第14篇 算法初步、推理与证明、复数

1、第十四篇算法初步、推理与证明、复数第1讲算法的含义及流程图知 识 梳 理1算法与流程图(1)算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成(2)流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序2三种基本逻辑结构(1)顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构其结构形式为(2)选择结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式，也称为分支结构其结构形式为(3)循环结构是指在算法中，需要重复执行同一操

2、作的结构反复执行的处理步骤称为循环体循环结构又分为当型和直到型循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和，累乘求积等问题常常需要用循环结构来设计算法其结构形式为3赋值语句、输入语句、输出语句赋值语句用符号“”表示，其一般格式是变量表达式(或变量)，其作用是对程序中的变量赋值；输入语句“Read a，b”表示输入的数据依次送给a，b，输出语句“Print x”表示输出运算结果x.4算法的选择结构由条件语句来表达，条件语句有两种，一种是IfThenElse语句，其格式是5算法中的循环结构，可以运用循环语句来实现(1)当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示“For”语句的一般形式

3、为说明：上面“For”和“End for”之间缩进的步骤称为循环体，如果省略“Step步长”，那么重复循环时，I每次增加1.(2)不论循环次数是否确定都可以用下面循环语句来实现当型和直到型两种语句结构当型语句的一般格式是直到型语句的一般格式是学生用书第188页辨 析 感 悟1对算法概念的认识(1)任何算法必有条件结构(×)(2)算法可以无限操作下去(×)2对程序框图的认识(3)是赋值框，有计算功能(×)(4)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止(×)(5)(2012·江西卷改编)下图是某算法的流程图，则算法运行后输

4、出的结果是3.()3对算法语句的理解(6)5x是赋值语句(×)(7)输入语句可以同时给多个变量赋值()感悟·提升三点提醒一是利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；二是注意输入框、处理框、判断框的功能，不能混用，如(3)；三是赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式.考点一基本逻辑结构【例1】 (1)(2013·山东卷改编)执行两次如图1所示的流程图，若第一次输入的a的值为1.2，第二次输入的a的值

5、为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为_图1图2(2)(2013·广东卷改编)执行如图2所示的流程图，若输入n的值为3，则输出s的值是_解析(1)执行流程图，第一次输入a1.20，a0.20，a0.80且0.81，故输出a0.8；第二次输入a1.20且1.21，a0.21，故输出a0.2.(2)第1次执行循环：s1，i2(23成立)；第2次执行循环：s2，i3(33成立)；第三次执行循环：s4，i4(43不成立)，结束循环，故输出的s4.答案(1)0.8,0.2(2)4规律方法 此类问题的一般解法是严格按照流程图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是

6、否结束要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节【训练1】 (2013·天津卷改编)阅读下边的流程图，运行相应的程序，则输出n的值为_解析第1次，S1，不满足判断框内的条件；第2次，n2，S1，不满足判断框内的条件；第3次，n3，S2，不满足判断框内的条件；第4次，n4，S2，满足判断框内的条件，结束循环，所以输出的n4.答案4考点二流程图的识别与应用问题【例2】 (1)(2013·新课标全国卷改编)执行如图1的流程图，如果输入的N4，那么输出的S_.图1图2学生用书第189页1；1；1；1(2)(2013·重庆卷改编)执行如图2所示的

7、流程图，如果输出s3，那么判断框内应填入的条件是_k6；k7；k8；k9解析(1)由框图知循环情况为：T1，S1，k2；T，S1，k3；T，S1，k4；T，S1，k54，故输出S.(2)首次进入循环体，s1×log23，k3；第二次进入循环体，s×2，k4；依次循环，第六次进入循环体，s3，k8，此时终止循环，则判断框内填k7.答案(1)(2)规律方法 识别、运行流程图和完善流程图的思路(1)要明确流程图的顺序结构、选择结构和循环结构(2)要识别、运行流程图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证【训练2】 (2013·福建卷改编)阅读如图所示

8、的流程图，若输入的k10，则该算法的功能是_计算数列2n1的前10项和；计算数列2n1的前9项和；计算数列2n1的前10项和；计算数列2n1的前9项和解析由流程图可知：输出S122229，所以该算法的功能是计算数列2n1的前10项的和答案考点三基本算法语句【例3】 (2014·南京调研)写出下列伪代码的运行结果(1)图1的运行结果为_；(2)图2的运行结果为_解析(1)图1的伪代码是先执行SSi，后执行ii1S012(i1)>20，i的最小值为7.(2)图2的伪代码是先执行ii1，后执行SSi，S012i>20.i的最小值为6.答案(1)7(2)6规律方法 编写伪代码的关

9、键在于搞清问题的算法，特别是算法结构，然后确定采取哪一种算法语句【训练3】 下面是一个算法的伪代码，如果输入的x的值是20，则输出的y的值是_解析x20>5，执行赋值语句y7.5x7.5×20150.答案1501在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性2算法的思想与数学知识的融合会是新高考命题的方向，要注意此方面知识的积累3条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中，如判断一个数的正负，确定的两个数的大小等问题都要用到条件语句4循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，主要解决遇到需要反复执行的任务时，用循环语句编写伪代

10、码 学生用书第190页教你审题12算法语句的识别与读取【典例】 (2013·陕西卷改编)根据如图所示的伪代码，当输入x为60时，输出y的值为_审题一审图：本题是一个含条件语句的伪代码二审过程：实际是一个分段函数求值问题三审结论：要求y值，应根据x的取值找对应的解析式解析通过阅读理解知，算法语句是一个分段函数yf(x)yf(60)250.6×(6050)31.答案31反思感悟 计算机在执行条件语句时，首先对If后的条件进行判断，如果条件符合，就执行Then后的语句1，若条件不符合，对于IfThenElse语句就执行Else后的语句2，然后结束这一条件语句对于IfThen语句，

11、则直接结束该条件语句【自主体验】为了在运行下面的伪代码后输出y16，应输入的整数x的值是_解析当x<0时，由(x1)216得x5；当x0时，由1x216得x215，矛盾答案5基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2013·新课标全国卷改编)执行如图所示的流程图，如果输入的t1,3，则输出的s的范围为_解析作出分段函数s的图象(图略)，可知函数s在1,2上单调递增，在2,3)上单调递减，s(1)3，s(2)4，s(3)3，t1,3时，s3,4答案3,42. (2013·北京卷)执行如图所示的流程图，输出的S值为_解析初始条件i0，S1，逐次计算结果是S，i1；

12、S，i2，此时满足输出条件，故输出S.答案3按照下面的算法进行操作：S1x2.35S2yInt(x)S3Print y最后输出的结果是_解析Int(x)表示不大于x的最大整数答案24下面伪代码的结果为_解析计算12345的值该伪代码是1234515.答案155(2013·福建卷改编)阅读如图所示的流程图，运行相应的算法，如果输入某个正整数n后，输出的S(10,20)，那么n的值为_解析第一次运行，S1，k2；第二次运行，S3，k3；第三次运行，S7，k4；第四次运行，S15，k4.答案4第5题图第6题图6(2013·湖南卷改编)执行如图所示的流程图，如果输入a1，b2，则输

13、出的a的值为_解析第一次循环，a123，第二次循环，a325，第三次循环，a527，第四次循环，a7298，满足条件，输出a9.答案97(2013·江苏卷) 如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是_解析第一次循环：a8，n2；第二次循环：a26，n3.答案38如下给出的是用条件语句编写的一个伪代码，该伪代码的功能是_答案求下列函数当自变量输入值为x时的函数值f(x)，其中f(x)9(2014·临沂一模)某流程图如图所示，该算法运行后输出的k的值是_解析第一次循环，S201，k1；第二次循环，S1213，k2；第三次循环，S32311，k3；第四次循环，S11211，k4；

14、第五次循环S11211100不成立，输出k4.答案410(2014·枣庄模拟) 如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中整数M的值是_解析本算法计算的是S12222A，即S2A11，由2A1131得2A132，解得A4，则A15时，条件不成立，所以M4.答案4能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014·南通调研)根据如图的算法，输出的结果是_解析S1231055.答案552(2014·泰州调研)如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是_解析流程图的执行如下：a112335881321b23258513211334I2224426628

15、当I8时，b34，退出循环答案343(2013·辽宁卷)执行如图所示的流程图，若输入n8，则输出S_.解析SS的意义在于对求和因为，同时注意ii2，所以所求的S.答案第3题图第4题图4(2013·湖北卷)阅读如图所示的流程图，运行相应的算法若输入m的值为2，则输出的结果i_.解析i1，A2，B1i2，A4，B2i3，A8，B6i4，A16，B24，满足AB，输出i4.答案45(2014·淄博二模) 执行如图所示的流程图，若输出的结果是8，则输入的数是_解析由ab得x2x3，解得x1.所以当x1时，输出ax2，当x1时，输出bx3.所以当x1时，由ax28，解得x2

16、.若x1，由bx38，得x2，所以输入的数为2或2.答案2或26(2014·丽水模拟) 依据小区管理条例，小区编制了如图所示的住户每月应缴纳卫生管理费的流程图，并编写了相应的算法已知小张家共有4口人，则他家每个月应缴纳的卫生管理费(单位：元)是_解析当n4时，S51.2×(43)6.2.答案6.2学生用书第191页第2讲合情推理与演绎推理知 识 梳 理1归纳推理(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性的推理或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)(2)归纳推理的特点归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；归

17、纳推理的结论不一定为真；归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠2类比推理(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理，称为类比推理类比推理是两类事物特征之间的推理(2)类比推理的特点类比推理是由特殊到特殊的推理；类比推理属于合情推理，其结论具有或然性，可能为真，也可能为假；类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，类比得出的命题就越可靠3演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程(2)演绎推理的特点演绎推理是由一般到特殊的推理；当前

18、提为真时，结论必然为真(3)演绎推理的主要形式是三段论，其一般模式为：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断辨 析 感 悟1对合情推理的认识(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适(×)(4)(教材习题改编)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是ann(nN*)(×)(5)(2014·安庆调研改编)在平面上，若两个正三角形的边长比为

19、12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为18.()2对演绎推理的认识(6)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(7)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确(×)感悟·提升三点提醒一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误，如(3)三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大

20、前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的如(7).学生用书第192页考点一归纳推理【例1】 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数 N(n,4)n2，五边形数 N(n,5)n2n，六边形数 N(n,6)2n2n可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.解析由N(n,3)n2n，N(n,4)n2n，N(n,5)n2n，N(

21、n,6)n2n，推测N(n，k)n2n，k3.从而N(n,24)11n210n，N(10,24)1 000.答案1 000规律方法 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法【训练1】 (1)(2014·佛山质检)观察下列不等式：1；.则第5个不等式为_(2)(2013·陕西卷)观察下列等式(11)2×1(21)(22)22×1×3(31)(32)(33)23×1×3×5照此规律，

22、第n个等式可为_解析(2)由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n1)(n2)(nn)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n×1×3×5××(2n1)答案(1)(2)(n1)(n2)(nn)2n×1×3××(2n1)考点二类比推理【例2】 在平面几何里，有“若ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为SABC(abc)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四

23、面体的体积为_”审题路线三角形面积类比为四面体的体积三角形的边长类比为四面体四个面的面积内切圆半径类比为内切球的半径二维图形中类比为三维图形中的得出结论答案V四面体ABCD(S1S2S3S4)r规律方法 在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等【训练2】 二维空间中圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2，观察发现Sl；三维空间中球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)Vr3，观察发

24、现VS.则四维空间中“超球”的四维测度W2r4，猜想其三维测度V_.解析由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即VW(2r4)8r3.答案8r3考点三演绎推理【例3】 数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN*)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.证明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2·，又10，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知4

25、83;(n2)，Sn14(n1)·4··Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)学生用书第193页规律方法 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略【训练3】 “因为对数函数ylogax是增函数(大前提)，而ylogx是对数函数(小前提)，所以ylogx是增函数(结论)”，以上推理的错误是_大前提错误导致结论错误；小前提错误导致

26、结论错误；推理形式错误导致结论错误；大前提和小前提错误导致结论错误解析当a1时，函数ylogax是增函数；当0a1时，函数ylogax是减函数故大前提错误导致结论错误答案1合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向2演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行3合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下) 创新突破1

27、2新定义下的归纳推理【典例】 (2013·湖南卷)对于Ea1，a2，a100的子集Xai1，ai2，aik，定义X的“特征数列”为x1，x2，x100，其中xi1xi2xik1，其余项均为0.例如：子集a2，a3的“特征数列”为0,1,1,0,0，0.(1)子集a1，a3，a5的“特征数列”的前3项和等于_；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，p100满足p11，pipi11,1i99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q11，qjqj1qj21,1j98，则PQ的元素个数为_突破1：读懂信息，对于集合Xai1，ai2，aik来说，定义X的“特征数列”为x1，x

28、2，x100是一个新的数列，该数列的xi1xi2xik1，其余项均为0.突破2：通过例子：“子集a2，a3的特征数列为0,1,1,0，0，0”来理解“特征数列”的特征；第2项，第3项为1，其余项为0.突破3：根据p11，pipi11可写出子集P的“特征数列”为：1,0,1,0,1,0，1,0，归纳出子集P；同理，子集Q的特征数列为1,0,0,1,0,0，1,0,0，归纳出子集Q.突破4：由P与Q的前几项的规律，找出子集P与子集Q的公共元素即可解析(1)根据题意可知子集a1，a3，a5的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,0，0，此数列前3项和为2.(2)根据题意可写出子集P的“特征数列”为1

29、,0,1,0,1，0，1,0，则Pa1，a3，a2n1，a99(1n50)，子集Q的“特征数列”为1,0,0,1,0,0，1,0,0,1，则Qa1，a4，a3k2，a100(1k34)，则PQa1，a7，a13，a97，共有17项答案(1)2(2)17反思感悟 此类问题一定要抓住题设中的例子与定义的紧密结合， 细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，需有一定的逻辑推理能力【自主体验】若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，xn总满足f(x1)f(x2)f(xn)f，称函数f(x)为D上的凸函数现已知f(x)sin x在(0，)上是凸函数，则在ABC中，sin Asin Bs

30、in C的最大值是_解析已知f(x1)f(x2)f(xn)f，(大前提)因为f(x)sin x在(0，)上是凸函数，(小前提)所以f(A)f(B)f(C)3f，(结论)即sin Asin Bsin C3sin .因此sin Asin Bsin C的最大值是.答案基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理_结论正确；大前提不正确；小前提不正确；全不正确解析f(x)sin(x21)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确答案2(2014·西安五校联考)观察下式：112；23432；3

31、456752；4567891072，则得出第n个式子的结论：_.解析各等式的左边是第n个自然数到第3n2个连续自然数的和，右边是中间奇数的平方，故得出结论：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案n(n1)(n2)(3n2)(2n1)23若等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，且通项为a1(n1)·，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列bn的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则_答案数列为等比数列，且通项为b1()n14观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(

32、x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)_.解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(x)g(x)答案g(x)5(2012·江西卷改编)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于_解析从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10b10123.答案1236(2014·长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)axax，C(x)axax，其中a0，且a1，下面正确的运算公式是_S(xy)S(x)C(y)C(x

33、)S(y)；S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)解析经验证易知错误依题意，注意到2S(xy)2(axyaxy)，S(x)C(y)C(x)S(y)2(axyaxy)，因此有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；同理有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)答案7由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“a·bb·a”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)·ca·cb·c”；“(m·n)tm(n&

34、#183;t)”类比得到“(a·b)·ca·(b·c)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，a·px·pax”；“|m·n|m|·|n|”类比得到“|a·b|a|·|b|”；“”类比得到“”以上式子中，类比得到的结论正确的是_解析正确；错误答案8(2014·南京一模)给出下列等式：2cos ，2cos ，2cos ，请从中归纳出第n个等式：_.答案2cos 二、解答题9给出下面的数表序列：表1表2表3113135 4 4812其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n个数是1,3

35、，5，2n1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n3)(不要求证明)解表4为1357 4812122032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列将这一结论推广到表n(n3)，即表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列10f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明解f(0)f(1)，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3).由此猜想f

36、(x)f(1x).证明：f(x)f(1x).能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2012·江西卷改编)观察下列事实：|x|y|1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|y|2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3的不同整数解(x，y)的个数为12，则|x|y|20的不同整数解(x，y)的个数为_解析由|x|y|1的不同整数解的个数为4，|x|y|2的不同整数解的个数为8，|x|y|3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|y|n的不同整数解的个数为4n，故|x|y|20的不同整数解的个数为80.答案802观察下列各式918,16412,25916,361620，

37、这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为_解析91(12)2124(11)，164(22)2224(21)，259(32)2324(41)，3616(42)2424×(51)，一般地，有(n2)2n24(n1)(nN*)答案(n2)2n24(n1)(nN*)3(2013·湖北卷)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中ABC是格点三角形，对应的S1，N0，L4.(1)图中格点四边形DEF

38、G对应的S，N，L分别是_；(2)已知格点多边形的面积可表示为SaNbLc，其中a，b，c为常数若某格点多边形对应的N71，L18，则S_(用数值作答)解析(1)四边形DEFG是一个直角梯形，观察图形可知：S(2)××3，N1，L6.(2)由(1)知，S四边形DEFGa6bc3.SABC4bc1.在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S4，N1，L8.则Sa8bc4.联立解得a1，b.c1.SNL1，若某格点多边形对应的N71，L18，则S71×18179.答案(1)3,1,6(2)79二、解答题4(2012·福建卷)

39、某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213°cos217°sin 13°cos 17°；sin215°cos215°sin 15°cos 15°；sin218°cos212°sin 18°cos 12°；sin2(18°)cos248°sin(18°)cos 48°；sin2(25°)cos255°sin(25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，

40、求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解(1)选择式，计算如下：sin215°cos215°sin 15°cos 15°1sin 30°1.(2)三角恒等式为sin2cos2(30°)sin cos(30°).证明如下：sin2cos2(30°)sin cos(30°)sin2(cos 30°cos sin 30°sin )2sin ·(cos 30°cos sin 30°sin )sin2cos2sin

41、cos sin2sin cos sin2sin2cos2.学生用书第194页第3讲直接证明与间接证明知 识 梳 理1直接证明(1)综合法定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明这样的思维方法称为综合法(2)框图表示：PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)(3)分析法定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等这样的思维方法称为分析法(4)框图表示：QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的

42、条件2间接证明(1)反证法定义：在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立这种证明方法叫作反证法(2)反证法的证题步骤是：作出否定结论的假设；进行推理，导出矛盾；否定假设，肯定结论辨 析 感 悟对三种证明方法的认识(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件(×)(2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾(×)(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题

43、的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(4)证明不等式最合适的方法是分析法()感悟·提升两点提醒一是分析法是“执果索因”，特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件，如(1)；二是应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法所谓矛盾主要指：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与公认的简单事实矛盾；自相矛盾.考点一综合法的应用【例1】 (2013·新课标全国卷)设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)ab

44、bcac；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.规律方法 综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明.学生用书第195页【训练1】 (1)设a0，b0，ab1，求证：8.(2)已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：3.证明(1)ab1，11222248.当且仅当ab时等号成立(2)a

45、，b，c全不相等，且都大于0与，与，与全不相等，2，2，2，三式相加得6，3，即3.考点二分析法的应用【例2】 已知a0，求证：a2.审题路线从结论出发观察不等式两边的符号移项(把不等式两边都变为正项)平方移项整理平方移项整理可得显然成立的结论证明(1)要证a2，只需要证2a.a0，故只需要证22，即a244a2222，从而只需要证2，只需要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立规律方法 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等

46、价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证【训练2】 已知m0，a，bR，求证：2.证明m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证考点三反证法的应用【例3】 等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列(1)解由已知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN*

47、，且互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20.pr，与pr矛盾数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列规律方法 用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的【训练3】 已知a1，求证三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实数根证明假设三个方程都没

48、有实数根，则a1.这与已知a1矛盾，所以假设不成立，故原结论成立1分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知2综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来4利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的 答题模板13反证法在证明题中的应用【典例】 (14分)(2013·北京卷)直线ykxm(m0)

49、与椭圆W：y21相交于A，C两点，O是坐标原点(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形规范解答(1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分(2分)所以可设A，代入椭圆方程得1，即t±.所以|AC|2.(5分)(2)假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.(7分)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，k·m.所以AC的中点为M.(9分)因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，所以直线OB的斜率为.(11分)因为k·1，所以AC与OB不垂直(13分)所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形(14分)反思感悟 (1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，明确作假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去答题模板用反证法证明数学命题的答题模板：第一步：分清命题“pq”的