函数展开成幂级数47821实用教案

1、2.2.展开式是否展开式是否(sh fu)(sh fu)唯一唯一? ?3.3.在什么条件下才能在什么条件下才能(cinng)(cinng)展开成展开成幂级数幂级数? ?1.1.如果能展开如果能展开, , 是什么是什么? ?na上节例题上节例题)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 即得形如即得形如 函数的展开式函数的展开式.需要需要(xyo)(xyo)考虑考虑问题 是否存在幂级数在其收敛域内以是否存在幂级数在其收敛域内以 为和函数为和函数? ?)(xf一 问题的提出第1页/共24页第一页，共25页。二二 泰勒泰勒(ti l)(ti l)级数级数1.Toylor

2、1.Toylor公式(gngsh)(gngsh)：复习复习(fx)前面的两个公式前面的两个公式,)()!1()()(10)1( nnnxxnfxR 其中其中 在在 与与 之间之间 0 xx第2页/共24页第二页，共25页。2.Maclaurin2.Maclaurin公式(gngsh)(gngsh),)!1()()(1)1( nnnxnfxR 其中其中 在在 与与 之间之间 0 xx第3页/共24页第三页，共25页。函数函数(hnsh)(hnsh)展开幂级数的必要条件展开幂级数的必要条件. .定理1 1 若 在 处能展开成幂级数则 在 内具有任意阶导数, ,且)(xf0 xnnnxxa)(00

3、)(xf),(0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann证明在在 内收敛于内收敛于 ,即即nnnxxa)(00 )(0 x)(xf第4页/共24页第四页，共25页。令令 , ,即得即得0 xx 逐项求导任意逐项求导任意(rny)(rny)次次, ,得得即为泰勒系数即为泰勒系数), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且泰勒系数是唯一的且泰勒系数是唯一的, ,所以所以)(xf的展开式是唯一的的展开式是唯一的.第5页/共24页第五页，共25页。问题nnnxxnxfxf)(!)()(000)(? 泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?

4、 不一定不一定.定义 如果f(x)在点 处任意阶可导,则幂级数称为 在点 的泰勒级数. 称为在 点 的麦克劳林级数.0 xnnnxxnxf)(!)(000)( nnnxnf 0)(!)0()(xf0 x)(xf0 x第6页/共24页第六页，共25页。), 2 , 1 , 0( 0)0()( nfn在在x=0点任意可导点任意可导, ,且且 0, 00,)(21xxexfx例如例如.00 nnx麦克劳林级数为麦克劳林级数为)(xf该级数在该级数在 内和函数内和函数 可见可见. 0)( xs),(除除 外外, 的麦氏级数处处不收敛于的麦氏级数处处不收敛于 .0 s)(xf)(xf第7页/共24页第七

5、页，共25页。函数函数(hnsh)(hnsh)展开幂级数的充要条件展开幂级数的充要条件. .证明必要性必要性.设设 能展开为泰勒级数能展开为泰勒级数.)(xf),()()(1xsxfxRnn )()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 定理2 2 在点 的泰勒级数, ,在 内收敛于 在 内)(xf)(xf)(0 xU 0 x)(0 xU . 0)(lim xRnn第8页/共24页第八页，共25页。充分性充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).(xf的泰勒级数

6、收敛于的泰勒级数收敛于)(xf定理3 3 设 在 上有定义, , 对 恒有则 在 内可展开成点 的泰勒级数. .)(xf),(00RxRxx , 0 M)(0 xU, 1 , 0,| )(|)( nMxfn)(xf),(00RxRx 0 x第9页/共24页第九页，共25页。证明10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx 010)!1(nnnxx在在 收敛收敛),(, 0)(lim xRnn),(00RxRxx 故故可展成点可展成点 的泰勒级数的泰勒级数. .0 x第10页/共24页第十页，共25页。三三 函数函数(hnsh)(hnsh)展

7、开成幂级数展开成幂级数1.1.直接(zhji)(zhji)法( (泰勒级数法) )步骤步骤: :;!)()1(0)(nxfann 求求 nxnfxffn!)0()0( )0()(写出写出 级数级数: :Maclaurin)2(讨论讨论 或或,)()(Mxfn 0lim nnR)3().(xf则级数在收敛区间内收敛于则级数在收敛区间内收敛于第11页/共24页第十一页，共25页。解,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于M的任意性的任意性, 即得即得例1 1xexf )(将将 展开成幂级数展开成幂

8、级数., 0 Mxnexf )()(Me ,MM 在在 上上第12页/共24页第十二页，共25页。解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )()(xfn)2sin( nx1 ),( x且且例2 2将将 展开成展开成 幂级数幂级数.xxfsin)( x第13页/共24页第十三页，共25页。解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( nnnnaa1lim 1

9、 nn, 1 , 1 R例3 3 将将 展开成展开成 幂级数幂级数.x)()1()(Rxxf 第14页/共24页第十四页，共25页。在在 内内, ,若若)1 , 1( !) 1() 1(!)() 1()!1() 1() 1(nnmmmnnmmnnmm 利用利用第15页/共24页第十五页，共25页。,1)()(xxsxs . 1)0( s且且两边积分两边积分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 第16页/共24页第十六页，共25页。即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(

10、! 2)1(1)1(2 )1 , 1( x牛顿牛顿(ni dn)二项二项式展开式式展开式注意在注意在 处收敛性与处收敛性与 的取值有关的取值有关. .1 x 第17页/共24页第十七页，共25页。双阶乘双阶乘(ji chn)21, 1 当当 时时,有有第18页/共24页第十八页，共25页。2.2.间接(jin ji)(jin ji)法根据唯一性根据唯一性, , 利用常见展开式利用常见展开式, , 通过变量代换通过变量代换, ,四则运四则运算算, , 恒等变形恒等变形, , 逐项求导逐项求导, , 逐项积分等方法逐项积分等方法, ,求展开式求展开式. .从而可以得到以下从而可以得到以下(yxi)

11、(yxi)几个常见的展开式几个常见的展开式: : )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x)(sincos xx由由第19页/共24页第十九页，共25页。例4 4 将将 展开成展开成 幂级数幂级数.x211)(xxf 解)11(,1112 xxxxxn把把 换成换成 得得x2x ,)1(1112422 nnxxxx)11( x第20页/共24页第二十页，共25页。例5 5 将将 展开成展开成 幂级数幂级数. .x)1ln()(xxf 解,)1(1112 nnxxxx)11( x将上式从将上式从 到到 逐项积分逐项积分, ,得得0 x nxxxxnn 132)1(3121 xxdxx01)1ln()11( x第21页/共24页第二十一页，共25页。例6 6 将将 展开成展开成 幂级数幂级数.3 x231)(2 xxxf2111231)(2 xxxxxf解而而 nnxxx)43()1()43(43124311 x711|43| xx第22页/共24页第二十二页，共25页。821|53| xx第23页/共24页第二十三页，共25页。感谢您的观看(gunkn)！第24页/共24页第二十四页，共25页。NoImage内容(nirng)总结2.展开式是否唯一。1.如果能展开,