2021导数思路3

1、2021导数思路3 1 导数思路 3 3 - 不等式问题 一、 构造函数解不等式 （一）抽象函数型构造函数解不等式，形式+ + 运算 1 1 利用和、差、积、商函数求导法则构造函数 如：对于不等式 ) ( ) ( ) ( ) 0 ( 0 ) ( " ) ( " x g x f x f x g x f + = < > + ，构造函数 或 ； 对于不等式 ) ( ) ( ) ( ) 0 ( 0 ) ( ) ( " ) ( ) ( " x g x f x f x f x g x g x f = < > + ，构造函数 或 ； 对于不等式

2、) () () ( ) 0 ( 0 ) ( ) ( " ) ( ) ( "x gx fx f x f x g x g x f = < > - ，构造函数 或 ； 2 2 常见积商函数求导法则的特殊情况：和找积，查找商；注意新函数的奇偶性 （1）与nx 相关： 对于不等式 ) ( ) ( ) 0 ( 0 ) ( ) ( " x xf x f x f x xf = < > + ，构造函数 或 ； 对于不等式xx fx f x f x xf) () ( ) 0 ( 0 ) ( ) ( " = < > - ，构造函数 或 ；

3、对于不等式 ) ( ) ( ) 0 ( 0 ) ( ) ( " x f x x f x nf x xfn= < > + ，构造函数 或 ； 对于不等式nxx fx f x nf x xf) () ( ) 0 ( 0 ) ( ) ( " = < > - ，构造函数 或 ； （2）与xe 相关： 对于不等式 ) ( ) ( ) 0 ( 0 ) ( ) ( " x f e x f x f x fx= < > + ，构造函数 或 ； 对于不等式xex fx f x f x f) () ( ) 0 ( 0 ) ( ) ( " =

4、 < > - ，构造函数 或 ； 对于不等式 ) ( ) ( ) 0 ( 0 ) ( ) ( " x f e x f x kf x fkx= < > + ，构造函数 或 ； 对于不等式kxex fx f x kf x f) () ( ) 0 ( 0 ) ( ) ( " = < > - ，构造函数 或 ； （3）与三角函数相关 对于不等式 ) ( sin ) ( ) 0 ( 0 tan ) ( " ) ( x xf x f x x f x f = < > + ，构造函数 或 ； 对于不等式xx fx f x x f x

5、 fsin) () ( ) 0 ( 0 tan ) ( " ) ( = < > - ，构造函数 或 ； 对于不等式 ) ( cos ) ( ) 0 ( 0 tan ) ( ) ( " x xf x f x x f x f = < > - ，构造函数 或 ； 对于不等式xx fx f x x f x fcos) () ( ) 0 ( 0 tan ) ( ) ( " = < > + ，构造函数 或 . 2 例 1.设奇函数 ( ) f x 定义在 ( ,0) (0, ) p p - u 上，其导函数为 ( ) f x ¢

6、，且 ( ) 02fp= ，当0 x p < < 时， ( )sin ( )cos 0 f x x f x x ¢ - < ,则关于 x 的不等式 ( ) 2 ( )sin6f x f xp< 的解集为 例 2.已知可导函数 的导函数 满足 ，则不等式的解集是 例3. , ) ( " ) ( 2 ), ( " ) (2x x xf x f x f r x f > + 上的导函数为 在 设函数 则 ) (x f 与0之间的大小关系为 例 4 练 1.若函数 ) (x f 是定义在 r 上的奇函数且 , 0 ) 1 ( = f 当 0 &

7、gt; x 时， , 0) ( ) (2>- ¢xx f x f x则不等式 0 ) (2> x f x 的解集是_ 练 2 3 练 3 练 4 （二）构造超越函数解不等式 已知 xex x f1ln 2 ) ( + = ，解不等式 3 ) ( < x f 二、已知不等式的解集或解集的子集 （一）已知解集：转化为方程的根或不等式恒成立 【5 2021 江苏】已知函数 ) , ( ) (2 3r b a b ax x x f Î + + = 。 若 a c b - = （实数 c 是与 a 无关的常数），当函数 ) (x f 有三个不同的零点时，a 的取值范

8、围恰好是 ) ,23( )23, 1 ( ) 3 , ( +¥ - -¥ u u ，求 c 的值. 4 （二）有解：转化为不等式能成立 例已知函数 ( ) ln ,xef x a x ax a rx= - - + Î . （1）当 0 a < 时，讨论 ( ) f x 的单调性； （2）设 ( ) ( ) ( ) g x f x xf x = + ¢ ，若关于 x 的不等式 ( ) ( )212xxg x e a x £ - + + - 在 1,2 上有解，求 a 的取值范围. 5 （三）有整数解 例 ( ) ( ) 1 f x a x

9、= - ， ( ) ( ) 1xg x ax e = - ， a r Î （1）证明：存在唯一实数 a ，使得直线 ( ) y f x = 和曲线 ( ) y g x = 相切； （2）若不等式 ( ) ( ) f x g x > 有且只有两个整数解，求 a 的范围 练.设函数2 2( ) f x a x = （ 0 a > ）， ( ) ln g x b x = 关于 x 的不等式2( 1) ( ) x f x - > 的解集中的整数恰有 3 个，求实数 a 的取值范围； 6 三、证明不等式与 放缩 ：变形与函数构造 常见不等式 第一组：对数 （放缩成一次函数）

10、ln 1 x x £ - ， lnx x < ， ( ) ln 1 x x + £ （放缩成双撇函数） ( )1 1ln 12x x xxæ ö< - >ç ÷è ø， ( )1 1ln 0 12x x xxæ ö> - < <ç ÷è ø， ( )1ln 1 x x xx< - > ， ( )1ln 0 1 x x xx> - < < ， （放缩成类反比例函数）1ln 1 xx³

11、 - ，( )( )2 1ln 11xx xx-> >+，( )( )2 1ln 0 11xx xx-< < <+ ， ( ) ln 11xxx+ ³+， ( ) ( )2ln 1 01xx xx+ > >+， ( ) ( )2ln 1 01xx xx+ < <+ 第二组：指数 （放缩成一次函数） 1xe x ³ + ，xe x > ，xe ex ³ ， （放缩成类反比例函数） ( )101xe xx£ £-， ( )10xe xx< - < ， （放缩成二次函数） ( )

12、211 02xe x x x ³ + + > ，2 31 112 6xe x x x ³ + + + ， 第三组：指对 ( ) ( ) ln 1 1 2xe x x x - ³ + - - = 第四组：三角函数 ( ) sin tan 0 x x x x < < >，21sin2x x x ³ - ，2 21 11 cos 1 sin2 2x x x - £ £ - . 第五组：以直线 1 y x = - 为切线的函数 ln y x = ，11xy e-= - ，2y x x = - ，11 yx= - ， l

13、n y x x = . 对数平均数不等式：ln lna ba b-叫正数 , a b 的对数平均数，两正数（不等）的对数平均数介于它们的几何平均数与算术平均数之间 证明 7 （一）单变量证明不等式 例 1.设函数 ( ) ln ( 0) f x x x x = > （）求函数 ) (x f 的单调区间； （）设 ， ) r ( ) ( ) ( f2Î ¢ + = a x f ax x ) ( f x 是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由； （）当 0 x > 时，证明： 1 ) ( + ¢ > x f e x 8 练 1 已知：

14、 , a r b r + Î Î ，求证：1lnaab e b b-£ + 练 2 比较大小 已知函数 ,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明: 是 r r 上的偶函数； (2)若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围； (3)已知正数 满足：存在 ，使得 成立.试比较 与的大小，并证明你的结论. x xx f-+ = e e ) () (x fx ) (x mf 1 e - +-mx) , 0 ( +¥ ma ) , 1 0+¥ Î x ) 3 ( ) (030 0x x a x f + - <1e- a 1 e

15、-a 9 练 3已知函数 ( ) ln f x ax x x = + 在点 x e = （ e 为自然对数的底数）处的切线斜率为 3 （1）求实数 a 的值 ； （2）若 k z Î ，且( )1f xkx<-对任意 1 x> 恒成立，求 k 最大值； （3）当 4 n m > ³ 时，比较m nmn ) ( 与n mnm ) ( 的大小。 （二）独立双变量 证明对数平均数不等式 10 （三）纽带双变量不等式 例 1 已知函数 ( ) ln ln ( 0) f x x x a x = - - > ，其中 0 a > 求函数21( ) ( ) (

16、 1)ln2h x f x x ax a x = + - + - 的单调递增区间； 若函数 ( ) f x 有两个零点1 2, x x ，且1 2x x < ，求实数 a 的取值范围，并证明21xx随 a 的增大而减小 例 2 已知函数 ( ) ( ) ( )22 1xf x x e a x = - + - 有两个零点.设1 2, x x 是 ( ) f x 的两个零点，证明：1 22 x x + < . 11 例 3 已知函数 ( ) ln f x x ax b = - + （ a ， b r Î ）有两个不同的零点1x ， 2x （1）求 ( ) f x 的最值； （

17、2）证明： 1 221x xa< 例 4 设函数 ( ) ( )22 ln f x x a x a x = - - - .（1）求函数 ( ) f x 的单调区间； （2）若函数 ( ) f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数 a 的值； （3）若方程 ( ) ( ) f x c c r = Î 有两个不相等的实数根1 2, x x ，比较1 2"2x xf+ æ öç ÷è ø与 0 的大小. 12 例 5 已知函数2( ) ln f x x x x = + + ，正实数1 2, x x 满足1 2 1

18、 2( ) ( ) 0 f x f x x x + + = . 证明：1 25 12x x-+ ³ . 练习 1 已知函数 ( ) ln ( ) f x x a x a r = + Î . （1）若曲线 ( ) y f x = 在点 (1, (1) f 处与直线 3 2 y x = - 相切，求 a 的值； （2）若函数2( ) ( ) g x f x kx = - 有两个零点1 2, x x ，试判断1 2"( )2x xg+的符号，并证明. 13 练习 2 已知函数 ( )xexf xe= （ e 为自然对数的底数）（1）求 ( ) f x 的单调区间； （2

19、）是否存在正实数 x 使得 (1 ) (1 ) f x f x - = + ，若存在求出 x ，否则说明理由； （3）若存在不等实数1x ，2x ，使得1 2( ) ( ) f x f x = ，证明：1 2"( ) 02x xf+< 练习 3.已知函数 ( )4 212f x ax x = - ， (0, ) xÎ +¥ ， ( ) ( ) ( ) g x f x f x ¢ = - (1)若 0 a > ，求证： ( ) g x 在 (0, ) +¥ 上恰有两个零点； (2)若 1 a> ，记 ( ) g x 的两个零点为

20、1 2, x x ，求证：1 24 4 x x a < + < + 14 练习 4.已知函数 ( ) ln f x x x = 与直线 y m = 交于1 1 2 2( , ), ( , ) a x y b x y 两点. 求证：1 2210 x xe< < 四、不等式恒成立与存在性成立 （一）思路：分离参数比最值；构造函数看图像。注意特殊化缩范围 (1)已知函数 ) 1 ) 1 ( )( ( ) (2+ + + + = x a x a x x f ,若 ) , 0 ( +¥ Î x 时,总有 0 ) ( ³ x f ,则 a 的值是 .

21、(2)若不等式( mx 1)3 m 2 ( x + 1) m 10 对任意(0 ) mÎ +¥ ，恒成立，则实数 x 的值为 （二）独立单变量 例1. 已知函数2( ) f x x x a = - ，若存在 1, 2 xÎ ，使得 ( ) 2 f x < ，则实数 a 的取值范围是 15 例 2.设函数1( ) 1 f xx= - ， ( )1xg xax=+(其中 a r Î ， e 是自然对数的底数） （1）若函数 ( ) ( ) ( ) f x f x g x = - 没有零点，求实数 a 的取值范围， 若 ( ) ( )xf e g x &

22、#163; 在 xÎ 0, ) +¥ 恒成立，求实数 a 的取值范围 16 （三）独立双变量 例 1 已知函数2( ) ln , ( ) f x x x g x x ax = - = - （1）求函数 ( ) f x 在区间 , 1 ( 0) t t t + > 上的最小值 ( ) m t ； （2）令1 1 2 2( ) ( ) ( ), ( , ( ), ( , ( ) h x g x f x a x h x b x h x = -1 2( ) x x ¹ 是函数 ( ) h x 图象上任意两点，且满足1 21 2( ) ( )1,h x h xx x-

23、>-求实数 a 的取值范围； （3）若 (0,1 x $ Î ，使( )( )a g xf xx-³ 成立，求实数 a 的最大值 17 例 2 已知函数 f(x)ax x 2 xlna(a0，a1)若存在 x1 ，x 2 1，1，使得|f(x 1 )f(x 2 )|e1(e 是自然对数的底数)，求实数 a 的取值范围 练习 1 已知函数 ( ) ln ( 0) f x x x = > 若对任意两个互不相等的正数1 2, x x ，都有1 21 21 2( ) ( )"( )f x f xkf x xx x-<-恒成立，求实数 k 的最小值 18 练习 2.设函数 axxxx f - =ln) ( (1)若函数 ) (x f 在 ) , 1 ( +¥ 上为减函数，求实数 a 的最小值； (2)若存在21 2