函数的凹凸性与函数的作图实用教案

1、问题(wnt):如何研究曲线的弯曲方向?xyoABCyo)(xfy yo)(xfy abABabBA问题: 如何(rh)用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?第1页/共31页第一页，共32页。定义(dngy)4.2 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹的(上凹简称凹,下凹简称凸)yo)(xfy yo)(xfy abABabBA4.4.1 曲线(qxin)的凹凸性与拐点第2页/共31页第二页，共32页。曲线凹凸(o t)的判定:yo)(xfy yo)(xfy abABabBA第

2、3页/共31页第三页，共32页。 定理3.10设函数 在区间 内存在二阶导数，)(xf),(ba(2)若时，恒有，则曲线在内下凹(简称凸的)bxa0)( xf)(xfy ),(ba),(babxa0)( xf)(xfy (1)若时，恒有，则曲线 在内上凹(简称凹的)；第4页/共31页第四页，共32页。例证明(zhngmng)函数 的图像是处处下凹(凹)的故曲线(qxin)在整个定义域内是下凹(凸)的解 第5页/共31页第五页，共32页。定义4.3曲线(qxin)上凹与下凹的分界点称为曲线(qxin)的拐点.求拐点(ui din)的一般步骤：令，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点；0)(

3、xf)(xf 求函数的二阶导数；对步骤求出的每一个点，检查其左、右邻近的的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点)(xf 第6页/共31页第六页，共32页。例1求曲线的凹凸区间与拐点.1234xxy解 ，2364xxy) 1(1212122 xxxxy令，解得，0 y0 x1xx)(xf )(xf)0 ,() 1 , 0(), 1 ( 00) 1 , 0(拐点10)0 , 1 (拐点曲线在及两个区间上凹，在区间下凹，和是它的两个拐点.)0 ,(), 1 ( ) 1 , 0() 1 , 0()0 , 1 (第7页/共31页第七页，共32页。例2求曲线的凹凸区间与拐点.1)

4、 12(4xy解，；3) 12(8xy2) 12(48 xy令，解得；0 y21x只要，恒有，而函数没有二阶导数不存在的点，所以曲线 没有拐点，它在整个是上凹的21x0 y4) 12(xy),(1第8页/共31页第八页，共32页。例3求曲线的凹凸区间与拐点.31)4(2xy解，；32)4(31xy35)4(92 xy在内恒不为零，但时，不存在),(4xy y 在4的左侧邻近时，； 在4的右侧邻近时，.即在两侧异号，所以是曲线的拐点.x0 y0 yy 4x)2 , 4(第9页/共31页第九页，共32页。练习 求下列曲线(qxin)的拐点，并讨论其凹凸性.第10页/共31页第十页，共32页。2解凹

5、的凸的凹的拐点(ui din)拐点(ui din)第11页/共31页第十一页，共32页。第12页/共31页第十二页，共32页。3解第13页/共31页第十三页，共32页。定义(dngy)4.4如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零， 则称此直线为曲线的渐近线.设曲线，如果,则称 直线 为曲线的水平渐近线.)(xfy cxfx)(limcy )(xfy 4.4.2 曲线(qxin)的渐近线1.水平(shupng)渐近线第14页/共31页第十四页，共32页。如果曲线在点间断，且，则称直线为曲线的铅垂渐近线)(xfy )(limxfx0 xx )(xfy 0 x例4求曲线的水

6、平渐近线和铅垂渐近线.51xy2.铅垂渐近线第15页/共31页第十五页，共32页。解因为，所以是曲线的水平渐近线0y051limxx又因为5是的间断点,且，所以是曲线的铅垂渐近线51xy5x51lim5xx第16页/共31页第十六页，共32页。例5求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线.22123xxy解因为，所以是曲线的水平渐近线3y3123lim22xxyx第17页/共31页第十七页，共32页。221123limxxx又因为1和-1是的间断点，且，所以和是曲线的铅垂渐近线22123xxy221123limxxx1x1x第18页/共31页第十八页，共32页。4.4.3 函数(hnsh)作图描绘函数图

7、象(t xin)的具体方法如下:1.确定(qudng)函数的定义域的值域；2.确定曲线关于坐标轴的对称性；3.求出曲线和坐标轴的交点；4.判断函数的单调区间并求出极值；5.确定函数的凹向区间和拐点；6.求出曲线的渐近线；7.列表讨论并描绘函数的图象.第19页/共31页第十九页，共32页。例6描绘函数的图象 323xxy解(1)定义域： .),( (2)函数不具有奇偶性， 因此(ync)曲线无对称性. (3)令，得， 表明曲线 与 轴有两个交点，一个是 ，一个是 .0y0 xx0 x3x3x(4) ，)2(3362xxxxy0 x0 y2x)1 (666xxy 令，得，.第20页/共31页第二十

8、页，共32页。，所以为极大值点， 为极大值.062 xy2x4)2(f0 x0)0(f060 xy，所以为极小值点， 为极小值；第21页/共31页第二十一页，共32页。(5)令，得在的左侧有，在的右侧有， 而，所以是拐点1x1x0 y1x0 y0 y2) 1 (f)2 , 1 (6)无渐近线.(7)将上面(shng min)的结果列表第22页/共31页第二十二页，共32页。x)(xf)0 ,(), 2(20)2 , 1 (拐点)(xf )(xf 0100) 1 , 0()2 , 1 (0)0(f极小值4)2(f极大值第23页/共31页第二十三页，共32页。例7描绘函数的图象2) 1(42xxy

9、解(1)定义域：), 0()0 ,(2)函数(hnsh)不具有奇偶性，因此曲线无对称性.第24页/共31页第二十四页，共32页。312322x表明曲线与轴交于和.x31x31x(3)令，即，解得0y02) 1(422xxx0222 xx第25页/共31页第二十五页，共32页。(4)422)442(2)44(xxxxxxy33)2(484xxxx，令 ，得 .0 y2x第26页/共31页第二十六页，共32页。在左侧有，在右侧有，所以是极小值点，是极小值2x0 y0 y2x2x3)2(f(5)623623248)2(124xxxxxxxy 4)3(8xx .第27页/共31页第二十七页，共32页。

10、令，得.当从左向右经过-3时，由负变正，又，所以是曲线的拐点.3xx0 yy 982)3(f)982, 3(6)因为，所以是曲线的水平渐近线.2)2) 1(4(lim2xxx2y第28页/共31页第二十八页，共32页。又因为是函数的间断点，且，所以是曲线的铅垂渐近线)2) 1(4(lim20 xxx0 x0 x第29页/共31页第二十九页，共32页。(7)将上面的结果(ji gu)列表x)(xf)3,(), 0(03)2(f极小值)(xf )(xf 032)2, 3()0 , 2()982, 3(拐点不存在0第30页/共31页第三十页，共32页。感谢您的观看(gunkn)！第31页/共31页第三十一页，共32页。NoImage内容(nirng)总结问题:如何研究曲线的弯曲方向。第1页/共31页。定义4.3曲线上凹与下凹的分界点