2021届高三,,解三角形大题狂练,,答案解析

1、2021届高三,解三角形大题狂练,答案解析 解三角形 类型一：求面积、周长的最值 1.（2021 届山东模拟）平面四边形 abcd 中，边 bc 上有一点 e ，Ðadc = 120 o ，ad = 3 ，sin Ðecd =32 ， de = 3 ，ce =43 3。 （1）求 ae 的长； （2）已知Ðabc = 60° 求 dabe 面积的最大值 解(1)在 ced d 中由正弦定理可得cde cdeceecddeÐ=Ð=Ð sin43 3323,sin sin即 , ,21sin = Ðcde 因为 de

2、ce < ,所以 cde Ð 是锐角，故 ° = Ð 30 cde ， ° = Ð 90 ade , 在直角三角形 ade 中， 3 2 , 12 3 3 22 2 2= = + = + = ae de ad ae . （2）在 abe d 中， ° = Ð = 60 , 3 2 abc ae ,由余弦定理可得： be ab be ab be ab be ab ae × - + = ° × - + =2 2 2 2 212 , 60 cos 2 因为 12 , 2 12 , 22 2

3、63; × × ³ + × × ³ + be ab be ab be ab be ab be ab q 从而， 3 34360 sin21£ × = ° × = be ab be ab s 2.（2021 届济宁）已知 abc 内接于单位圆，且 ( )( )1 1 2 tana tanb + + = ， ( ) 1 求角 c ( ) 2 求 abc 面积的最大值 解： ( ) ( )( ) 1 1 1 2 tana tanb + + = 1 tana tanb tana tanb + = - &

4、#215; ， ( ) 11tana tanbtanc tan a btanatanb+ = - + = - = -， ( )3c 0,4cpp Î = ( ) 2 abc 的外接圆为单位圆， 其半径1 r = 由正弦定理可得 2 2 c rsinc = = ， 由余弦定理可得2 2 22 c a b abcosc = + - ， 代入数据可得2 22 2 a b ab = + + ( )2 2 2 2 ab ab ab ³ + = +，当且仅当 a=b 时，"='成立 22 2ab £+， abc 的面积1 1 2 2 12 2 2 2 2s

5、absinc-= £ × =+， b a c 面积的最大值为：2 12- 3.（2021 届济南）在平面四边形 abcd 中，已知 ab2 ，ad3，adb2abd，bcd （1）求 bd； （2）求 bcd 周长的最大值 解：（1）在 abd 中，由正弦定理得： 2cosabd， cosabd ， cosabd ， 即：bd 2 8bd+150， 解得：bd3 或 5； （2）在 bcd 中，bcd ，由余弦定理得：cosbcd ， bc 2 +cd 2 bd 2 bccd， （bc+cd） 2 bd 2 +3bccd， 由基本不等式得： ， （bc+cd） 2 ， ，

6、（bc+cd） 2 4bd 2 ， 当 bd3 时，bc+cd6，即 3bc+cd6，所以 6bc+cd+bd9， 当 bd5 时，bc+cd10，即 3bc+cd10，所以 6bc+cd+bd13 所以 bcd 周长的最大值为：9 或 13 4. （2021 届济南）在 abc d 中，角 , , a b c 的对边分别为 , , a b c ，已知 4 a = ，tan tantan tana b c ba b c- -=+ （1）求 a 的余弦值； （2）求 abc d 面积的最大值 解：（1）由tan tantan tana b c ba b c- -=+，得(tan tan ) 2t

7、antan tana b b c ba b c+ - -=+，即2tan1 1tan tanb ba b c- = -+， 2tantan tanb ba b c=+，又由正弦定理sinsinb bc c= ，可得2tan sintan tan sinb ba b c=+， 即2sin sin sinsin sincos cos cosb a bc bb a bæ ö× = + ×ç ÷è ø，由 sin 0 b ¹ ， 整理得： 2sin cos sin cos cos sin sin( ) sin c

8、 a a b a b a b c × = + = + = ， 由 sin 0 c ¹ ，得1cos2a= （2）由（1）知3ap= ，则由余弦定理可得2 2 2 2 22 cos 2 a b c bc a b c bc bc bc bc = + - = + - - = ， 当且仅当 b c = 时等号成立，即216 bc a = 所以1 1 3sin 16 4 32 2 2abcs bc ad= ´ ´ = 5. （2021 届江门）在 abc d 中，角 , , a b c 的对应边分别为 , , a b c （1）若 , , a b c 成等比数列，

9、12cos13b = ，求cos cossin sina ca c+ 的值； （2）若角, , a b c 成等差数列，且 =2 b，求abc d周长的最大值 解：（1）在 abc 中，cosb=1213 b (0, ) p Î sinb=513 a、b、c 成等比数列，b 2 ac， 由正弦定理得 sin 2 bsinasinc， cos coscsin sinaa c+ =2sin(a c)sin b+=2sinsinbb=1 13sin 5 b= （2）b2，a、b、c 成等差数列， 2ba+c180b，b60，则 sinb=32， 由正弦定理，得4 3sin sin sin

10、3a b ca b c= = = 4 3sin3a a = ，4 3sin3c c = a+c120，即 c120a， abc 周长为 la+b+c=4 3(sina sin ) 23c + + =4cos（a60）+2 0a120，60a6060， <21cos（a60）1，44cos（a60）+26， 当 abc60时， abc 周长 l 取得最大值为 6 6.（2021 届山东模拟）.已知 abc d 的内角, , a b c 的对应边分别为 , , a b c ， 在 () 3cos cos cos sin c a b b a c c + = sin sin2a ba c a+=

11、 ( )22sin sin sin sin sin b a c b a - = - 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当_时，求 sin sin a b × 的最大值. 解：若选，则由正弦定理 ( ) 3cos sin cos sin cos sin sin c a b b a c c + = ， ( ) 3cos sin sin sin c a b c c + = ， 3 tanc = ，3cp= 若选，则由正弦定理知： sin sin sin sin2ca c ap -= ， cos sin 2sin cos2 2 2c c cc = = ，1sin2 2c= ，3cp=

12、若选，则有正弦定理知 ( )22b a c bc - = - ， 2 2 2b a c bc + - = ，由余弦定理知：1cos2c = ，3cp= ， 23a bp+ = ，2sin sin sin sin3a b a ap æ ö × = × -ç ÷è ø3 1sin cos sin2 2a a aæ ö= × +ç ÷ç ÷è ø ( )23 1 3 1sin cos sin sin2 1 cos22 2 4 4a

13、a a a a = × + = + -1 1sin 22 6 4ap æ ö= - +ç ÷è ø 20,3ap æ öÎ ç÷è ø，72 ,6 6 6ap p p æ ö - Î -ç ÷è ø，所以当3ap= 时， sin sin a b × 的最大值是34. 7.（2021 届江西调研）设 abc 的内角 a，b，c 的对边长 a，b，c 成等比数列，( ) 2cos

14、2sin 12a c bp æ ö- - + =ç ÷è ø，延长 bc 至 d 使 3 bd= . （1）求 b 的大小； （2）求cd ac ·的取值范围. 解：（1）依题可得： ( )1cos cos2a c b - - = ， ( ) ( )1cos cos2a c a c - + + = ， 1cos cos4a c = 又因为长 a，b，c 成等比数列，所以2b ac = ，由正弦定理得：2sin sin sin b a c = - 得：21sin cos cos sin sin4b a c a c - = -

15、， 化简得：24cos 4cos 3 0 b b + - = ，解得：1cos2b = ，又 0 b p < < ，所以3bp= ， （2） + 得： ( ) cos 1 a c - = ，即 0 a c - =，即 a c = ，即三角形 abc 为正三角形， 设 abc 的边长为 x，由已知可得 0 3 x < < ， 则 ( ) ( ) ( )1cos 3 cos 33 2ac cd ac cd acd x x x xpp × = × -Ð = - = -uuur uuur uuur uuur 21 9 9 93 0,2 4 4 8x

16、 xæ ö æ ù= - - + - Îç ÷ çúè ø è û（当且仅当32x = 时取等号）. cd ac ·的取值范围90,8æ ùçúè û. 8.（2021 届合肥）已知函数 （1）求函数 f（x）在0，上的单调递减区间； （2）在锐角 abc 的内角 a，b，c 所对边为 a，b，c，已知 f（a）1，a2，求 abc的面积的最大值 解：（1）利用三角公式化简变形由已知得 ， （kz

17、） 函数 f（x）在0，的单调递减区间为 和 （2）abc 为锐角三角形， ， 又 ，即 a 2 b 2 +c 2 2bcosab 2 +c 2 bc2bcbcbc，又 a2，bc4， 当且仅当 bc2 时， abc 的面积取得最大值 9. （2021 届惠州）在 abc d 中，已知内角 , , a b c 所对的边分别为 , , a b c ，向量 ( 3, 2sin ) m b = - ， 向量 (cos ,cos2 ) n b b = ，且 / / m n ，角 b 为锐角。 （1）求角 b 的大小； （2）若 2 b = ，求 abc d 面积的最大值。 解：（1）由 / / m n

18、 得 3cos2 = 2sin cos b b b - ， 即 sin23cos2 b b = - 所以 tan2 3 b = - b 为锐角， 2 (0, ) b p Î ， 223bp = ， 即3bp= （2） , 23b bp= = ， 由余弦定理2 2 2cos2a c bbac+ -= ， 得2 24 0 a c ac + - - = 又2 22 a c ac + ³ 代入上式得 4 ac£ ， 当且仅当 2 a c = = 时取等号成立. 1 1 3 3sin 32 2 2 4abcs ac b ac acd = = ´ = £

19、， 故 abc d 的面积最大值为 3 . 10.（2021 届惠州）已知 abc 的内角 a、b、c 满足sin sin sin sinsin sin sin sina b c bc a b c- +=+ - （1）求角 a； （2）若 abc 的外接圆半径为 1，求 abc 的面积 s 的最大值 解：（1）由正弦定理可得a b c bc a b c- +=+ -，化简得2 2 2b c a bc + - = ， 由余弦定理2 2 2cos2b c aabc+ -= 得1cos2 2bcabc= = ， 又因为 0 a p < < ，所以3ap= （2）解法一：由正弦定理得 2

20、2 sin 2sin 3sin 3ar a r aap= Þ = = = ， 由余弦定理得2 23 2 b c bc bc bc bc = + - ³ - = ， 即 3 bc£ ，（当且仅当 b c = 时取等号） 故1 1 3 3 3sin 32 2 2 4s bc a = £ ´ ´ = （当且仅当 b c = 时取等号） 即 abc 面积 s 的最大值为3 34 解法二：由正弦定理： 2 2sin sinb crb c= = = ， 2sin b b = ， 2sin c c = 1 1sin (2sin ) (2sin )

21、sin 3sin sin2 2 3s bc a b c b cp= = ´ ´ ´ = ， a b c p + + = ，1 3sin sin( ) sin sin cos3 2 2b a c c c cp æ ö = + = + = +ç ÷è ø 23 3 3 3sin cos sin sin2 (1 cos2 )2 2 4 4s c c c c c = + = + - 3 3 1 3 3 3sin2 cos2 sin 22 2 2 4 2 6 4c c cpæ öæ &

22、#246;= × - × + = - +ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø 203cp< < ，当 26 2cp p- = ，即3cp= 时， 即 abc 面积 s 的最大值为3 34 类型二：求面积 1. （2021 届济南） abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，且满足 cos cos 2 c a a c a + = （1）求ab的值； （2）若 1 a = ， 7 c = ，求 abc 的面积 解：（1）由正弦定理， cos cos 2 c a

23、a c a + = 可化为 sin cos cos sin 2sin c a c a a + = ，也就是 sin() 2sin a c a + = 由 abc 中 a b c p + + = 可得 sin() sin( ) sin a c b b p + = - = 即 sin 2sin b a = 由正弦定理可得 2 b a = ，故12ab= （2）由 1 a = 可知 2 b = 而 7 c = ，由余弦定理可知2 2 21cos2 2a b ccab+ -= = - 又 0 c p < < ，于是23cp= 1 1 2 3sin 1 2 sin2 2 3 2abcs ab

24、 cp= = ´ ´ ´ = 2.（2021 届济南）已知函数 ( ) 2cos sin6f x x xp æ ö= +ç ÷è ø. （1）求 ( ) f x 的最小正周期； （2）在 abc 中，角 , , a b c 所对的边分别为 , , a b c ，若 ( ) 1 f c = ， sin 2sin b a = ，且 abc 的面积 解：（1） ( )3 1 12cos sin cos sin 22 2 6 2f x x x x xpæ öæ ö= + =

25、 + +ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø， ( ) f x 的最小正周期为 t p = （2） ( )1sin 2 16 2f x cp æ ö= + + =ç ÷è ø1sin 26 2cp æ ö+ =ç ÷è ø 1326 6 6cp p p< + < ，526 6cp p+ = ，3cp= sin 2sin b a = ， 2 b a = 又 abc 的面积为

26、 2 3 ，1sin 2 32 3abp= 8 ab= ， 2 a = ， 4 b = 由余弦定理得 2 3 c = 3. （2021 届济南）已知 a，b，c 分别为 abc 内角 a，b，c 的对边，a=2设 f 为线段 ac上一点，cf= 2 bf有 下列条件：c=2；b= 2 3 ；2 2 23 a b ab c + - = 请从这三个条件中任选两个，求cbf 的大小和 abf 的面积 解：选，则 2, 2 3 a c b = = = . 由余弦定理可得2 2 21cos2 2a c babcac+ -Ð = = - 又 ( )20,3abc abcpp Ð 

27、06; Ð = ，所以 所以6a cp= = 在 bcf d 中，由正弦定理 2sin sincf bfcf bfcbf c= =Ð，及 可得2sin2cbf Ð = ， 又23 4cbf cba cbfp pÐ < Ð = Ð = ，所以 ， 所以512abf afbpÐ = Ð = ，所以 2 af ab = = 所以12 2sin 12 6abfspd= ´ ´ = 选，因为2 2 22, 2 3, 3 a b a b ab c = = + - = ，所以 2 c= . 由余弦定理可

28、得2 2 23cos2 2a b ccab+ -Ð = = 又 ( ) 0, c p Î ，所以6cp= 所以2,6 3a c abc a cp pp = = Ð = - - = 在 bcf d 中，由正弦定理 2sin sincf bfcf bfcbf c= =Ð，及 可得2sin2cbf Ð = ， 又23cbf cbapÐ < Ð = ，所以4cbfpÐ = ， 所以512abf afbpÐ = Ð = ，所以 2 af ab = = 所以12 2sin 12 6abfspd= &#

29、180; ´ = 选，由余弦定理可得2 2 23cos2 2a b ccab+ -= = ( ) 0,6c cpp Î = ，所以 ， 因为 ,6a c a cp= = = 所以 ， 所以23abc a cpp Ð = - - = 在 bcf d 中，由正弦定理 2sin sincf bfcf bfcbf c= =Ð，及 ， 可得2sin2cbf Ð = ， 又23 4cbf cba cbfp pÐ < = Ð = ，所以 ， 所以5212abf afb af abpÐ =Ð = = = ，所以 所

30、以12 2sin 12 6abfspd= ´ ´ = 4.（2021 届深圳）在 abc 中，内角 a，b，c的对边分别为 a，b，c，已知cos 2cos 2cosa c c ab b- -= . （1）求ca的值； （2）若1cos4b = ， 2 b = ，求 abc 面积 s. 解：(1)由正弦定理, cos 2cos 2sin sincos sina c c ab b- -= sin cos 2sin cos 2cos sin cos sin b a b c b c b a - = - sin cos cos sin 2cos sin 2sin cos b a b

31、 a b c b c + = + ( ) ( ) sin 2sin a b b c + = + ,根据内角和有 ( ) ( ) sin 2sin sin 2sin c a c a p p - = - Þ = . 根据正弦定理有 2 c a = ,即 2ca= . (2)由余弦定理有2 2 22 cos b a c ac b = + - ,由(1) 2 c a = ,代入1cos4b = , 2 b = 即2 2 214 4 4 14a a a a = + - ´ Þ = .故 2 c= .又因为 ( ) 0, b p Î ,215sin 1 cos4b

32、b = - = . 故1 15sin2 4s ac b = = . 5.（2021 届珠海）如图，点 a在 bcd 的外接圆上，且3sin5a = ，a为锐角， 5 ad cd = = ，3 5 bd = . （1）求 ab ； （2）求四边形 abcd 的面积. 【详解】解：（1）3sin5a = ，a为锐角，4cos5a= ，在 abd 中由余弦定理得：2 2 22 cos bd ad ab ad ab a = + - × 28 20 0 ab ab - - = ，得 10 ab= 或 2 ab=- （舍去）， 10 ab= （2）由（1）可知1 1 3sin 10 5 152

33、2 5abds ab ad a = × = ´ ´ ´ = abcd 四点共圆， a c p Ð +Ð = ，3sin5c = ，4cos5c = - ，在 bcd 中由正弦定理得：sin sinbd cdc dbc=Ð，即3 5 53sin5dbc=Ð，得5sin5dbc Ð =2 5cos5dbc Ð = sin sin( ( ) sin( ) bdc dbc bcd dbc bcd p Ð = - Ð +Ð = Ð +Ð =5 4 2 5

34、3 2 55 5 5 5 25æ ö´ - + ´ =ç ÷è ø 1 1 2 5sin 3 5 5 32 2 25bcds bd cd bdc = ´ ´ ´ Ð = ´ ´ ´ = 四边形 abcd 面积 15 3 18 s = + = 6.（2021 届调研）设函数23( ) 3sin cos sin2f x x x x = + - ，a，b，c 分别为 abc d 内角 a，b，c 的对边.已知 ( ) 0 f a = ， 2 b = .

35、 （1）若 2 3 a = ，求 b； （2）若 2 a c = ，求 abc d 的面积. 解（1）3 1 cos2 3( ) sin2 sin 2 12 2 2 6xf x x xp - æ ö= + - = - -ç ÷è ø， 因为 ( ) 0 f a = ，所以 26 2ap p- = ，即3ap= . 因为sin sina ba b= ，所以sin 1sin2b aba= = ， 因为 (0, ) b p Î ，所以6bp= 或56p， 又 b a < ，所以6bp= . （2）由余弦定理，可得2 2 2(

36、2 ) 2 2 2cos3c c cp= + - ´ ´ ， 即23 2 4 0 c c + - = ，解得1 133c- += （负根舍去）， 故 abc d 的面积为1 1 1 13 39 3sin 2 sin2 2 3 3 6bc ap - + -= ´ ´ ´ = 7. （2021届东莞）如图，在 abc 中，内角 a b c ， ， 所对的边分别为 a b c ， ， ，且 2c o s 2 a c c b - = （1）求角 a 的大小； （2）若6abcpÐ = ， ac 边上的中线 bd 的长为 7，求 abc 的面积

37、 解：（1）由 2 cos 2 a c c b - = 及正弦定理，得 2sin cos sin 2sin a c c b - = 即 ( ) 2sin cos sin 2sin a c c a c - = + ， 整理得 sin 2sin cos c c a - = ， 因为 sin 0 c ¹ ，所以1cos2a= - ， 又因为 ( ) 0 a p Î ， ，则23ap= （没写角的范围扣 1 分） （2）由（1）知23ap= ，又因为6abcpÐ = ， 所以6cp= ， 所以 ac ab = 设 ad x = ，则 2 ab x = ， 在 abd 中应

38、用余弦定理，得2 2 22 cos bd ab ad ab ad a = + - × ， 即27 7 x = ，解得 1 x= ， 故 abc 的面积21 24 sin 32 3s xp= × × = 类型三：求边长 1.（2021 届江门）在 abc d 中，边, , a b c 所对的角分别为 , , a b c ，已知 a c >， abc d 的面积为 2 2 ， ( )2sin sin sin3a b c a - + = ， 3 b= (1)求 sinb 的值； (2)求边 a ， c 的值 解： (1)由 ( )2sin sin sin3a b

39、c a - + = ， ( ) c a b p = - + 得 ( )2sin cos cos sin sin sin3a b a b a b a - + + = ， 即22sin cos sin3a b a = ， 0 a p < < sin 0 a ¹ ，1cos3b = . 0 b p < < 2 2sin3b = (2)由余弦定理得：2 2 2 2 222 cos3b a c ac b a c ac = + - = + - ， 得2 2293a c ac + - = ， 又1sin 2 22abcs ac bd= = ， 6 ac = ， 由解得32a

40、c= ìí=î，或23ac= ìí=î， a c >， 3 a = ， 2 c = . 2.（2021 届惠州）在 abc 中，角 , , a b c 的对边分别为 , , a b c ，已知 2 a = ， 5 b = ， 2 b a = （1）求 cos a ； （2）求 c 边的值 解（1）由正弦定理sin sina ba b= 得2 5sin sin2 a a= 即2 5sin 2sin cos a a a= 因为 sin 0 a¹ ，可解得5cos4a= （2）由余弦定理2 2 22 cos a b c bc

41、 a = + - 得2 2 252 ( 5) 2 54c c = + - × × ， 整理得：22 5 2 0 c c - + = 解得 2 c= 或12c = 当 2 c a = = 时，得 a c = ，又因为 2 b a = ，故 ,4 2a c bp p= = = ， 所以 2 b a = ，与已知矛盾，所以 2 c= 不满足要求 当12c = 时，经检验符合要求 综上可知：12c = 3.（2021 届东莞） abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，若 （1）求 a； （2）若 b4，c2，am 为 bc 边上的中线，求 am 的长 解：（1）由 ，

42、可得：sincsinacosb sinbsina，sincsin（a+b）sinacosb+cosasinb cosasinb sinbsina0，化为：tana ，a（0，） a （2） abc 中，由余弦定理可得：a 2 4 2 +2 2 242cos 12，解得 a2 a 2 +c 2 b 2 ，b am 4. （2021 届衡水调研）在 abc 中，角, , a b c 的对边分别为 , , a b c ，若2cos3a= ，2 b a = ， 8 b= . （1）求边长 a ； （2）已知点 m 为边 bc 的中点，求 am 的长度. 【详解】解：（1）由 0 a p < &l

43、t; ,2cos3a= ,得25sin 1 cos3a a = - = , 所以5 2 4 5sin sin2 2sin cos 23 3 9b a a a = = = ´ ´ = , 由正弦定理sin sina ba b= ,可得sin6sinb aab= = . （2）222 1cos cos2 2cos 1 2 13 9b a aæ ö= = - = ´ - = -ç ÷è ø, 在 abc 中, ( )22cos cos sin sin cos cos27c a b a b a b = - + =

44、 - = 在 acm 中,由余弦定理得：2 2 23052 cos9am ac cm ac cm c = + - × × = 所以,3053am = 5. （2021 届.皖南八校调研） abc 中，内角 a ， b ， c 的对边分别是 a ， b ， c ，5sin3a = ，b 2a = ， b 4 = （1）求 a 的值； （2）若 d 为 bc 中点，求 ad 的长 【详解】（1） 2 b a = ， 0,2ap æ öÎ ç÷è ø， 由5sin3a = ，得2cos3a= ， 5 2 4 5

45、sin sin2 2sin cos 23 3 9b a a a = = = ´ ´ = ， 由正弦定理sin sina ba b= ，可得54sin33sin 4 59b aab´= = =， 所以， a 的值为 3. （2）222 1cos cos2 2cos 1 2 13 9b a aæ ö= = - = ´ - = -ç ÷è ø， 22cos cos( ) sin sin cos cos27c a b a b a b = - + = - = ， 在 acd 中，由余弦定理得 2 2 2

46、2 23 3 22 3052 cos 4 ( ) 2 42 2 27 36ad ac cd ac cd c = + - × × = + - ´ ´ ´ = ， 解得3056ad = ， 所以3056ad = . 6.（2021 届泉州）已知四边形 abcd 中， 7 ac = ， 5 bc = ， 120 abc Ð = （1）求 abc 的面积； （2）若 acd 是等边三角形，求 bd 解：（1） abc 中，2 2 22 cos ac ab bc ab bc abc = + - × × Ð ， 化简

47、得25 24 0 ab ab + - = ，解得 3 ab = 或 8 ab =- （舍去）； 所以 abc 的面积1sin2s ba bc abc = × × Ð1 33 52 2= ´ ´ ´15 34= （2） abc 中，sin sinbc acbac abc=Ð Ð，所以sin 5 3sin14bc abcbacac× ÐÐ = = ， 11cos14bac Ð = cos cos3bad bacp æ öÐ = Ð +

48、31; ÷è ø1 3cos sin2 2bac bac = Ð - Ð1 11 3 5 32 14 2 14= ´ + ´1314= bad 中，2 2 22 cos bd ab ad ab ad bad = + - × × Ð2 2133 7 2 3 714= + - ´ ´ ´ 19 = ， 所以 19 bd = 7.（2021 届济宁）如图，d 是直角 abc 斜边 bc 上一点， 3 ac dc = （1）若 60 bad Ð = ，求 adc

49、Ð 的大小； （2）若 2 bd dc = ，且 6 ab = ，求 ad 的长 解：（1） ) bad 60 Ð = ， bac 90 Ð = ， dac 30 Ð = ， 在 adc 中，由正弦定理可得：dc acsin dac sin adc Ð Ð= ， ac 3sin adc sin dacdc 2Ð Ð = = ， adc 120 Ð = 或 60 ， 又 bad 60 Ð = ， adc 120 Ð = （2） )bd 2dc =， bc 3dc = ， 在 abc 中，

50、由勾股定理可得：2 2 2bc ab ac = + ，可得：2 29dc 6 3dc = + ， dc 1 = ， bd 2 = ， ac 3 = ， 令 adb Ð = ，由余弦定理： 在 adb 中，2 2 2ab ad bd 2ad bd cos = + - × × ， 在 adc 中， ( )2 2 2ac ad cd 2ad cd cos = + - × × - ， 可得：26 ad 4 4adcos23 ad 1 2adcos= + -ìï= + +íï î， 解得：2ad 2 =，

51、可得： ad 2 = 8. （2021 届青岛）在 abc d 中， e ， f 分别为线段 bc ， ac 上的点， / ef ab ，3 ab= ， 2 ef = ， ae 2 3 = ，3bacpÐ = . （1）求 eac Ð ； （2）求 bc 的长度. 解：（1）在 abc d 中： / ef ab ，所以23afepÐ = ， 在 afe d 中由正弦定理知：1sinsin sin 2ae efeafafe eaf= Þ Ð =Ð Ð， 又因为23afepÐ = 为钝角，所以6eafpÐ =

52、 . （2）因为23afepÐ = ，6eafpÐ = ，所以6aefpÐ = ， 2 af ef = = ， 又因为 / ef ab ， 3 ab= ， 2 ef = ，所以 2cfaf= ，即 6 ac = ， 在 abc d 中由余弦定理知： 2 2 22 cos 27 bc ab ac ab ac bac = + - ´ ´ ´ Ð = ， 3 3 bc = . 类型四：求角度 1.（2021 届江门）在 abc 中，角 、 、 a b c 所对的边为 a b c 、 、 ，若2 2( ) 3 a c b ac +

53、= + ，点 d在边 ab 上，且 1 bd= ， da dc = . （1）若 bcd d 的面积为32，求 cd 的长； （2）若 3 ac = ，求 a Ð 的大小. 解：（1）又由 ( )223 a c b ac + = + 可得2 2 2a c b ac + - = 由余弦定理可得2 2 21cos2 2 2a c b acbac ac+ -= = = ， 0 b p < < 所以3bp= 因为 bcd 的面积为32，即1 3sin , 12 2bc bd b bd × = = ，所以 2 bc = bcd 中,由余弦定理，得2 2 212 cos 4

54、 1 2 2 1 32cd bc bd bc bd b = + - × = + - ´ ´ ´ = 所以 3 cd = （2）由题意得设 dca a q Ð =Ð = adc 中，由正弦定理，( ) sin 2 sinac cda a p=-得32coscdq= 在 bcd 中，由正弦定理sin sincd bdb dcb=Ð 即1 1sin sin 2sin 23 33cdp ppq p q= =é ù æ ö æ ö+ - +ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û 由可得 cossin 23pq qæ ö= +ç ÷è ø 即 sinsin 22 3p pq qæ ö æ ö- = +ç ÷ ç ÷è ø