以光速传播：场场具有动量、质量具有动量、质量移动带电体，电场力作功：移动带电体，电场力作功：场具有能量场具有能量电场中的带电

12、体，受电场的作用力。电场中的带电体，受电场的作用力。m电场物质性的表现电场物质性的表现16电场强度（电场强度（electric field intensity）检验电荷检验电荷q0带电量足够小带电量足够小 点电荷点电荷场源电荷场源电荷q产生电场的电荷产生电场的电荷在电场中任一位置处：在电场中任一位置处：定义：定义： 电场中某点的电场强度的大小等于单位电电场中某点的电场强度的大小等于单位电荷在该点受力的大小，其方向为正电荷在该点受荷在该点受力的大小，其方向为正电荷在该点受力的方向。力的方向。 0qFE212FFE 1qqq0qrF17静止点电荷的电场静止点电荷的电场-静电场静电场020041rr

13、qqF020041rrqqFE+7.4 静止点电荷的电场及其叠加静止点电荷的电场及其叠加 静电场静电场 在相对场源电荷静止的参考系中观在相对场源电荷静止的参考系中观 测到的电场。测到的电场。 电力的叠加原理电力的叠加原理电场叠加原理：电场叠加原理：点电荷系点电荷系的电场的电场 120000iiniiFFFFEEqqqq 18 点电荷系在某点点电荷系在某点P 产生的电场强度等于各点电产生的电场强度等于各点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。这称为荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。这称为电场强度叠加原理：电场强度叠加原理： 在在 n 个点电荷产生的电场中，某点的电场强个点电荷产生的电场中，某点

14、的电场强度等于每个电荷单独在该点产生的电场强度的度等于每个电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和矢量和 niiEE1 iiyyEE iixxEE iizzEEkEjEiEEzyx 19连续分布带电体连续分布带电体020d41drrqE0d204qErr qd : : 线密度线密度 : : 面密度面密度 : : 体密度体密度qdrEdPdl （ 线分布）dS （面面分分布布）dV （体体分分布布）dqdE 电电荷荷元元 VEEd库仑定律库仑定律+电场叠加电场叠加原理原理 完备描述静电完备描述静电场场 VzzVyyVxxEEEEEEddd20【例例1 1】求电偶极子在求电偶极子在延长线上延长线上和和

15、中垂线中垂线远点远点的场强。的场强。电偶极子电偶极子 (Electric dipole)：靠得很近的等量异号点电荷对靠得很近的等量异号点电荷对-qql电偶极矩电偶极矩 （Dipole moment）：）：lqp 21电偶极子电偶极子在延长线上在延长线上的场强的场强：qql解：解：EEilxqE20)2(4OxPilxqE20)2(4EEEilxxlq2220)4(42l qp2220)4(42lxpx电偶极矩电偶极矩qqlPrEEE22电偶极子中垂线上远点的场强：电偶极子中垂线上远点的场强： EEEE r -3 ，比点电荷的电场的衰减得快。比点电荷的电场的衰减得快。30304)(4 rrqrr

16、q )(430 rrrq 304rlq 304rp 304rpE 23【例例2】电场中的电偶极子电场中的电偶极子在均匀电场中，受合力为零。在均匀电场中，受合力为零。+ +- -lEEpM 在均匀电场中受的力矩：在均匀电场中受的力矩：力矩使力矩使 p 尽量和尽量和 E 方向一致。方向一致。电场不均匀，合力不为零。电场不均匀，合力不为零。在电场中，受力矩作用。在电场中，受力矩作用。0 )Eq(EqF24+ +- -o r rlEqEq E计算关于任意一点计算关于任意一点O的力矩：的力矩：)Eq(r)Eq(rM EpEl q )()(Eqrr 25aPxyO它在空间一点它在空间一点P产生的电场强度产

17、生的电场强度（P点到杆的垂直距离为点到杆的垂直距离为a) )解解dqxqdd20d41drxErsinddEEycosddEEx由图上的几何关系由图上的几何关系 21aaxcot)2tan(axdcscd222222cscaxarEdxEdyEd例例3长为长为L的均匀带电直杆，电荷线密度为的均匀带电直杆，电荷线密度为 求求dsin4d0aEydcos4d0aEx26yyEEdxxEEd(1) a L, ,杆可以看成点电荷杆可以看成点电荷0 xE204 aLEy)sin(sin4120a21 0dcos4a)cos(cos4210a21 0dsin4a讨论讨论(2) 无限长直导线无限长直导线01

18、2aEy020 xEaPx yOdqr21EdxEdyEd27圆环轴线上任一点圆环轴线上任一点P 的电场强度的电场强度RP解解dqlqddOx020d41drrqE020d41drrqEEEExcosddEEsinddr EdxEdEd例例4 4 半径为半径为R 的均匀带电细圆环，带电量为的均匀带电细圆环，带电量为q 求求0E圆环上电荷分布关于圆环上电荷分布关于x 轴对称轴对称 rqExcosd4120rqcos4120qrdcos4120rx cos2/122)(xRr223/2014()xqxERx28(1) (1) 当当 x = x = 0(0(即即P P点在圆环中心处点在圆环中心处)

19、)时，时， 0E(2) (2) 当当 xR xR 时时 2041xqE可以把带电圆环视为一个点电荷可以把带电圆环视为一个点电荷 讨论讨论R RP Pd dq qO Ox xr r 223/2014()xqxE=ERx 若带电圆环开一很小的，弧长若带电圆环开一很小的，弧长为为a a的缺口，则环中心场强如何？的缺口，则环中心场强如何？29面密度为面密度为 的的圆板在轴线上任一点的电场强度圆板在轴线上任一点的电场强度 解解rrqd2d2/3220)(d41dxrqxEEEdixRxRqE)(1 22/ 12220PrxOEd2/3220)(d2xrrrx)(1 22/ 1220 xRxRxrrrx0

20、2/3220)(d2例例5Rrd223/2014()qxERx30(1) 当当R x, 圆板可视为无限大薄板圆板可视为无限大薄板02E(2) 补偿法（空心圆盘在补偿法（空心圆盘在P P点处的场强）点处的场强）ixRxRx)(1)(122/12222/1221021RRE EE1R2RpxO讨论讨论ixRxRqE)(1 22/ 12220+x0,q=R231Ox圆环对杆的作用力圆环对杆的作用力qL解解xqdd 2/3220)(41xRqxExxEqEFxxdddLxRxxqF023220)(4d qdxER例例6已知圆环带电量为已知圆环带电量为q ，杆的线密度为，杆的线密度为 ，长为，长为L 求

21、求)11(4220LRRq圆环在圆环在 dq 处产生的电场处产生的电场作业：练习一作业：练习一32一、电场线（电力线）一、电场线（电力线） 为了形象和直观地描述电场，在为了形象和直观地描述电场，在电场中画出的一系列有指向的虚拟电场中画出的一系列有指向的虚拟曲线，称为电场线（电力线）曲线，称为电场线（电力线） 。E7.5-6 7.5-6 电场线和电场线和电通量电通量 高斯定理高斯定理电力线条数密度表示场强大小电力线条数密度表示场强大小电力线上某点的切向和该点场强方向一致电力线上某点的切向和该点场强方向一致用电力线描述电场：用电力线描述电场：33电电场场线线密密度度dSdEe 方向：方向：电场线各

22、点的切线方向电场线各点的切线方向E电场线的疏密反映电场的强弱电场线的疏密反映电场的强弱。 大小：大小：E小等于该点的电力线密度小等于该点的电力线密度。 通过无限小面元通过无限小面元dS 的电力线数目的电力线数目de与与dS 的比的比值称为电场线密度。我们规定值称为电场线密度。我们规定电场中某点的场强的大电场中某点的场强的大dsE34电力线的性质：电力线的性质：1、静电场的电力线始于正电荷（或无穷远），、静电场的电力线始于正电荷（或无穷远），终于负电荷（或无穷远）。终于负电荷（或无穷远）。2、电力线不相交、电力线不相交（场强的单值性）（场强的单值性）3、静电场的电力线不闭合、静电场的电力线不闭合

23、电力线连续：电力线连续：不会在没有电荷的地方中断不会在没有电荷的地方中断【思考思考】 电力线是物理实在吗？电力线是物理实在吗？ 电场线的作用：电场线的作用： 表征电场的方向、强弱、整体分布表征电场的方向、强弱、整体分布。3536电偶极子电偶极子37一对等量正点电荷一对等量正点电荷38一对异号不等量点电荷一对异号不等量点电荷39平板电容器平板电容器4040几种电荷的几种电荷的 线分布的实验现象：线分布的实验现象：E单个点单个点 电电 极极4141正正 负负 点点 电电 极极4242两两 个个 同同 号号 的的 点点 电电 极极4343单单 个个 带带 电电 平平 板板 电电 极极4444分分 别

24、别 带带 正正 负负 电电 的的 平平 行行 平平 板板 电电 极极4545带带 异异 号号 电电 荷荷 的的 点点 电电 极极 和和 平平 板板 电电 极极4646“ 怒怒 发发 冲冲 冠冠 ”47站在雷雨站在雷雨中的高地中的高地48 通过电场中任一面积的电场线条数称为通通过电场中任一面积的电场线条数称为通过该面的电通量。过该面的电通量。用用 e e 表示。表示。1 1、均匀电场中均匀电场中S 与电场强度方向垂直与电场强度方向垂直S ESEe 二二、电通量、电通量( (Flux) )49 通过面元的电通量的符号，与通过面元的电通量的符号，与面元矢量方面元矢量方向的定义有关。向的定义有关。 c

25、osSE nSE SE 面元法向单位矢量面元法向单位矢量则有则有nE S Scos nSS 定义定义面元矢量面元矢量均匀电场中均匀电场中S 法线方向与电场强度方向成法线方向与电场强度方向成 角角50 SiiiSSdESE 0limSiS iEiiiSE 的正负依赖于面元指向的定义的正负依赖于面元指向的定义电场不均匀，电场不均匀，S S为任意曲面通过曲面为任意曲面通过曲面S S 的电通量的电通量51 S S为任意闭合曲面为任意闭合曲面，通过闭合曲面通过闭合曲面S S 的电通量的电通量 SSdE ESd dSSd d规定规定 的方向指向外为正的方向指向外为正0 ：电通量：电通量向外向外“流流”0

26、：电通量：电通量向内向内“汇汇”52ESd dS三、高斯定理三、高斯定理其中其中S为任意闭合曲面为任意闭合曲面高斯面。高斯面。 在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量，等于该曲面所包围的电量的代数和的电通量，等于该曲面所包围的电量的代数和的 1/ 0 倍倍 )(01SiSqSE d diqQ电通量与电量的关系电通量与电量的关系53（1）E是是曲面上的某点处的场强，是由曲面上的某点处的场强，是由全部全部电荷电荷（面（面S内、外）共同产生的。内、外）共同产生的。注意：注意：（2）只有闭合曲面）只有闭合曲面内部的电荷，内部的电荷，才对总通量才对总通量有贡献

27、。有贡献。ESd dSiqQ )(01SiSqSE d d5402/4442020 qrrqSrqSdESS d d定理的证明：定理的证明：（1）通过包围点电荷通过包围点电荷 q 的的同心球面同心球面的电通量的电通量为为 q/ 0qn SErS55（2）通过包围点电荷通过包围点电荷 q 的的任意任意闭合曲面的电通闭合曲面的电通量为量为 q/ 0qdSrdS drES预备知识：预备知识：立体角的概念立体角的概念22dddrrSrS x dSrrdSd f f y zSd Sd dr f f d dd dd d sin在球坐标系中在球坐标系中56 SSrS2d dd d 闭合曲面对内部一点所张立体

28、角为闭合曲面对内部一点所张立体角为4 。 SSrd d21224rr 4 证明：证明：OdSd SrdS 57通过通过任意任意闭合曲面上闭合曲面上dS的电通量为的电通量为 d dd dd dd d 02044qrSqSEqdSrdS d rES004 qqSS d dd d通过闭合面通过闭合面S 的电通量：的电通量： d dd d 04q5804400 d dd dd dd dqq（3）任意任意闭合曲面闭合曲面外的点电荷通过该曲面的电外的点电荷通过该曲面的电通量为零。通量为零。（4）多个点电荷的电通量等于它们单独存在多个点电荷的电通量等于它们单独存在时电通量的和时电通量的和（场叠加原理场叠加原

29、理）,2rrS d dd d 2ddrrS qSdSdr rr S d 2drrS rS d rS d 59 中中 为闭合曲面内的电荷电量代数和，为闭合曲面内的电荷电量代数和， i0q1 iq曲面外不计。曲面外不计。曲面的电通量只与面内电荷有关，但面上一点的曲面的电通量只与面内电荷有关，但面上一点的场强是由曲面内、外电荷共同激发的。场强是由曲面内、外电荷共同激发的。高斯定理是反映静电场普遍性质的基本定理之一，高斯定理是反映静电场普遍性质的基本定理之一，也是普遍的电磁场理论的基本方程之一。也是普遍的电磁场理论的基本方程之一。高斯定理揭示了电场和激发电场的场源（电荷）之高斯定理揭示了电场和激发电场

30、的场源（电荷）之间的内在联系，说明静电场是间的内在联系，说明静电场是有源场有源场。* *关于高斯定理的讨论：关于高斯定理的讨论： )(01SSiqSE d dESd dSiqQ60i i）分析电场分布的对称性）分析电场分布的对称性iiii）根据对称性，来选择合适的高斯面：）根据对称性，来选择合适的高斯面：E 使使S S的各部分与的各部分与 垂直，垂直，E或与或与 平行。平行。应用范围：应用范围： 场强分布具有一定的对称性场强分布具有一定的对称性。高斯面必须通过所求场点高斯面必须通过所求场点p p。 SdS 高斯面的形状规则，高斯面的形状规则， 好积：球面，圆柱面。好积：球面，圆柱面。电场线垂直

31、通过的高斯面上各点场强的大小相等。电场线垂直通过的高斯面上各点场强的大小相等。7.7 7.7 利用高斯定理求静电场的分布利用高斯定理求静电场的分布 )(01SSiqSE d d61例例1、均匀带电球面的电场分布均匀带电球面的电场分布1、对称性分析、对称性分析电荷分布球对称电荷分布球对称电场分电场分布球对称（场强沿径向，布球对称（场强沿径向，只与半径有关）只与半径有关）2、选高斯面为同心球面、选高斯面为同心球面Q623、球面外电场分布、球面外电场分布4、球面内电场分布、球面内电场分布 SQSE0d 0内内ERrQ rE0RrrQE420 外外24drESES )(01SSiqSE d dRr R

32、r 63Rq解：解：r高斯面高斯面Rr E 2er4EdSE33ir34R34qq 3302Rqr1r4E 场强场强30R4qrE 例例2、 均匀带电球体的电场分布。均匀带电球体的电场分布。已知已知R、q0 )(01SSiqSE d d64ERRr r高斯面高斯面电通量电通量 2er4EdSE电量电量 qqi由高斯定理知：由高斯定理知：02qr4E 场强场强20r4qE )(01SSiqSE d d65ER均匀带电球体电场强度分布曲线均匀带电球体电场强度分布曲线ErRo20R4qrrRQrE030341 球体内：球体内：rrQE420 球体外：球体外：66例例3、无限长圆柱面无限长圆柱面( (

33、线电线电荷密度荷密度 ) )的电场分布的电场分布解：解：（1）场强）场强轴对称轴对称沿径向沿径向 （2）选半径）选半径r高高h的同轴的同轴圆柱面为高斯面圆柱面为高斯面柱面外：柱面外：0/2 hSESErhESS d dd d圆柱面内：圆柱面内：)(, 0RrE rE hSS RrrE ,20 0/2 hrhE SSdE )(01SSiqSE d d67例例4 4、带电无限大平板、带电无限大平板( (面电荷密度面电荷密度 ) )的电场分布的电场分布场强场强垂直于板垂直于板面对称面对称分布分布解解: :0/2 SSE+SSS EE02 E与板垂直的均匀场与板垂直的均匀场 )(01SSiqSE d d68+ 【思考思考】带等量异号电荷的两个无限大平板带等量异号电荷的两个无限大平板之间的电场为之间的电场为 ，板外电场为，板外电场为 。0 0作业：练习二作业：练习