函数的微分54实用教案

1、主要(zhyo)内容微分微分(wi fn)的定义；的定义；微分的几何微分的几何(j h)意义；意义；求函数的微分；求函数的微分；微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用.第1页/共54页第一页，共55页。一、问题(wnt)的提出实例实例: :正方形金属薄片正方形金属薄片(bo pin)(bo pin)受热后面积受热后面积的改变量的改变量. .200Ax 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由2( )A xx 002200()()()AA xxA xxxx .)(220 xxx )1()2(,;xA 的的线线性性函函数数 且且为为的的主主要要部部分分,.xx 的的高高阶阶无无穷

2、穷小小 当当很很小小时时可可忽忽略略:)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0220()lim0()().xxxxx 面积面积(min j)函数函数第2页/共54页第二页，共55页。再如再如, ,30,.yxxxy 设设函函数数在在点点处处的的改改变变量量为为时时 求求函函数数的的改改变变量量3300()yxxx .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很小时很小时当当 x 02023()3.xyxxxx ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易既容易(rngy)计算又是较好的近似值计算又是较好的近似值2320000330()()limlim() xxxx

3、xxxxx 2303()()()xxxx 00(),()xx )1(第3页/共54页第三页，共55页。问题问题: :这个这个(zh ge)(zh ge)线性函数线性函数( (改变量的主改变量的主要部分要部分) )是否所有函数的改变量都有（可是否所有函数的改变量都有（可微的条件）微的条件）? ?它是什么（微分的定义）它是什么（微分的定义）? ?如如何求何求? ?第4页/共54页第四页，共55页。二、微分的定义(dngy)（是什么？）定义定义(dngy)000000000( ),(),( ),( ),()()(,.)xxxxyf xxxxAxyf xxyf xxxdydf xyf xxf xAdy

4、AxoxAxx 设设函函数数在在某某区区间间内内有有定定义义及及在在这这区区间间内内如如果果成成立立 其其中中 是是与与无无关关的的常常数数则则称称函函数数在在点点可可微微 并并且且称称为为函函数数在在点点相相应应于于自自变变量量增增量量的的微微分分记记作作或或即即.dyy 微微分分叫叫做做函函数数增增量量的的线线性性主主部部( (微分微分(wi fn)(wi fn)的实质的实质) )第5页/共54页第五页，共55页。定义定义(dngy)(dngy)的几点的几点说明：说明：;)1(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量 xdy ;)()2(高高阶阶无无穷穷小小是是比比xxodyy

5、 ;,0)3(是等价无穷小是等价无穷小与与时时当当ydyA dyy 1( )()AxxoxAxAx ).0(1 x;)(,)4(0有关有关和和但与但与无关的常数无关的常数是与是与xxfxA ).(,)5(线性主部线性主部很小时很小时当当dyyx (定理定理(dngl)第6页/共54页第六页，共55页。三、可微的条件(tiojin)(什么样的函数可微？)000( )()( ).f xxAfxf xx 函函数数在在点点可可微微, ,且且的的充充要要条条件件是是函函数数在在点点处处可可导导定理定理(dngl)0000()( )()()xxdyfxxf xxyfxxx 函函数数在在点点可可导导第7页/

6、共54页第七页，共55页。证证(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy 000()()limlimxxyoxfxAxx .A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数(2) 充分性充分性0(),yfxx 即即,)(0可导可导在点在点函数函数xxf),(lim00 xfxyx 0lim0,x 且且第8页/共54页第八页，共55页。0(),yfxxx 从从而而),0(0 x0()(),yfxxox 00limlim0,xxxx 00( ),().f xxfxA 函函数数在在点点可可微微且且第9页/共54页第九页，共55页。(

7、),( ),( ).yf xxdydf xdyfxx 函函数数在在任任意意点点 的的微微分分 称称为为函函数数的的微微分分 记记作作或或即即例例1 1解解, ,.yxdy 求求( )1,dyxxxx ,yx 由由于于故故得得.dydxx 什么什么(shn me)意思？意思？第10页/共54页第十页，共55页。自变量的增量自变量的增量(zn lin)(zn lin)就是自就是自变量的微分：变量的微分：函数的微分函数的微分(wi fn)(wi fn)可以写可以写成成: :该例说明该例说明(shumng):(shumng):xdx ( )dyfx dx ( )( )df xfx dx 或或 ( ),

8、( ).dydyfx dxfxdx当当时时 有有即即函数函数 f (x) 在点在点 x 处的导数等于函数的处的导数等于函数的微分微分 d y 与自变量的微分与自变量的微分 d x 的商的商, 故导数也故导数也可称为微商可称为微商.第11页/共54页第十一页，共55页。例例2 2解解213yxxx求求函函数数在在和和处处的的微微分分。2()dyxx 2x x 2, x 1xdy 12xx x 6. x 3xdy 32xx x 第12页/共54页第十二页，共55页。例例3 3解解32,0.02.yxxx 求求函函数数当当时时的的微微分分xxdy )(3.32xx 2220.020.023xxxxd

9、yxx 0.24 ,.xxdxdxx 通通常常把把自自变变量量 的的增增量量称称为为自自变变量量的的微微分分 记记作作即即(.( )fxxdyfx dx ).(xfdxdy .dydx 即即函函数数的的微微分分与与自自变变量量的的微微分分之之商商等等于于该该函函数数的的导导数数导导数数也也叫叫 微微商商第13页/共54页第十三页，共55页。已知函数已知函数2)(xxf 在点在点x处的自变量处的自变量 的增量为的增量为 0.20.2，对应的函数增量的线性主，对应的函数增量的线性主 部是部是dy=0.8=0.8，那么自变量，那么自变量x的始值为的始值为_._. 练练 习习02x解解0 xxdy 0

10、2()xxxx 02xx00.820.2x第14页/共54页第十四页，共55页。四、微分(wi fn)的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 几何几何(j h)意义意义:(如如图图)( ),( )( , )f xxxxyf xP x y 函函数数在在点点 处处的的微微分分表表示示为为：相相应应于于自自变变量量的的改改变变量量曲曲线线在在点点的的切切线线上上纵纵坐坐标标的的改改变变量量。xx0 P ,.xMMNMP 切切线线当当很很小小时时 在在点点的的附附近近可可近近似似曲曲线线段段代代替替段段 第15页/共54页第十五页，共55页。xyoMN.f (x)dy x )

11、(0 xf d()yyx xyx0lim tan 很很小小时时当当 x 0()f xx xxf )(00 xxx 0)(0 xf()x .dydy =tan x微分的几何意义 y即：即：. y问题：何时问题：何时dy y ?xxfxf )()(第16页/共54页第十六页，共55页。xyody x d d()yyx 很很小小时时当当 x 0 xxx 0)(0 xf()x dy y y 微分的几何微分的几何(j h)(j h)意义意义.dy ydy.第17页/共54页第十七页，共55页。导数与微分导数与微分(wi fn)的区别的区别:000001.( )(),()(),.f xxfxdyfxxxx

12、x 函函数数在在点点处处的的导导数数是是一一个个定定数数而而微微分分是是的的线线性性函函数数 它它的的定定义义域域是是实实际际上上 它它是是无无穷穷小小)(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 000000002.,()( )(,(),()()( )(,().fxyf xxf xdyfxxxyf xxf xx 从从几几何何意意义义上上来来看看是是曲曲线线在在点点处处切切线线的的斜斜率率 而而微微分分是是曲曲线线在在点点处处的的切切线线方方程程在在点点的的纵纵坐坐标标增增量量第18页/共54页第十八页，共55页。五、微分(wi fn)的求法（如何求?）dxxfdy)( 求法求法:

13、: 计算函数的导数计算函数的导数(do sh), (do sh), 乘以自变量乘以自变量的微分的微分. .1.基本初等函数基本初等函数(hnsh)的微的微分公式分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 第19页/共54页第十九页，共55页。2222()ln()11(log)(ln )ln11(arcsin )(arccos )1111(arctan )(cot)11xxxxad aaadxd ee dxdxdxdxdxxaxdx

14、dxdxdxxxdxdxd arcxdxxx 2. 2. 函数和、差、积、商的微分函数和、差、积、商的微分(wi fn)(wi fn)法则法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 第20页/共54页第二十页，共55页。3.3.复合复合(fh)(fh)函数的微分法则函数的微分法则 设设 ，则复合函数，则复合函数 的微分为的微分为 dydy dudydxdxdxdu dx( ),( )yf u ux ( )yfx 即即( ) ( )( ) ( )( )dyfu dufx dxfxx dx 第21页/共54页第二十一页，共55页。六、微分形式的不变性(1

15、),( );xdyfx dx 若若 是是自自变变量量时时(2) ( ),( ),yf x txtxt 若若是是中中间间变变量量时时即即另另一一变变量量 的的可可微微函函数数则则( )( ),yf xfx 设设函函数数有有导导数数( )( )dyfxt dt ,)(dxdtt .)(dxxfdy 第22页/共54页第二十二页，共55页。结论结论(jiln)：,( )xyf x 无无论论 是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量 函函数数的的微微分分形形式式总总是是微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)( 我们发现我们发现 y = f (u), y = f (u),当当 u u 为中间为中

16、间(zhngjin)(zhngjin)变量变量时的微分形式与时的微分形式与 u u 为自变量时的微分的形为自变量时的微分的形式相同式相同 , ,均为均为 dy = f dy = f (u) du , (u) du , 这种性质这种性质称为称为函数的一阶微分形式不变性函数的一阶微分形式不变性 . .第23页/共54页第二十三页，共55页。例例4 4解一解一sin(21),.yxdy 设设求求(sin )dydu )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx cosudu 21sin .uxyu设设，则则利用利用(lyng)(lyng)微分形式的微分形式的不变性不

17、变性第24页/共54页第二十四页，共55页。解二解二( )sin(21)fxx2cos(21)x( )dyfx dx .)12cos(2dxx cos(21) (21)xx ( )sin(21),yf xx利用微分利用微分(wi fn)(wi fn)与导数与导数的关系的关系第25页/共54页第二十五页，共55页。例例5 5解一解一.,cos31dyxeyx求求设设 1 3(cos)xdyd ex 1 31 3cos(13 )( sin)xxx edxex dx 1 31 33cos( sin )xxx edxex dx )(cos)(cos3131xdeedxdyxx 1 3(3cossin)

18、.xexx dx 第26页/共54页第二十六页，共55页。解二解二1 3( )cosxyf xex 1 31 3) cos(cos()xxexex 1 31 3cossi3nxxexex 1 3cos)( )(xexfx 1 3( coss)3inxexx ( )dyfx dx 1 3( cossi3n ).xexx dx 第27页/共54页第二十七页，共55页。练练 习习21.ln(),.xyxedy设设求求sin,.axyebxdy 2.2.设设求求第28页/共54页第二十八页，共55页。答答 案案21.ln()xdydxe解解一一：221()xxd xexe 221(12 )xxex d

19、xxe 2212.xxxedxxe 第29页/共54页第二十九页，共55页。22121.,xxxeyxe 解解二二：.2122dxexxedyxx 第30页/共54页第三十页，共55页。2. 解解一一：sin()(sin)axaxbx d eedbxsin()cos()axaxbx edaxebxd bx(sin)axdyd ebx sincosaxaxabx edxbebxdx ( cossin).axebbxabx dx sin()cosaxaxbxa edxebbxdx 第31页/共54页第三十一页，共55页。2. 解解二二：() sin(sin)axaxebxebxsincosaxax

20、aebxbebx (sin)axyebx ( cossin).axebbxabx ( )dyfx dx ( cossin).axebbxabx dx 第32页/共54页第三十二页，共55页。例例6 6解解在下列等式左端的括号中填入适当在下列等式左端的括号中填入适当(shdng)的函数的函数,使等式成立使等式成立.(1) ();(2)()cos.dxdxdtdt 22(1)()()( )2,d xCd xd Cxdx22111(2)() ()222xdxxdxd xCdxC21()2xC 第33页/共54页第三十三页，共55页。(2)(sin)cos,dttdt 1cos(sin)tdtdt 1

21、(sin)cos.dtCtdt 1(sin);dt 第34页/共54页第三十四页，共55页。练习练习(linx)(linx)解解在下列等式左端的括号中填入适当在下列等式左端的括号中填入适当(shdng)的函数的函数,使等式成立使等式成立.22(1) ()sec 3;(2)(sin)() ().dxdxdxdx (1)(tan3)(tan3 )( )dxCdxd C221sec 3(3sec 3)311(tan3 )(tan3 )33xdxxdxdxdx22sec 3(3 )3sec 3xdxxdx 第35页/共54页第三十五页，共55页。22(sin)2 cos(2)1()2dxxx dxdx

22、dxx 24cos,xxx 22(sin)(4cos) ().dxxxxdx第36页/共54页第三十六页，共55页。七、七、 微分微分(wi fn)(wi fn)在近似计算中在近似计算中的应用的应用 在处理实验数据时，经常会遇到一在处理实验数据时，经常会遇到一些比较些比较(bjio)(bjio)难算公式。如果直接用难算公式。如果直接用公式进行公式进行计算，那是很费力的。利用微分有时可计算，那是很费力的。利用微分有时可以把有些复杂的计算公式用简单的近似以把有些复杂的计算公式用简单的近似公式代替。公式代替。第37页/共54页第三十七页，共55页。1、计算函数(hnsh)增量的近似值00( )()0

23、,yf xxfxx 若若在在点点处处的的导导数数且且很很小小时时000()xxxxydyfxx 第38页/共54页第三十八页，共55页。例例7 710.01.cmcmg有有一一批批半半径径为为的的球球，为为了了提提高高球球面面的的光光洁洁度度，要要镀镀上上一一层层铜铜，厚厚度度为为估估计计每每只只球球需需用用铜铜多多少少 ？分析分析(fnx)根根据据题题意意可可知知，要要求求每每只只球球所所需需铜铜的的克克数数，344(10.01),33V 即即求求镀镀铜铜部部分分的的体体积积铜铜的的密密度度mV 而这个运算量是很大的，于是我们而这个运算量是很大的，于是我们想到用微分这个线形想到用微分这个线形

24、(xin xn)(xin xn)主部来主部来近似取代变化量。近似取代变化量。第39页/共54页第三十九页，共55页。解解,.RV由由已已知知设设球球的的半半径径为为体体积积为为01(),Rcm 34,3VR 0.01,R 324()4,3VRR00R RR RVdV40.01 0R RVR 204 RR 30.126().cm 00R RR RmVdV8.90.1261.12( ).g 第40页/共54页第四十页，共55页。练练 习习10,0.05,?半半径径厘厘米米的的金金属属圆圆片片加加热热后后 半半径径伸伸长长了了厘厘米米 问问面面积积增增大大了了多多少少解解2,Ar 设设10,0.05

25、.rr 厘厘米米厘厘米米2AdArr 210 0.05 2(). 厘厘米米第41页/共54页第四十一页，共55页。 在计算函数值时在计算函数值时, ,经常会遇到经常会遇到(y do)(y do)一一些比些比较难算的函数。如果直接用公式进行计较难算的函数。如果直接用公式进行计算，那是很费力的。利用微分有时可以算，那是很费力的。利用微分有时可以把难算的函数用容易算的点的函数值求把难算的函数用容易算的点的函数值求其近似值代替其近似值代替 。第42页/共54页第四十二页，共55页。2、计算(j sun)函数的近似值0(1)( )f xxx 求求在在附附近近的的近近似似值值)()(00 xfxxfy .

26、)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 第43页/共54页第四十三页，共55页。 三角函数三角函数(snjihnsh)(snjihnsh)的函数值，的函数值，可以用在特殊点可以用在特殊点处的函数值求微分近似代替。处的函数值求微分近似代替。例例8 8o osin30 30 利利用用微微分分计计算算的的近近似似值值. .解解( )sin,f xx 设设( )cos ,()fxxx 为为弧弧度度0,6360 xx 1()sin,662f 3()cos,662f o osin30 30sin()6360 sincos66 3601322360 0.5076. 第44

27、页/共54页第四十四页，共55页。练练 习习.0360coso的近似值的近似值计算计算 解解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为弧度为弧度xxxf ,360,30 xx.23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 1322360 .4924. 0 第45页/共54页第四十五页，共55页。(2)( )0;f xx 求求在在附附近近的的近近似似值值( )(0)(0).f xffx 000()()(),f xxf xfxx 00,xxx 令令第46页/共54页第四十六页，共55页。常用近似常用近似(jn s)公式公式()x 很很小小时时1(1)11;(2)sin();(3)tan();(4)1;(