选修2-1第三章空间向量及其运算(精品课程导学案)

1、人教A版选修2-1 第二章 空间向量及其运算 东圃中学高中数学组王广西§3.1.1空间向量及其加减运算班级：高二( )班 姓名： 学号：三维目标：知识与技能：理解空间向量及其相关概念；理解空间向量加减法的含义。过程与方法：会判断两向量是否相等，是否相反；会对两向量进行加减运算。情感与价值观：通过学习，体会空间向量与平面向量的异同, 学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物.学习重难点：重点：空间向量加减法难点：空间向量与平面向量的不同点学习过程：【课前热身】1作出平面向量。归纳：向量加法：首尾相连，由始至终；向量减法：起点重合，终点反向。2填

2、空： ； ； ；【探索新知】学点一：空间向量的有关概念 与平面向量一样，在空间，把具有 和 的量叫做空间向量。空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的 ，向量表示起点是 ，终点是 。表示向量的 规定，长度为0的向量叫做 ，记为 。模为1的向量称为 。 称为a的相反向量，记为 称为相等向量。注意：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。 即任意两个空间向量共面。学点二：空间向量的加减法 与平面向量加减法类似，即= ；= 。与平面向量加法类似，空间向量的加法也满足交换律及结合律，即： ， 【示例点拨】例. 已知平行六面体写出分别与向量相等的向量试一试.在上面这

3、个平行六面体中，写出分别与向量相反的向量例. 已知平行六面体，以图中一对顶点构造向量，使它们分别等于：（1）； （2）； （3）；试一试.在四面体ABCD中，= ，= 。【归纳小结】【巩固练习】A组：若空间向量都是单位向量，则（ ） A B C D 2在平行六面体中，化简下列各式： ； ；= ；= 3在棱长为1的正方体中，则 = ；= ；= 。在长方体中，用表示已知平行六面体，点是上底面的中心，求，值：使【课后反思】我在本节课的收获我在本节课的遗憾我想这样会更好§3.1.2 空间向量的数乘运算班级：高二( )班 姓名： 学号：三维目标：知识与技能：理解向量数乘的意义；知道向量共面定理

4、。过程与方法：会判断两向量是否平行；会判断三个向量是否共面；会进行向量的数乘运算。情感与价值观：通过学习，体会空间向量与平面向量的异同；会用发展的眼光看问题，会用联系的观点看待事物，感悟数学之美。学习重难点：重点：向量的数乘运算，共线、共面的判定难点：向量共面的判定学习过程：【课前热身】1对平面向量，计算2对平面向量，的充要条件是 。【探索新知】学点一：空间向量的数乘运算 1定义： 2向量与的关系的范围方向关系大小关系>0=0<0 3.运算律 分配律： ，结合律： 。学点二：共线向量 1定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 ，则这些向量叫做共线向量或 ，记作： 2共线向量

5、定理：对空间向量，的充要条件是 。 3直线l的方向向量： 。学点三：共面向量 1定义：平行于 的向量，叫做共面向量。 2共面向量定理：若空间向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是 。 3推论：空间一点P与不共线的三点A、B、C共面的充要条件是 。【示例点拨】例. 已知，从平面外一点引射线，在其上分别取，并且使（为常数）求证：，四点共面试一试. 已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？【归纳小结】【巩固练习】A组：已知空间四边形，连接，设，分别是、的中点化简下列各表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）（2）（3）在平行六面体中，与共线的是（ ） （A） （B）

6、 （C） （D）3已知两个非零向量不共线，如果，求证：共面B组：对空间向量，若共线，且，是否一定有共线？【课后反思】§3.1.3 空间向量的数量积运算班级：高二( )班 姓名： 学号：三维目标：知识与技能：理解空间向量夹角的概念及表示；记住两个向量的数量积的定义过程与方法：会进行两个向量的数量积的运算；会判断两个向量是否垂直；会利用两个向量的数量积证明线线垂直、线面垂直。情感与价值观：养成严谨的学习态度，积极进取的精神，体会转化的思想。学习重难点：重点：空间向量数量积的计算，向量与立体几何问题的转化难点：向量与立体几何问题的转化学习过程：【探索新知】学点一：空间向量的夹角及其表示：已

7、知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作 ；且规定 ，显然有 ；若，则称与互相垂直，记作： ；学点二：向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作 ，即 =零向量与任何向量的数量积为 。学点三：空间向量数量积的性质： （1）（2）（3）（4）若为向量的夹角，则= ，（5） 学点四：空间向量数量积运算律：（1）（2）（交换律）（3）（分配律）【示例点拨】例. 用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。试一试.已知空间四边形中，求证：例2用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为

8、，且求证：试一试.已知正方体的棱长为1，设，求： （1）·；（2）·； （3）·；（4）【归纳小结】【巩固练习】A组：根据下列各等式，分别求： （1）；（2）； （3）； （4）已知和是两个单位向量，夹角为，则（）等于（ ）A.-8 B. C. D.8已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（ ） A. B. C. D. 如图，在空间四边形中，求与的夹角的余弦值。已知空间四边形的每条边及的长都等于，点分别是的中点，求： （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）B组：已知和是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角。在平行六面体中， ，求的长。【课

9、后反思】我在本节课的收获我在本节课的遗憾我想这样会更好§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示班级：高二( )班 姓名： 学号：三维目标：知识与技能：理解空间向量与有序数组之间的一一对应关系；记住空间向量基本定理。过程与方法：会判断一组向量是否为基向量；会将空间任一向量用基向量表示；会写出向量在单位正交基底下的坐标。情感与价值观：体会空间向量与平面向量的异同；会用发展的眼光看问题，会用联系的观点看待事物学习重难点：重点：空间向量基本定理难点：将空间向量用基向量表示学习过程：【课前热身】1复习平面向量基本定理【探索新知】学点一：空间向量基本定理 如果三个向量 ，那么对空间任一向量，存

10、在有序实数组，使得 。 其中，叫做空间的一个 ，都叫做 。学点二：空间向量的正交分解及其坐标表示 1单位正交基底 有公共起点的三个 称为单位正交基底。 2空间直角坐标系 以单位正交基底的公共起点为原点，以它们的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系 3空间向量的坐标表示 对空间任一向量，可以将它平移到起点与原点重合，得到向量，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组，使得=，则把称做向量在单位正交基底下的坐标，记作= 。 注：此时向量的坐标恰好是点在空间直角坐标系中的坐标（），也即实现了从正交基底到直角坐标系的转换。【示例点拨】例. 已知分别是四边形中的边的中点，是的三等分点。用向量表示试一试. 已

11、知平行六面体，设为的中点，用基底表示如下向量：【归纳小结】【巩固练习】A组：已知向量是空间的一个基底，从中选哪一个向量，一定可以与向量构成空间的另一个基底？已知O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么O，A，B，C是否共面？已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是另一个基底。若向量在基底下的坐标为（1，2，3），求向量在基底下的坐标。【课后反思】§3.1.5空间向量运算的坐标表示班级：高二( )班 姓名： 学号：三维目标：知识与技能：掌握空间向量加、减、数乘、数量积运算的坐标表示。过程与方法：会用坐标进行空间向量加、减、数乘、数量积运算。情感与价值观：会用发展的眼光

12、看问题，会用联系的观点看待事物。学习重难点：重点：空间向量加、减、数乘、数量积运算的坐标表示难点：如何将几何问题转化成向量问题解决？学习过程：【课前热身】复习引入（平面向量的相关题目）1已知=（-2，1）； =（2，3），则 。2已知=（-3，-2）； =（-4，3），则。3已知A、B两点的坐标A（0，-2），B（-1，2），则用坐标表示。【探索新知】学点一：向量运算的坐标表示 设向量，则 ； ； ； 。 ； 。学点二：夹角与距离 设向量，则 = 。 。 设点，则 =（ ），|AB|= 。【示例点拨】例. 已知，求（1） ；（2）；（3）；（4）例. 在正方体中，点分别是的一个四等分点，求与所成角的余弦值。试一试1. 在正方体中，点M是AB的中点，求与所成角的余弦值。例3. 在正方体中，点E，F分别是的中点，求证：试一试2. 如图，已知正方体的棱长为 （1）求和的夹角；（2）求证：【归纳小结】【巩固练习】A组：已知向量（）与向量（3，4，6）共线，求已知向量求：（1）；（2）·；（3）；求下列两个向量夹角的余弦值： （1）； （2）求与同方向的单位向量：（1）=（2，3，5）； （2）=（0，3，4） 已知，求同时与垂直的一个向量已知点A（2，3，1），B（8，