离散型随机变量的分布列综合试题整理(带答案)

1、离散型随机变量的分布列综合题1.某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖。卡片用后入回盒子，下一位参加者继续重复进行。 （）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率； （）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及的值。解：（I）设“世博会会徽”卡有n张，由得n=5，故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖

2、的概率为5分 （II）的分布列为 01234P12分2.某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D两个动作。比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。假设每个运动员完成每个系列中的K和D两个动作的得分是相互独立的。根据赛前训练的统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列中的K和D两个动作的情况如下表：表1：甲系列表2：乙系列动作K动作D动作得分100804010概率动作K动作D动作得分9050200概率现该运动员最后一个出场，之前其他运动员的最高得分为115分。（1） 若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由。并求其获得第一名的概率。（2

3、） 若该运动员选择乙系列，求其成绩的分布列及数学期望解.（1）应选择甲系列，因为甲系列最高可得到140分，而乙系列最高只可得到110分，不可能得第一名。 该运动员获得第一名的概率 （2）的可能取值有50,70,90,110。 110907050P3在本次考试中共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的。评分标准规定：每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分。某考生每道题都给出一个答案。某考生已确定有9道题的答案是正确的，而其余题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该考生：（）选择题得60分的概率；（）选

4、择题所得分数的数学期望解：（1）得分为60分，12道题必须全做对在其余的3道题中，有1道题答对的概率为，有1道题答对的概率为，还有1道答对的概率为，所以得分为60分的概率为： ，。5分（2）依题意，该考生得分的范围为45，50，55，60. ，。6分得分为45分表示只做对了9道题，其余各题都做错，所以概率为 ，。7分得分为50分的概率为： ，。8分同理求得得分为55分的概率为： ，。9分得分为60分的概率为： ，。10分所以得分的分布列为45505560数学期望。12分4某设区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博

5、会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖。 （I）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒总抽两张都不是“海宝”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率； （）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用表示获奖的人数，求 的分布列及。解：（I）设“世博会会徽”卡有张，由=，得（2分） 故“海宝”卡有4张，（3分）抽奖者获奖的概率为（5分）（），的分布列为或 01234 （12分）5某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分

6、均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为，“实用性”得分为，统计结果如下表：作品数量 实用性1分2分3分4分5分创新性1分131012分107513分210934分1605分00113（）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；（）若“实用性”得分的数学期望为，求、的值解：（）从表中可以看出，“创新性为分且实用性为分”的作品数量为件，“创新性为分且实用性为分”的概率为 4分（）由表可知“实用性”得分有分、分、分、分、分五个等级，且每个等级分别有件，件，件，件，件 5分“实用性”得分的分布列为：又“实用性”得分的数学期望为， 10分作品数量共有件， 解得， 13分6一个袋中装有个形状大小完全相同

7、的小球，球的编号分别为.（）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率； （）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取3次，求恰有次抽到号球的概率； （）若一次从袋中随机抽取个球，记球的最大编号为，求随机变量的分布列.解：（）设先后两次从袋中取出球的编号为，则两次取球的编号的一切可能结果有种， 2分其中和为的结果有，共种，则所求概率为. 4分（）每次从袋中随机抽取个球,抽到编号为的球的概率.6分所以，次抽取中，恰有次抽到6号球的概率为. 8分（）随机变量所有可能的取值为. 9分，. 12分所以，随机变量的分布列为:13分7甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、

8、红桃3、红桃4、方块4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。（1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况（2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜。你认为此游戏是否公平？请说明你的理由.解：（1）甲、乙二人抽到的牌的所有情况为（2，3），（2，4），（2，），（3，2），（3，4），（3，），（4，2），（4，3），（4，），（，2），（，3），（，4），共12种不同情况 4分（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，.因此乙抽到的牌

9、的数字大于3的概率为. 8分 （3）由甲抽到的牌比乙大有（3，2），（4，2），（4，3），（，2），（，3），共5种甲获胜的概率乙获胜的概率为 此游戏不公平 .13分8某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：第一空得分情况第二空得分情况得分03得分02人数198802人数698302第一空得分第二空得分得分03得分02人数198802人

10、数698302（）求样本试卷中该题的平均分，并据此估计这个地区高三学生该题的平均分.BACMFED（）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题得分的数学期望.解：（）设样本试卷中该题的平均分为，则由表中数据可得: ，.3分 据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分. .4分（）依题意，第一空答对的概率为0.8，第二空答对的概率为0.3，6分则该同学这道题得分的分布列如下：ks5u0235P014006056024所以E=0×0.14+2×0.06+3&

11、#215;0.56+5×0.24=3 12分9某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.() 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；()随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列；() 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.解：()设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为 1分事件等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” 2分 4分() 由题可知可能取值为0,1,2,3. ,. 8分0123 9分 ()设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为

12、10分事件等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”所以，. 13分10某商场进行促销活动，到商场购物消费满100元就可转动转盘(转盘为十二等分的圆盘)一次进行抽奖，满200元转两次，以此类推（奖金累加）；转盘的指针落在A区域中一等奖，奖10元，落在B、C区域中二等奖，奖5元，落在其它区域则不中奖一位顾客一次购物消费268元，ABC() 求该顾客中一等奖的概率；() 记为该顾客所得的奖金数，求其分布列；() 求数学期望(精确到0.01)解() 设事件表示该顾客中一等奖 所以该顾客中一等奖的概率是 4分（）的可能取值为20，15，10，5，0 5分，（每个1分）10分所以的分布列为2

13、015105010分（）数学期望14分11甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响（）求至少有1人面试合格的概率；（）求签约人数的分布列和数学期望解：（）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且.至少有1人面试合格的概率是 （）的可能取值为0，1，2，3. = 的分布列是0123的期望12甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止设甲在

14、每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为（）求的值；（）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望解：（）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故，解得或又，所以 6分（）依题意知的所有可能取值为2，4，6，所以随机变量的分布列为：所以的数学期望13分13甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.（）求选出的4名选手均为男选手的概率.（）记为选出的4名选手中女选手的人数，求的分布列和期望.解：（）事件表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知

15、 3分. 5分（）的可能取值为. 6分， 7分， 9分， 10分. 11分的分布列：12分. 13分14为振兴旅游业，某省2009年面向国内发行了总量为2000万张的优惠卡，其中向省外人士发行的是金卡，向省内人士发行的是银卡。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。（1）在该团中随机采访3名游客，求至少有1人持金卡且恰有1人持银卡的概率； (2 ) 在该团的省外游客中随机采访3名游客，设其中持金卡人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX。.解：（1）由题意知，省外游客有27人，其中9人持有金卡，省内游客

16、有9人，其中6人持有银卡。 记事件B为“采访该团3人中，至少有1人持金卡且恰有1人持银卡，” 记事件为“采访该团3人中，1人持金卡,1人持银卡，” 记事件为“采访该团3人中，2人持金卡,1人持银卡，” 则 所以在该团中随机采访3名游客，至少有1人持金卡且恰有1人持银卡的概率为。 .6分 （2）X的可能取值为0,1,2,3 因为， ， 所以X的分布列为X0123P 10分 故 13分HCA1A2B1B2L1L2A315张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个

17、路口，各路口遇到红灯的概率依次为，（）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；（）若走L2路线，求遇到红灯次数的数学期望；（）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由解：（）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则 4分所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为（）依题意，的可能取值为0，1，2 5分， ， 8分随机变量的分布列为：012P 10分（）设选择L1路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，所以 12分因为，所以选择L2路线上班最好 14分16在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次

18、从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖。（）求仅一次摸球中奖的概率；（）求连续2次摸球，恰有一次不中奖的概率；（）记连续3次摸球中奖的次数为，求的分布列。解：（）设仅一次摸球中奖的概率为P1,则P1=3分（）设连续2次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中奖的概率为P2，则P2= 7分（）的取值可以是0，1，2，3=(1-)3=,=,= =,=所以的分布列如下表0123P 13分17在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜.() 求该考生8道题

19、全答对的概率；() 若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列. 解：()说明另四道题也全答对，相互独立事件同时发生，即：5分()答对题的个数为4，5，6，7，8，其概率分别为： 2025303540分布列为： 13分18为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立.（）求4人恰好选择了同一家公园的概率；（）设选择甲公园的志愿者的人数为，试求的分布列及期望解：（）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A. 1分每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有种等可能的情况. 2分事件A所包含的等可能事件的个数为3， 3分所以，. 即：4人恰好选择了同一家公园的概率为. 5分（）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C，则.6分4人中选择甲公园的人数可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数，因此，随机变量服从二项分布.可取的值为0，1，2，