电磁场重点题

1、3.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：(1)； (2)；(3)； (4)。解：已知空间的电位分布，由和可以分别计算出电场强度和体电荷密度。(1) (2) (3) (4) 3.11 如题3.11图所示的平板电容器中，分别以两种不同的方式填充两种不同的介质和。当两极板之间外加电压时，试求电容器中电位和电场的分布以及电容器的电容。解：对于图a：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与有关，均满足一维拉普拉斯方程。且由介质分界面的边界条件可知，两种介质中的电位分布是相同的，其通解为根据已知条件和，解得和，即平板电容器中的电位分布为根据，可以得到平板电容器中的电场分布为 对平板上

2、，面电荷密度分别为总电量为 电容器的电容为 对于图b：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与有关，均满足一维拉普拉斯方程。两种介质中的电位分布的通解可以分别设为 和 根据已知条件和，以及分界面处的边界条件和可以解得 和 根据，可以得到平板电容器中两种介质中的电场分布为 和 对平板上，面电荷密度为 总电量为 电容器的电容为 3.18 求题3.18图所示矩形空间区域内的电位分布，已知边界条件为：（1），；（2），；（3），；（4），。解：（1）根据给定的边界条件可以将通解直接选为由边界条件可以得到 和 即 为了求解方便可以将上式改写为 如此一来，由边界条件可以直接得到，于是有式中，。将上式对求和，可

3、将此边值问题的解写成最后，将边界条件 代入上式，得 利用三角函数的正交性可以得到 最后得到电位分布为 （2）根据给定的边界条件可以将通解直接选为由边界条件和可以得到由边界条件可以得到 式中，。将上式对求和，可将此边值问题的解写成最后，将边界条件 代入上式，得 利用三角函数的正交性可以得到 最后得到电位分布为 （3）根据给定的边界条件可以将通解直接选为由边界条件可以得到由边界条件可以得到 式中，。将上式对求和，可将此边值问题的解写成最后，将边界条件 代入上式，得比较系数可以得到 和 其余的系数均为零。最后得到电位分布为 （4）根据给定的边界条件可以将通解直接选为由边界条件和可以得到 由边界条件可

4、以得到 式中，。将上式对求和，可将此边值问题的解写成 最后，将边界条件 代入上式，得 利用三角函数的正交性可以得到 最后得到电位分布为 321两平行的无限大导体平板，距离为，其间有一薄片，如题3.21图所示。当上板电位为，下板电位为零，薄片电位为时，利用直角坐标系中的分离变量法求板间区域的电位分布。解：定解问题为，以及设，则其中的满足的定解问题为， 由定解问题的边界条件和很容易得到由有限，则，因此上式变成 代入边界条件，则得到 利用正弦函数的正交性可以得到 最后得到电位分布为 3.34如题3.34图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为处有一个点电荷，利用镜像法求导体以外

5、的电位分布。解：由导体平面和导体球面的镜像法可知，为了满足所有的边界条件，需要有三个镜像电荷，和。它们分别位于，和。于是所要求的电位分布为其中4.14 已知某一电流分布的矢量磁位为求该电流分布及其对应的。解：利用矢量磁位满足的泊松方程来求出电流分布为由可以求出磁感应强度为5.2 已知空气填充的矩形金属腔(分别为腔体在方向的长度)中的电场强度复矢量为试求腔中的磁场强度复矢量及其各个内表面上的面电流密度和面电荷密度(设金属为理想导体)。解：腔中的磁场强度复矢量为 矩形金属腔内的下表面，面电流密度 面电荷密度 5.3 已知某一理想介质中的位移电流复矢量为。求该媒质中的和。解：媒质中的电位移矢量为 媒

6、质中的电场强度为 媒质中的磁场强度为 媒质中的磁感应强度为 媒质中的电荷密度为 5.4 已知空气填充的同轴线内外导体之间的磁场强度为 ()同轴线的内外导体半径分别为，。试确定值，并求该同轴线中的及其内导体柱表面的总电流(设导体为理想的)。解：将写成复数形式为 由复数形式的麦克斯韦方程组求出电场为内导体表面的电流密度为 总电流为 利用麦克斯韦方程组的方程可以求出磁场的表达式，然后再将其与已知的磁场表达式比较就可以得到。或者直接将已知的磁场表达式代入空气填充的同轴线中磁场所满足亥姆霍兹方程得到。5.12 由理想导体构成的矩形谐振腔，沿着三个坐标轴方向的各边长分别为，内部为空气。已知腔内的矢量磁位为

7、。试求腔体内的电场强度和磁场强度以及内壁上的面电流密度。解：腔体内的磁场强度的复振幅 腔体内的电场强度的复振幅 矩形金属腔内的下表面，面电流密度 5.13 已知真空中时变场的矢量磁位为 试求：（1）电场强度的复矢量和磁场强度的复矢量；（2）坡印廷矢量的平均值。解：（1）矢量磁位的复数形式为 磁场强度复振幅 磁场强度的瞬时值为 由于在真空中，电场强度复振幅为电场强度的瞬时值为 （2）瞬时坡印廷矢量为 坡印廷矢量的平均值为 5.14 已知自由空间时变电磁场的磁场强度为试求：（1）电场强度；（2）坡印廷矢量及其平均值。解：（1）磁场强度的复振幅 电场强度的复振幅 电场强度的瞬时值为 （2）瞬时坡印廷

8、矢量 坡印廷矢量平均值 6.1 已知空气中存在电磁波的电场强度为 试问：此波是否为均匀平面波？传播方向是什么？求此波的频率、波长、相速以及对应的磁场强度。解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。电场强度瞬时式可以写成复矢量。该式的电场幅度为，相位和方向均不变，且，此波为均匀平面波。传播方向为沿着方向。由时间相位 波的频率 波数波长 相速由于是均匀平面波，因此磁场为 6.2 有一频率为600的均匀平面波在无界理想介质()中沿方向传播。已知电场只有分量，初相位为零，且时，处的电场强度值为800。试写出和的瞬时表达式。解：根据题意，角频率，因此由，

9、处的电场强度值为，可以得到根据电场的瞬时表达式可以写出电场的复矢量为 波阻抗为。因此磁场强度复矢量为因此，磁场的瞬时表达式为 6.3 在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为 已知介质的，试求其，并写出的表达式。解：根据电场的瞬时表达式可以得到，而电场强度的瞬时式可以写成复矢量为 波阻抗为，则磁场强度复矢量为 因此磁场为 6.4 无界自由空间传播的电磁波，其电场强度复矢量为写出磁场强度的复矢量以及平均功率密度。解：首先判断是均匀平面波。该电场幅度为，相位和方向均不变，且，因此磁场强度复矢量可写成平均功率流密度为 6.6 下列表达式中的平面波各是什么极化波？如果是圆或椭圆极化波，判断是左旋还是右

10、旋？（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）左旋圆极化波(又称为顺时针旋转的圆极化波)。（2）线极化波。（3）线极化波。（4）左旋椭圆极化波(又称为顺时针旋转的圆极化波)。6.12 均匀平面波在无界导电媒质()中沿方向传播，电场为方向。已知处，电场强度的振幅，初相位为零。若电磁波的频率为，试求：（1）空间任意点的和的瞬时表达式；（1）媒质中传导电流与位移电流之比。解：（1）因为，所以 于是，空间任意点的和的瞬时值可以表达成 （2）媒质中传导电流与位移电流之比为6.16 均匀平面波由空气向理想介质()平面垂直入射。已知分界面上，。试求：（1）理想介质的；（2）空气中的驻波比；（3）入射波、反射

11、波和折射波的电磁场。解：(1) 利用波阻抗的表达式可以得到(2) ，垂直入射的反射系数为因此驻波比为(3) 垂直入射的透射系数为 根据题意，已知分界面上，即。所以有，。设空气中的传播常数为，则理想介质中的传播常数，因此，入射波、反射波和透射波分别为 6.18 均匀平面波由空气垂直入射到理想介质()平面上。设其电场为，试求反射波和透射波的电磁场强度复振幅，并指出它们各是何种极化。若是圆极化或椭圆极化，判断其旋转方向。解：根据已知条件，可求出两媒质的波阻抗分别为 于是有 由此可得 入射波和透射波是右旋圆极化波，反射波是左旋圆极化波。7.8 已知空气填充的矩形金属波导()中的纵向场分量为 式中，的单

12、位为厘米。指出这是什么模式？写出其余的场分量，并求其和波阻抗。解：我们知道，TM模的纵向场分量为 比较题中给出的纵向场分量，可以知道 因此这是模。截止波数，因此也即 角频率 其余分量表示为 截止波长 波导波长 相速度 群速度 波型阻抗 7.10 空气填充矩形波导，。（1）当工作波长为6，4和1.8时，可能传播哪些模式？（2）当工作波长为4时，试求其主模的和波阻抗。解：(1) 矩形波导的截止波数和截止波长分别为 对TE模，和不能同时为零，也即不存在，最简单的TE模是和模；对TM模，和不能为零，也即不存模在和模，最简单的TM模是模。我们可以利用截止波长分布图来分析波导中各种模式的传播状态。模式TE

13、10TE20TE30TE01TE02TM11TM21TM12()4.562.281.522.031.012.161.520.99TE模和TM模的传播模式的条件为。因此当工作波长为6 cm时，不存在传播模式，也即波导中所有模式都截止；当工作波长4.0 cm时，只存在的传播模式为TE10，即单模传播；当工作波长1.8 cm时，存在的传播模式为TE10、TE20、TE01和TM11，即多模传播。(2) 所谓主模就是截止波长最大的模式，只有主模才能单模传播；对于的矩形波导，模是主模，且 cm。对 cm，和波阻抗分别为相位常数 波导波长 相速度 群速度 波阻抗 7.12 当工作频率为15时，取，可使矩形波导更