传染病动力学研究实用教案

1、1. 引引 言言 医学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，天花在世界范围内被消灭，鼠疫、霍乱等传染病得到控制。但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们(rn men)的健康和生命。有些传染病传染很快，导致很高的致残率，危害极大，因而对传染病在人群中传染过程的研究具有重要的现实意义。第1页/共21页第一页，共22页。 目前，传染病的研究方法主要有四种：描述性研究、分析性研究、实验性研究和理论性研究。传染病动力学是进行理论性定量研究的一种重要方法。在传染病动力学研究中数学模型起着极其重要的作用，它把传染病的主要特征通过假设、参数、变量和它们之间的联系清晰的揭示出来。利用动力学的方法建立数学模

2、型可以来研究某种传染病在某一地区是否会蔓延持续(chx)下去而成为本地区的“地方病”或者这种传染病终将消除。数学模型的分析结果能提供许多强有力的理论基础和概念，用数学模型发现传染病的传播机理，预测传染病的流行趋势已成为共识。 影响传染病传播的因素很多，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等，在建立模型时不可能考虑所有因素，只能抓住关键的因素，采用合理的假设，进行简化。第2页/共21页第二页，共22页。 传染病若无潜伏期，我们把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者（Susceptible），指未得病者(bn zh)，但缺乏免疫能力

3、，与感病者(bn zh)接触后容易受到感染；I类，感病者(bn zh)（Infective），指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者（Removal），指被隔离，或因病愈而具有免疫力的人。 在不存在免疫抗体情况下,相应可建立以下动力学模型：SI模型，患病后难以治愈；SIS模型，患病后可以治愈，恢复者不具有免疫力 在存在免疫抗体情况下,相应可建立以下动力学模型:SIR模型，患病者(bn zh)治愈后获得终身免疫力；SIRS模型，病人康复后只有暂时免疫力。 若传染病有潜伏期，在三类人群中增加一类 ，感染而未发病者(bn zh)（Exposed),可在SIR或SIRS模型的基础上得到更

4、复杂的SEIS、SEIR或SEIRS模型。 现根据这三种划分方式来进行文献综述第3页/共21页第三页，共22页。 2.1 不存在免疫抗体情况下的传染病模型研究 邓丽丽等（2004） 1讨论(toln)了一类具有非线性传染力的阶段结构SI传染病模型，确定了各类平衡点存在的阈值条件，得到了各类平衡点局部稳定和全局稳定的条件。 石磊等（2008）2对一种具有种群动力和非线性传染率的传染病模型进行了研究，建立了具有常数迁入率和非线性传染率的SI模型。与以往的具有非线性传染率的传染病模型相比，这种模型引入了种群动力，也就是种群的，总数不再为常数，因此，该类模型更精确地描述了传染病传播的规律。 Pei Y

5、 Z等（2009）3在1的基础上加入了脉冲延迟，并将传染率系数设为随时间改变的变量，演示了研究SI模型的新方法。2. 文献文献(wnxin)综述综述第4页/共21页第四页，共22页。 勾清明（2007）4通过引入比例变量建立了一个具有阶段结构和标准发生率的SIS流行病模型，得到了模型的阚值参数R。证明了模型的全局性态完全由 确定。在此基础上，建立了模型的阈值参数 和 证明了种群总数与染病者总数的增减分别由参数 和 控制。 成小伟，胡志兴（2008）5研究了具有常数移民以及具有急性和慢性两个阶段的SIS传染病模型。针对急慢性两种情况分别得到了相应模型的平衡点，证明了无病平衡点的全局渐近稳定性，运

6、用一种几何方法给出了地方病平衡点的存在性和全局渐近稳定性的充分条件，最后进行数值模拟以验证所得结论。 Zhang T L(2009)6、7分别讨论了具有延迟阶段结构的SIS模型以及具有非线性发生率的SIS模型无病平衡点的存在性和Hopf分叉(fn ch)点。 Xue Z L（2009）8讨论了应急资源有限情况下，SIS模型无病平衡点的稳定性和Hopf分岔点。OR1R2R1R2R第5页/共21页第五页，共22页。 2.2 存在免疫抗体情况下的传染病模型 Kermack和McKendrick（1926）9为了研究1665-1666年黑死病在伦敦的流行规律以及1906年瘟疫在孟买的流行规律，他们把人

7、口分为易感者、染病者和恢复者三大类，利用动力学方法建立了著名的SIR仓室模型。 Zhou J（1994-1995）10-12, Zhang Juan等（2004）11， Gao L Q等（1992）13, LI JIANQUAN等（2004）14在SIR模型的基础上考虑不同的感染方式，对病人的隔离，因接种而获得的免疫力以及免疫力的逐渐丧失，是否可以忽略因病死亡率，种群(zhn qn)自身增长规律，不同种群(zhn qn)之间的交叉感染等因素，构成了丰富多彩的传染病动力学模型。 HWHethcote等（2004-2005）15-16对模型的理论研究主要集中在疾病的持续生存及平衡位置特别是导致地方

8、病平衡点的平衡位置和周期解的存在性和稳定性，再生数及分支点的寻找等动力学性态。第6页/共21页第六页，共22页。 BUSENBERG S，WANDEN DRIESSCHE P（1990）17研究了免疫力的逐渐丧失的问题。该文研究了具有标准传染率，种群指数增长的SIRS模型，利用了稳定性理论(lln)得到了各类平衡点的全局稳定性。 Hethcote，Mena-Lorca（1992）18分别研究了具有常数输入且具有指数出生和死亡，传染率分别是双线性的，标准的和饱和传染率的五类SIRS模型。 李健全等(2004)19研究了具有常数输入和Logistic出生的一般形式接触率的SIR模型，利用极限方程理

9、论(lln)和构造了Liapunov函数得到了各类平衡点的全局稳定性。 陈军杰（2004）20研究了一类具有常数迁入且总人口变化的SIRI模型，利用RouthHurwitz判别法和构造Liapunov函数得到了地方病平衡点的局部稳定性和无病平衡点的全局稳定性，并考虑传染率分别是双线性和标准时，通过构造Liapunov函数得到了地方病平衡点的全局稳定性。第7页/共21页第七页，共22页。 2.3. 疾病有潜伏期的传染病模型的发展 Michael Y Li，Muldowney(1995)21研究了具有非线性传染率的SEIR模型，构造Liapunov函数及利用复合矩阵理论证明了各类平衡点的全局稳定性

10、。 Michael Y Li(1999)22研究了具有指数出生、死亡和标准的传染率SEIR模型，通过构造Liapunov函数及利用复合矩阵理论证明了各类平衡点的全局稳定性。 Fan MengWang Ke(2001)23研究了具有常数输入和双线性的传染率SEIS模型，也用类似的方法证明了各类平衡点的全局稳定性。 MICHAEL Y LI（2001）24认为潜伏者和染病者所生婴儿都会携带病毒但不会立即发病，建立了具常数输入、双线性传染率且潜伏者和染病者有不同(b tn)程度的垂直传染力的SEIR模型，给出了所建模型的全局动力学性态。第8页/共21页第八页，共22页。 刘烁等（2007)25研究了

11、一类带有非线性传染率的SEIR传染病模型，通过构造Liapunov函数(hnsh)得到了无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性。 刚毅（2009）26根据流行病不同阶段的特征,建立了易感者类具有常数输入的SEIR和SEIS组合传染病模型,然后采用Liapunov函数(hnsh) 和复合矩阵理论证明了具有常数输入的SEIR和SEIS组合传染病模型的平衡点的全局渐近稳定性.第9页/共21页第九页，共22页。 对于有些疾病在流行期间(qjin)，它不仅在染病期传染，而且在潜伏期也传染，也就是说：一个易感者一旦被感染上病毒，在未发病之前(即潜伏期)就对外具有传染性。 原三领等(2001)27研究了具有双

12、线性传染率且潜伏期也具有传染力，但不考虑因病死亡的传染病模型，利用Routh-Hurwitz判别法和构造Liapunov函数得到了地方病平衡点的局部稳定性和无病平衡点的全局稳定性。 徐文雄等(2004)28研究了具有饱和接触率且潜伏期也具有传染力，并考虑因病死亡的传染病模型，利用RouthHurwitz判别法和构造Liapunov函数得到了地方病平衡点的局部稳定性和无病平衡点的全局稳定性。第10页/共21页第十页，共22页。 张彤等(2006)29研究了具有非线性接触率潜伏期也具有传染力的传染病模型，利用RouthHurwitz判别法和构造Liapunov函数得到了地方病平衡点的局部稳定性和无

13、病平衡点的全局稳定性，以及随着参数的变化，模型会发生Hopf分支(fnzh)，流行病会出现稳定的周期振荡现象. Hethcote(1994-2000)30-31对传染病系统研究目前已取得许多成果进行了系统的总结，详细阐述了传染病的建模思想。第11页/共21页第十一页，共22页。 1 郑丽丽，王豪，方勤华.一类具有非线性传染率的阶段结构SI模型J.数学(shxu)的实践与认识，2004,34（8）：128-135. 2 石磊，俞军，姚洪兴.具有常数迁入率和非线性传染率 的SI模型分析J.高校应用数学(shxu)学报A辑，2008,23（1），7-12. 3 Pei Y Z, Liu S Y, L

14、i C G, Chen L S. The dynamics of an impulsive delay SI model with variable coefficientsJ. Applied Mathematical Modeling,2009,33(6):2766-2776. 4 勾清明.一类具有阶段结构和标准发生率的SIS模型J.西南大学学报，2007,29（9）：6-13. 5 成小伟，胡志兴. 具有常数移民和急慢性阶段的SIS模型的研究J.北京工商大学学报，2008,26（1）：75-79.3. 参考文献参考文献第12页/共21页第十二页，共22页。 6 Zhang T L, Li

15、u J L, Teng Z D. Bifurcation analysis of a delayed SISepidemic model with stage structureJ. Chaos,solution&Fractals, 2009,40(2):563-576. 7 Liu J L, Zhang T L. Bifurcation analysis of an SIS epidemic model with nonlinear birth rate J. Chaos, solution & Fractals,2009,40(3):1091-1099. 8 Xue Z L

16、,Wen S L,Mini Ghosh. Stability and bifurcation of an SIS epidemic model with treatmentJ. Chaos, solution & Fractals, 2009, 42(5):2822-2832. 9 KERMACKWOMCKENDRICK A G. Contributions to the Mathematical Theory Of Endemics Part 1JProcRoySoeLondon，1927，A115(3)：700721第13页/共21页第十三页，共22页。 10 Zhou JAn E

17、pidemiological Model with Population Size IncidenceJRock Mountain Journal of Mathematics1 994，24：429-445 11 Zhang Juan，Lijian Quan，Ma ZhienGlobal Analysis of SIR Epidemic Models with Population Size Dependent Contact RateJChinese Journal of Engineering Mathematics，2004，2 1：259-267 12 Zhou JAn SIS Di

18、sease Transmission Model with Recruitment-birthdear DemographicsJMathComputModelling，1995，21：1一11 13 Gao L Q，HETHCOTE H W：Disease Transmission Models with DensityDependent DemographicsJMathBi01，1992，30：717731第14页/共21页第十四页，共22页。 14 LI JIANQUAN，ZHANG JUAN，MA ZHIENGlobal Analysis of some Epidemic Model

19、s with General Contact Rate and constant immigration J. Applied Math Mech. 2004，25(4)：396404 15 GABRIELA M，GoMES M，LISA JInfection，Reinfection，and Vaccination under Suboptimal Immune Protection：Epide-miological PerspectivesJTheorBi012004，228：539-549 16 GOMES M G，MARGHERT A，MEDLEY G F，REBELO CDynamic

20、al Behavior of Epide-miological Models with Sub-optimal Immunity and Nonlinear IncidenceJMathBi012005，5 1：414-430第15页/共21页第十五页，共22页。 17 BUSENBERG S，WANDEN DRIESSCHE PAnalysis of a Disease Transmission Model in a Population with Varying SizeJMathBi011990，28：257-270 18 MENA-LORCA J，HETHCOTE H W：Dynami

21、c Models of Infectious Diseases as Regulators of Population SizesJMath，30：693-7 16 19李健全，张娟，马知恩一类带有一般接触率和常数输入的流行病模型的全局分析J应用数学和力学，2004，18(4)：359367 20陈军杰一类具有常数迁入的且总人口变化(binhu)的SIRI传染病模型的稳定性J生物数学学报，2004，19(3)：3lO316第16页/共21页第十六页，共22页。 21 MICHAEL Y LI，JAMES SGlobal Dynamic of SEIR Model in Epidemiology

22、JMathBiosci1995，16：155164 22MICHAEL Y LI，JOHN RGlobal Dynamic of SEIR Model with Varying Total Populmion SizeJMathBiosci1999，160：191213 23 FAN MENG MICHAEL Y LI，WANG KEGlobal Stability of an SEIS Epidemic Model with Recruitment and a Varying Total Populmion SizeJMathBiosci2001，170：199-208 24MICHAEL Y LIGlobal Dynamics of an SEIR Epidemic Model with Vertical 48 TransmissionJSIAM JApplMath，2001，62(1)：58-69第17页/共21页第十七页，共22页。 25 刘烁，