函数的极值新实用教案

1、 单调(dndio)性与导数有何关系?设函数(hnsh)y=f(x)在某个区间内可导，如果(rgu)f (x)0，则f(x)为增函数；如果f (x)0，则f(x)为减函数；如果f (x)=0，则f(x)为常数函数；复习回顾第1页/共23页第一页，共24页。 yxOaby=f(x)x1 f (x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4) 函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右附近各点处的函数值相比有什么(shn me)特点?观察(gunch)图像第2页/共23页第二页，共24页。一、函数的极

2、值(j zh)定义一般(ybn)的，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对X0附近(fjn)的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函数的极大值与极小值统称为极值. (极值即峰谷处的值-不一定最大或最小）使函数取得极值的点x0称为极值点第3页/共23页第三页，共24页。二、新课函数(hnsh)的极值:请注意(zh y)以下几点: (1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数(hnsh)值与它附近点的函数(hnsh)值比较是最大或最小.并不意味着它在函数(hnsh)的整个的定义域内最大或最小.也

3、就是说极值与最值是两个不同的概念.第4页/共23页第四页，共24页。 (2)函数的极值不是唯一的.即一个(y )函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个(y ). (3)极大值与极小值之间无确定的大小(dxio)关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)f(x1).oaX1X2X3X4baxy)(4xf)(1xf第5页/共23页第五页，共24页。 (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点(dun din)不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点(dun din). 在上节课中,我

4、们是利用(lyng)函数的导数来研究函数的单调性的.下面我们利用(lyng)函数的导数来研究函数的极值问题. 由上图可以看出,在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有 .但反过来不一定.如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小.假设x0使 .那么在什么情况下x0是f(x)的极值点呢？0)(0= = xf0)(0= = xf第6页/共23页第六页，共24页。 f (x)0 yxOx1aby=f(x)在极大值点附近(fjn)在极小值点附近(fjn) f (x)0 f (x)01、如果在x0附近的左侧f

5、(x)0，右侧f (x)0，则f (x0)是极大值；2、如果在x0附近的左侧f (x)0， 则f (x0)是极小值；已知函数f(x)在点x0处是连续的（未必可导！），则二、判断(pndun)函数极值的方法x2（1）导数为0的点一定是极值点吗？不一定！（2）若极值点处可导则一定为0吗？一定！（3）端点会是极值点吗？不会！（4）极值只有一个吗？不一定！（5）极大值一定比极小值大吗？不一定！第7页/共23页第七页，共24页。 yxO观察(gunch)思考 极值与导数有何关系？在极值点处，曲线(qxin)如果有切线，则切线是水平的。aby=f(x)x1 f (x1)=0 x2 f (x2)=0 x3

6、f (x3)=0 x4 f (x5)=0 x5不存在(cnzi)第8页/共23页第八页，共24页。要注意(zh y)以下两点: (1)不可导函数也可能有极值点.例如函数y=|x|,它在点x=0处不可导,但x=0是函数的极小值点.故函数f(x)在极值点处不一定(ydng)存在导数. (2)可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.因此(ync)导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号. 因此,利用求导的方法,求函数的

7、极值时,在函数的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”,除了确定其导数为零的点外,还必须确定函数定义域内所有不可导的点,这两类点构成了函数定义域内所有的可能取到极值的“可疑点”.第9页/共23页第九页，共24页。注意：函数(hnsh)极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数(hnsh)在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数(hnsh)来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。1、判断下面(xi mian)4个命题，其中是真命题序号为 。可导函数必有极值；函数在极值点必有定义；函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）；函数的极小值（或极大值

8、）不会多于一个。课堂练习第10页/共23页第十页，共24页。 2、（1）如图是函数 的图象,试找出函数 的 极值点,并指出(zh ch)哪些是极大值点,哪些是极小值点？（2）如果(rgu)把函数图象改为导函数 的图象? yf x=答： yfx=1、x1,x3,x5,x6是函数(hnsh)y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数(hnsh)y=f(x)的极小值点。2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x)的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。第11页/共23页第十一页，共24页。 下面分两种情况(qngkung)讨论: （

9、1）当 ，即x2,或x-2时;（2）当 ，即-2 x2时。例1.求函数 的极值(j zh). 31443f xxx=解:当x变化(binhu)时， 的变化(binhu)情况如下表： x当x=-2时, f(x)的极大值为 令解得x=2,或x=-2.单调递减当x=2时, f(x)的极小值为22第12页/共23页第十二页，共24页。求可导函数(hnsh)f(x)极值的 步骤：(2)求导数(do sh)f (x)；(3)求方程(fngchng)f (x）=0的根和导数不存在的点； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格检查f (x)在方程根及导数不存在点左右的符号如果左正右负（+ -）， 那么f(x

10、)在这个根处取得极大值；如果左负右正（- +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；(1) 确定函数的定义域；第13页/共23页第十三页，共24页。例2 求函数 y=(x2-1)3+1 的极值(j zh)。x(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)y00+0+y无极值无极值极小值极小值0无极无极值值解：定义域为R， y=6x(x2-1)2。由y=0可得x1=-1, x2=0 ，x3=1当x变化时，y , y的变化情况(qngkung)如下表：因此(ync)，当x=0时， y极小值=0点评：一点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号。第14页/共23页第十四页，共24页。例3. 已知

11、函数 在 处取得极值。（1）求函数 的解析式 （2）求函数 的单调区间 322f xaxbxx=2,1xx= = f x f x解：（1） f x2,1xx= = 在 取得极值， 第15页/共23页第十五页，共24页。xyo11x2x2课堂练习第16页/共23页第十六页，共24页。0第17页/共23页第十七页，共24页。例4:已知函数 f(x)满足条件:当x2时, ;当 x2,由条件可知 ,即:2 x0)(2 xf; 02)()(2 = = xxfxg当 时,x20,0)(= = xf故 有不相等的两实根、,设.0)(= = xf又设g(x)=-ax2-2bx+a, 由于-a0，则f(x)为增函数；如果f (x)0，则f(x)为减函数；如果f (x)=0，则f(x)为常数函数；B(04全国卷理10) 函数 在下面哪个区间内是增函数 （ ） A B C Dxxxysincos = =)23,2( )2 ,( )25,23( )3 ,2( 如:复习回顾第22页/共23页第二十二页，共24页。感谢您的观看(gunkn)！第23页/共23页第二十三页，共24页。NoImage内容(nirng)总结单调性与导数有何关系(gun x)。一