《勤提炼活运用促提高》

1、.勤提炼 活运用 促提高双A字基本图形在解题中的应用相似是初中几何的核心模块，是中考中的重要考点，也是考查学生分析问题和解决问题及综合能力的重要载体相似往往与三角形、四边形、圆等几何图形结合，使问题的难度加大要突破这一难点，不仅要牢固掌握三角形相似的基本判定、性质和相关定理，还需要借助丰富的图形识别经验为此在平时教学中，我们要适当提炼一些基本图形，并有意识地进行基本图形专题方面的训练，进行几何基本图形的识别和运用下面结合近年的中考、竞赛试题，提炼出相似问题中常见的“双A”字图形，让我们体会基本图形在解题中化隐为显、化难为易的作用一、“双A”字图形及其基本结论如图1，在中，点D、E、Q分别在AB

2、、AC、BC上，且DEBC，AQ交DE于点P ，则 (1)； （2)；（3）若Q是BC中点，则DP=PE ；反之亦然.上面结论的证明较简单，由DEBC知， ，改写后即为 ()根据等比性质，上式进一步得到,即 ()由Q是BC中点和结论()，得，即 () 从上面基本图形(即图1)的结构看，象两个并排着的背靠背的英文字母“A”，我们暂且称之为“双A”字图形.若熟悉上面基本图形的结构特点，在平时学习中，对于几何图形比较复杂的试题，便能较快地分离出隐藏其中的基本图形，抓住问题本质，从而快速解决问题.二、直接运用基本图形解题例1、已知，如图2，在中，DEBC,交AB、AC于D、E，点F是三角形外一点，FD

3、、FA、FE分别交BC于P、G、Q，求证：解析：所证的四条线段都在同一条直线上，无法直接运用相似的性质证明，可尝试寻求过渡比实现解题找出这四条线段所在的三角形，很快发现DM、ME与所证结论有关联，且这六条线段存在于两个“双A”字图形中，其中一个“双A”字型是倒放着的在中，正放着“双A”字图形，由DEBC，利用结论()得；在中，倒放着“双A”字图形，由PQDE，利用结论()得 ； 比较所得的两个比例式，因有过渡比，因此， 即点评：根据所证结论并结合题设图形的鲜明特征，找出其中隐藏着的“双A”字图形，运用该图形的结论，得出比例式，利用过渡比便可快速证题.例2、（济宁中考题）在一次数学课上，一位同学

4、提出：“谁能帮我用一副没有刻度的三角板找出线段AB的中点？”小华说：“我能做到，我的做法是，用这副三角板任作一条直线MNAB;在直线AB、MN的同侧任取一点P，连接PA、PB,分别交直线MN于C、D；再连接AD、BC,相交于点E;画射线PE交线段AB于点O，点O就是线段AB的中点.”你认为O是线段AB的中点吗？说明理由.解析：先按照题意画出如图3的图形，因为CDAB，结合“双A字”图形和结论()知 ，又在“8字”形的对顶三角形中有，即, 结合得，即，故AO=BO. 因此O是线段AB的中点.点评:由两条直线平行的条件可看出题设图形中隐藏着的“双A”字图形，同时还隐藏着“8字”形的对顶三角形，这样

5、得出相关的比例线段，用过渡比实现证题例3、（武汉中考题）在中，正方形DEFG的四个顶点在的边上，连接AG、AF分别交DE于M、N两点。（1）如图4，若AB=AC=1，直接写出MN的长；（2）如图5，求证：.解析：(1)由正方形DEFG和等腰直角三角形的条件，易得出BDG、CEF都为等腰直角三角形，那么BG=DG=GF=EF=FC=，又由DEBC，利用“双A字”图形及结论()知： 则MN=DM=NE=（2）易知DGB=EFC=，由同角C的余角相等易知B=FEC，则BGDEFC, 因此，又GF=DG= EF，即 又由DEBC利用“双A字”图形及结论()知: , , 两式相乘得 , 结合和得点评：本

6、题是相似与三角形、四边形相结合的综合题，要运用相似的性质进行解题，而解题的关键在于运用基本图形快速得出相关线段成比例其中，第（1）问是“双A字”基本图形的直接应用；第（2）问除了“双A”字图形外，还蕴含有“两角对应相等的三角形相似”的基本图形，由相似的性质得出比例式，两者有机结合，使问题易于解决从几何图形中直接分离出基本图形，运用图形的性质相对容易，而如何从几何图形中构造出基本图形进行运用，是解题的难点所在为此必须仔细观察题目给予的图形并研究图形的结构特点，结合已知条件或所求、所证内容，产生丰富联想，构造出能解决问题的基本图形三、构造基本图形解题例4、（黄石中考题）已知AB是半圆O的直径，AP

7、为过点A的半圆的切线，在弧上任取一点C（点C与A、B不重合），过点C作CDAB于D，E是CD的中点，连接BE并延长交AP于点F，连接CF（1）当点C是的中点时（如图6），求证：直线CF是半圆O的切线；（2）当点C不是的中点时（如图7），试猜想直线CF与半圆O的位置关系，并证明你的猜想解析：（1）图6中，由AB为直径，AP为切线易知AFAB，又CDAB，则CDAF又C为的中点，CDAB，结合垂径定理得D是AB的中点，即O与D重合在“单A字”基本图形中，EDAF，所以,即BE=EF；又在“8字”型的对顶三角形中，ECFEOB(SAS), 因此FCE=EOB=，则直线CF是半圆O的切线（2）连接BC

8、并延长交AP于点G，连接AC、CO（如图7）由第一问的CDAF，又CE=DE，利用“双A字”图形的结论()知FG=FA在RtACG中，FC为斜边AG的中线，因此FC=FA，则FCA=FAC, 又OCA=OAC，两式相加得FCO=FAO=，故FC是半圆O的切线点评:本题是一道探索性问题，第一问通过对问题的特殊情形探究图形的本质属性，第二问从特殊化向一般情形拓广，进一步探索结论的“不变性”虽然能猜测结论不变，但求证它较难此处由CDAF和“E为CD的中点”的条件，联想到构造出“双A字”图形，运用基本图形的结论得出点F为AG的中点，再运用圆、直角三角形、等腰三角形的有关性质进行综合运用例5、如图8，在

9、中，BAC=， ADBC于D， P是AD的中点，BP延长线交AC于E，EFBC于F. 求证：解析：由已知条件ADBC、EFBC知ADEF，延长FE交BA的延长线于点G，就可以构造出“双A”字图形 由ADEF 和AP=DP，利用结论()知：EG=EF； 又在“8字”形的对顶三角形中，易证AEGFEC得，用EG=EF进行代换，就可以得出点评：根据条件“P是AD的中点”和ADEF，将图形补全，便构造出“双A”字图形，再运用其性质可快速解题可见，熟悉基本图形的特征，是正确作出辅助线的前提例6、（2003全国数学竞赛）如图9，已知AB是O的直径，BC是O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DEAB，垂足为

10、E，连接AC，与DE交于点P，问EP与PD是否相等？证明你的结论解析：由已知条件“AB是O的直径，BC是O的切线”易知：BCAB ,又DEAB，所以DEBC根据已有结果DEBC，以及图形结构特点，还有猜想的结论EP=PD，易联想到“双A字”基本图形，由此延长AD、BC交于点F，如图9在“单A字”图形中，由OCAF，OB=OA得 ，即BC=CF在“双A字”基本图形中，由DEBC和BC=CF，利用结论()得 ，即EP=PD 说明：本题是一道结论开放性问题，需用到两个基本图形：“双A字”基本图形和“单A字”基本图形进行解题，难点在于做出合适的辅助线，这需根据已知条件和所证结论逆向思考，产生联想，让看

11、似并不存在的基本图形显露出来，产生作用四、综合运用基本图形解题例7、如图10，在中，BD=DC, O是AD上一点，BO、CO的延长线分别交AC、AB于F、E. 求证：AD平分EF思路点拨：因已有条件BD=DC，要实现证题须证EFBC而证两条直线平行的重要方法是出现比例线段，即，但图中找不出其他三角形相似，故可以添平行线简解：设AD与EF交于点G，过点A作BC的平行线，与CE、BF的延长线分别交于M、N, 如图10 此时，在“8字”型基本图形中, 由MNBC得出, , 比较两式得， 而BD=CD, 因此AM=AN . 同样在另一“8字”型基本图形中，由MNBC有：， ，结合AM=AN，故，因此E

12、FBC在“双A”字基本图形中，由EFBC，BD=CD，运用结论()得EG=FG，即AD平分EF点评：由已知条件和所证结论可能要用到本文的基本图形，但缺少平行线的条件，故突破问题的关键在于证EFBC，为此过点A作BC的平行线，再运用相似的性质综合解题本题难度大，原因有三：一是构造“8”字型基本图形；二是利用“双A”字基本图形的性质解题；三是图10中出现多个基本图形的叠加和隐藏.例8：（天津竞赛题）如图11，在中，PA、PB是O的切线，PDC是任意一条割线，连接AB与CD相交于点E，连接AC、BC求证：简证：过点C作AB的平行线，交PA、PB的延长线于点F、G，如图11PA为O的切线，由弦切角定理

13、知FACABC，而ABCG，则内错角BCGABC，因此FACBCG 由切线长定理知PAPB，又ABFG，则PFG为等腰三角形，所以FG ，结合、得AFCCGB，又相似三角形的面积之比等于相似比的平方,所以 又ABFG ，利用“双A字”基本图形及结论()得，进一步得 ， 对比 、得点评：此题是一道颇有难度的竞赛题，原解法运用相似三角形得出多个比例式，再将它们乘除运算，曲折迂回，不易思考这里结合题设的图形，构造出“双A”字基本图形，并利用结论()、相似三角形的性质和面积比进行证明解题，直观明了，简捷易懂 例9（全国初中联赛）如图12，设凸四边形ABCD的对角线AC与BD交于点M，过点M作AD的平行

14、线分别与AB、CD交于点E、F，与BC的延长线交于点O，P是以O为圆心、OM为半径的圆上一点.求证：OPF=OEP.思路点拨：要证OPF=OEP,又FOP公共，因此只需证OFPOPE， 即需证，而OP=OM，则需证. 利用OMAD，构造出“双A”字图形，实现解题证明: 如图13，延长BC、AD交于点H，因为OMHA,利用“双A”字图形，由结论()得；因为OEHA, 利用“双A”字图形，由结论()得；对比上面两个比例式得 在图12中，半径OP=OM，用OP代换式得，又FOP=POE，利用“两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似”得OFPOPE，因此对应角OPF=OEP点评：此题难度大，主要是图形

15、复杂，令人眼花缭乱，无法找到破题之法但只要掌握了科学的思维方法分析法与综合法，由所证结论执果寻因一步步推出要证，再用平行线的条件，由因寻果，构造出“双A”字图形得出两个比例式，用过渡比证得，则问题得以解决可见，一个题目不管有多么复杂，只要掌握了思维方法，总能快速找到解题的途径五、教学反思数学是关于数与形的科学，形是数学的重要表现形式，学习数学离不开对几何图形的研究数学课程标准在几何方面的学习要求是“能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系，利用直观来进行思考” 可见从复杂图形中“离析”出基本图形，是解决图形问题必须具备的重要能力之一，也是解决几何问题的重要方法同时数学

16、也是关于模式的科学，这反映在数学解题时，需要进行模式识别，需要构建标准的模型当我们面对一个陌生的、看似复杂的几何问题时，往往都可以将它转化为已解决过的、较熟悉的、简单的几何图形，这里用到的基本图形就是解决问题的一个模式用基本图形来分析、解决问题，是解题的常用方法、通用方法，可以发挥数学教学的长期效益因此，必须重视基本图形在解题中的作用 总体来说，数学中的基本图形分为两种：一种是教材中的定义、定理和性质所对应的图形单一型基本图形，这些图形一般都有与概念或定理的条件及结论的外形相呼应的结构特征，像直线、平行线、相交线、三角形、四边形、点与圆、圆的切线、弦切角等都属于单一型基本图形 ；另一种基本图形

17、是例题和习题所对应的图形复合型基本图形，它是单一型基本图形内容的扩展与延伸，它常常把一些重要的、常用图形加入到单一型基本图形成为复合型基本图形一部分，一般而言复合型基本图形都由两个或两个以上的单一型基本图形组合而成，所蕴含的结论更丰富、实用性也比较强比如：角平分线和平行线组合成为等腰三角形，一线三垂直（即在同一直线上，有三个直角）图形可产生三角形全等或相似，圆的切线长基本图形中蕴含有多对三角形全等、多对线段相等、多对角相等，复合型基本图形在课本中以例题、习题的形式零散出现，我们应引导学生收集与归纳学生对于单一型基本图形一般较熟悉，用得比较得心应手；而对于复合型基本图形，虽然知道图形与结论，但在解题时却常常忽略它的存在，导致解题困难或失败为什么单独把这些复合型基本图形提出来，学生马上就知道其结论，而解题时却熟视无睹？这就要求我们在教学过程中，一方面应重视基础知识、基本技能、基本方法的教学，注重对知识的发生、发展过程揭示，因为定理、公式推证的过程就蕴含着重要的解题方法和规律，教师应该充分暴露思维过程，发掘其内在的规律长此以往，学生便可以潜移默化，学会解决问题的思考方法另一方面，注重对这些基本图形的提炼并会灵活运用要引导学生研究这些看似不起眼的复合型基本图形， 分析基本图形的特征 ，归纳基本图形的性质，深刻掌握基本图形，理解基本图形的性质都是以怎样的方式