第16讲-基点法、速度投影法、瞬心法求速度的原理及应用分析

1、第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动第第8 8章章 刚体的平面运动刚体的平面运动8.2 8.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法第十六讲目录第十六讲目录Theoretical Mechanics 教学内容： 基点法、速度投影法求平面运动刚体的点的速度和角速度，基点法、速度投影法求平面运动刚体的点的速度和角速度，瞬心位置的确定瞬心位置的确定 教学要求：教学要求：1、了解牵连速度即为基点的速度。、了解牵连速度即为基点的速度。2、理解刚体平面运动求解三种方法的原理，瞬心位置的确定、理解刚体平面运动求解三种方法的原理，瞬心位置的确定重点：重点：平面图形上各点的速度、平面图

2、形上各点的速度、瞬心位置的确定瞬心位置的确定 难点：难点：求平面图形上各点的速度求平面图形上各点的速度的原理的原理 Theoretical Mechanics 第十六讲的第十六讲的内容、要求、重难点内容、要求、重难点学时安排：学时安排：23、掌握应用基点法、速度投影法求平面图形上各点的速度、掌握应用基点法、速度投影法求平面图形上各点的速度 yxyxo 平面图形上任意一点的速度等于基点的速度平面图形上任意一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和。与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和。 取点取点O 为基点，该点的速度为为基点，该点的速度为vO 、图形的角速度为、图形的角速度为

3、。点点M的牵连速度的牵连速度 M点对于O点的相对速度eovvrMOO Mvv方向与半径方向与半径O M垂直，指向与角速度垂直，指向与角速度 的转向一致的转向一致 Mvrvevo（ vM）一、基点法一、基点法Theoretical Mechanics (vO)(vMO)va 建立平动坐标系，则建立平动坐标系，则 牵连运动是牵连运动是平移平移,相对运动是转动。相对运动是转动。 平面图形内任一点的速度平面图形内任一点的速度等于随基点的速度与绕基等于随基点的速度与绕基点转动的速度的矢量和点转动的速度的矢量和 通常把平面图形中速度为已知的点选为基点通常把平面图形中速度为已知的点选为基点 根据点的速度合成

4、定理，根据点的速度合成定理，M点点的绝对速度的矢量表达式为的绝对速度的矢量表达式为 MOMOvvvOvMvMOvTheoretical Mechanics 二、速度投影定理二、速度投影定理上式向上式向O 点和点和M点的连线上投影点的连线上投影()0MOO MvMOO MvMOMOvvv()()MO MOO Mvv相对速度在相对速度在OM连线上的投影为连线上的投影为0M点的速度在MO连线上的投影O 点的速度在MO连线上的投影Theoretical Mechanics 速度投影定理：平面图形速度投影定理：平面图形内任意两点的速度在此两内任意两点的速度在此两点连线上的投影相等点连线上的投影相等当已知

5、平面图形内某点的速度大当已知平面图形内某点的速度大小方向和另一点的速度方向，应小方向和另一点的速度方向，应用速度投影定理可求其大小。用速度投影定理可求其大小。 OvMvM Ov教材教材P.154 P.154 解题步骤：解题步骤：Theoretical Mechanics 运动分析：速度分析求解分析各杆作什么运动。平动？定轴转动？平面运动哪些点的速度大小或方向是已知的由题意选择方法、基点（基点法）、投影轴等例例1、 在图所示的曲柄连杆机构中，曲柄在图所示的曲柄连杆机构中，曲柄OA长长r，连杆，连杆AB长长l，曲柄以匀角速度曲柄以匀角速度 转动，当转动，当OA与水平线的夹角与水平线的夹角 = 45

6、 时，时，OA正好与正好与AB垂直，试求此瞬时垂直，试求此瞬时AB杆的角速度、杆的角速度、AB杆中点杆中点C的速的速度及滑块度及滑块B的速度。的速度。 Theoretical Mechanics 解：（解：（1 1）运动分析：）运动分析：,vAAOA vr点点B B的速度铅垂向上，大小未知。的速度铅垂向上，大小未知。（3 3）用基点法：）用基点法：A点的速度已知，选其点的速度已知，选其为基点，作速度平行四边形，求为基点，作速度平行四边形，求AB角速角速度、度、C点速度、点速度、B的速度。的速度。 vBvAvBAOA作定轴转动，作定轴转动，AB杆作平面运动，杆作平面运动，滑块滑块B B作铅垂直线

7、平动。作铅垂直线平动。（2 2）速度分析：）速度分析：22sinABArvvv（选速度已知的点（选速度已知的点A为基点为基点 ）vA=r cotBAAvvBAArvvBAABrABlvx yvBvAvBATheoretical Mechanics 求求ABAB角速度、滑块角速度、滑块B B的速度的速度例例1 1B点的速度方向已知，求点的速度方向已知，求B点的速度大小点的速度大小还可用速度投影定理：还可用速度投影定理： cos2cosAABBrvvvvvAvCAvC求连杆求连杆AB中点中点C的速度的速度vC 仍选仍选A为基点为基点 22CACAvvvCACAvvvTheoretical Mech

8、anics tan263.42ACArlrlvv222lrrl52rABrl例例1 1问题的提出问题的提出由基点法知：平面图形上任一点的速度等于由基点法知：平面图形上任一点的速度等于随基随基点点的速度与的速度与绕基点绕基点转动速度的矢量和。转动速度的矢量和。基点是任意选择的，那么在每一瞬时，能不能在基点是任意选择的，那么在每一瞬时，能不能在平面图形上平面图形上找找到到一个速度等于零的点一个速度等于零的点？如果能找到这样的点，并以此点为基点，求平面如果能找到这样的点，并以此点为基点，求平面图形上各点的速度就更简便了图形上各点的速度就更简便了 Theoretical Mechanics A7.3.

9、1 瞬时速度中心瞬时速度中心在平面图形上寻找相对速度与牵连速度共线、反向的点在平面图形上寻找相对速度与牵连速度共线、反向的点 A点为基点，速度点为基点，速度vA 。平面图形的角速度为平面图形的角速度为 找速度等于零的点找速度等于零的点 0IAIAvvvIAA vvAAIvvAIAAM vMTheoretical Mechanics 一、瞬心的定义：一、瞬心的定义： 在平面图形上，瞬时速度等于零的点称为瞬时速度中心，简在平面图形上，瞬时速度等于零的点称为瞬时速度中心，简称瞬心，一般用称瞬心，一般用I I表示表示 7.3.2 速度瞬心法速度瞬心法 速度瞬心法速度瞬心法 ：以速度瞬心为基以速度瞬心为

10、基点点，求平面图形上各点速度的方法，求平面图形上各点速度的方法. .)(IMvM方向如图示 在平面图形运动的某瞬时，以速度瞬在平面图形运动的某瞬时，以速度瞬心心I为基点，为基点，图形上各点的速度等于相对图形上各点的速度等于相对瞬心转动的速度瞬心转动的速度。在此。在此瞬时瞬时，平面图形，平面图形的运动就简化成为绕瞬心的的运动就简化成为绕瞬心的转动转动 。Theoretical Mechanics 二、瞬心法原理：二、瞬心法原理：v每瞬时平面图形上都存在唯一的速度瞬心。它可每瞬时平面图形上都存在唯一的速度瞬心。它可位于平面图形之内，也可位于图形的延伸部分。位于平面图形之内，也可位于图形的延伸部分。

11、v瞬心只是瞬时不动。在不同的瞬时，图形具有不瞬心只是瞬时不动。在不同的瞬时，图形具有不同的速度瞬心。即速度瞬心的速度等于零，加速度同的速度瞬心。即速度瞬心的速度等于零，加速度并不等于零。并不等于零。v平面图形在其自身平面内的运动，也可以看成是平面图形在其自身平面内的运动，也可以看成是绕一系列的速度瞬心的转动。绕一系列的速度瞬心的转动。几点讨论几点讨论Theoretical Mechanics 1 1、确定速度瞬心位置的、确定速度瞬心位置的方法方法1 1 已知已知某瞬时平面图形的某瞬时平面图形的角角速度速度 和某点和某点A的的速度速度vA ，如果如果过过A点沿着点沿着vA方向作半直方向作半直线线

12、A ，将此半直线，将此半直线顺图形角顺图形角速度速度 的转向转过直角的转向转过直角，然，然后在半直线上取线段后在半直线上取线段AI：AvAI则则I点就是瞬心点就是瞬心Theoretical Mechanics 三、瞬心位置确定：三、瞬心位置确定： 已知某瞬时平面图形上已知某瞬时平面图形上A、B 两点的速度两点的速度vA、vB的方向，的方向，且且 vA不平行于不平行于 vB 。此时，过此时，过A、B两点两点分别分别作作 vA与与vB 的的垂垂线线，这两条垂直线的，这两条垂直线的交点交点即为即为瞬心瞬心 I。 2 2、确定速度瞬心位置的方法、确定速度瞬心位置的方法2 2 Theoretical M

13、echanics 播放播放如果如果vAvB，且，且 AB vA，则按比例在图中标则按比例在图中标示示 vA、 vB 的大小，的大小，用直用直线连接线连接vA、vB矢量的末矢量的末端端，此直线，此直线与与AB线的交线的交点即为瞬心点即为瞬心I。即即vA、vB同向同向时，时，I外分外分AB线段；线段；vA、vB反反向向时，时，I则则内分内分AB线段。线段。 3 3、确定速度瞬心位置的方法、确定速度瞬心位置的方法3 3 Theoretical Mechanics 播放瞬心播放瞬心3131播放瞬心播放瞬心3232某瞬时，如果某瞬时，如果 vA = vB ，如图，如图(e)；或；或 vA vB ，但，但

14、AB不垂直不垂直于于vA、vB，如图，如图(f)。在这两种情况下，。在这两种情况下，瞬心在无穷远处。瞬心在无穷远处。表表明平面图形在此瞬时的角速度等于零。明平面图形在此瞬时的角速度等于零。 图形上各点的速度相等，图形上各点的速度相等，这种情况称为瞬时平移。平这种情况称为瞬时平移。平面图形为瞬时平移时，此瞬面图形为瞬时平移时，此瞬时平面图形的角速度等于零，时平面图形的角速度等于零，但加速度不等于零。但加速度不等于零。 4 4、确定速度瞬心位置的方法、确定速度瞬心位置的方法4 4 Theoretical Mechanics 播放瞬播放瞬心心4 4如果平面图形沿某固定面只滚动而不滑如果平面图形沿某固

15、定面只滚动而不滑动，则图形与固定面的接触点就是瞬心动，则图形与固定面的接触点就是瞬心I。 确定速度瞬心位置的方法确定速度瞬心位置的方法5 5 Theoretical Mechanics 确确定定速速度度瞬瞬心心位位置置方方法法小小结结Theoretical Mechanics 例例2、 车以速度车以速度v沿直线道路行驶，已知车轮的半径为沿直线道路行驶，已知车轮的半径为r，车轮在路面上滚动而不滑动，如图。试求轮缘上车轮在路面上滚动而不滑动，如图。试求轮缘上M1、M2、M3、M4、M5各点的速度。各点的速度。 Theoretical Mechanics 解：（解：（1 1）运动分析：）运动分析：（3 3）找速度瞬心：车轮滚动而不滑动，与地面接触的点为瞬）找速度瞬心：车轮滚动而不滑动，与地面接触的点为瞬心，轮绕该点瞬时转动心，轮绕该点瞬时转动车轮作平面运动。车轮作平面运动。（2 2）速度分析：）速度分析：轮