材料加工中的数值模拟方法-微观组织数值模拟(6)学习教案

1、会计学1材料加工中的数值模拟方法材料加工中的数值模拟方法-微观组织数微观组织数值模拟值模拟(6)第一页，编辑于星期日：十五点 五十四分。相场法应用实例（II） 纯物质凝固相场模型的建立纯物质凝固相场模型的建立 序参量确定序参量确定自由能密度函数确定自由能密度函数确定相场动力学方程相场动力学方程温度场方程温度场方程相场参数确定相场参数确定各向异性各向异性噪声噪声第1页/共42页第二页，编辑于星期日：十五点 五十四分。纯物质相场模型包含两个场变量：相场和温度场(无浓度场)。 第2页/共42页第三页，编辑于星期日：十五点 五十四分。相场动力学方程initial preparation of (x,t

2、=0)subsequent (x,t)Solid s=1 liquid L=0propagation of interface)()()(222pTTTLHgFmmV22)1 ()(g)23()(2pVFMtdFFV)23(2)(32g)1 (6)( p)()()(122pTTTLgHtMmm第3页/共42页第四页，编辑于星期日：十五点 五十四分。根据标准热传导方程:0QJtQ考虑固/液界面熵的变化： PfhQTcLttt温度场方程( )tpQfThcJLt This (phenomenological) term accounts for the release of latent heat

3、 as the interface advances( )ht( ( , )hx t( ( ,)hx ttqJk T This is a flux-conservative equation, i.e. it conserves heat Flux in the absence of latent heatWFourier定律 pdHTdSdQ)(LhTcHpp( )tpfThck TLt 第4页/共42页第五页，编辑于星期日：十五点 五十四分。纯物质凝固相场模型( )tpfThck TLt 2ThuDutt)()()(122pTTTLgHtMmm22)1 ()(g)23()(2pupgt)(

4、)(22MH1H/HTcLMp2pmcLTTu/pTckD)(h第5页/共42页第六页，编辑于星期日：十五点 五十四分。TDtT2LsnfnTnTKVL10dTTM尖锐界面模型相场模型？渐近分析渐近分析10ad Daa21Interface kinetic coefficientCapillary lengthNote the details of a1 and a2 depend on the form of h(). See A. Karma and W.R. Rappel, Phys. Rev. E (1996) 2ThuDuttupgt)()(22第6页/共42页第七页，编辑于星期日：

5、十五点 五十四分。MMW第7页/共42页第八页，编辑于星期日：十五点 五十四分。各向异性各向异性 p各向异性是自然界呈现如此丰富多彩的根源第8页/共42页第九页，编辑于星期日：十五点 五十四分。第9页/共42页第十页，编辑于星期日：十五点 五十四分。 04=1cos4 n1212iihhh二维四重对称晶体的界面能极图及其平衡形状晶面的界面能与该晶面到中心的距离 44041cos4.1 31sincos.1 3snanWulff理论第10页/共42页第十一页，编辑于星期日：十五点 五十四分。 cossinnxy1tanyx各向异性的描述2222yxxyxyxy 第11页/共42页第十二页，编辑于

6、星期日：十五点 五十四分。22222222() 2 2()()()yxxyxyyxyxxxyyyxxyfxy )4cos1 (40r4sin44rddxyarctg2222211yxyxxxyxxyxxxyxxyxyxyxxx2222211yxyxyxyyxyxyxyyxyxyxyyyy4cos164rdd 界面能各向异性在相场动力学方程中的描述第12页/共42页第十三页，编辑于星期日：十五点 五十四分。 222(1)(1)tyxnuxy upgyxffnxyt)()()()(222各向同性相场控制方程：upgt)()(2242)(42g532)(53p)4cos1 (40r240)4cos1

7、 (r)1 ()1 (2222ut第13页/共42页第十四页，编辑于星期日：十五点 五十四分。01000 2000 3000 4000 5000 6000 700001000200030004000500060007000 with noise no noisep晶体的实际生长中，能量、温度和浓度的随机涨落是客观存在的。p引入噪声可以获得形貌逼真的具有高次分支的枝晶，噪声的引入仅引发侧向分支的生长，并不改变枝晶尖端稳态行为。随机涨落（噪声） p侧向分枝产生的原因：噪声选择放大机制？内在确定性机制？未有定论。在相场方程和浓度方程中引入与时间和空间相关的均值为零的成高斯分布的随机变量直接在相场方程

8、中引入与能量有关的随机数随机噪声引入方法,RFMMr tt ),(tTcfrFM第14页/共42页第十五页，编辑于星期日：十五点 五十四分。)()()()()(1 (),(HgTfpTfpTfSL)()()()(),(pTTTLHgTfTfmmL 纯物质凝固相场模型的建立纯物质凝固相场模型的建立 dpTTTLHgFmm)()()(222序参量化学自由能密度系统自由能泛函)()()(122pTTTLgHtMmm相场动力学方程)23()(2p22)1 ()(g01LS，相场和温度场第15页/共42页第十六页，编辑于星期日：十五点 五十四分。 纯物质凝固相场模型的建立纯物质凝固相场模型的建立 温度场

9、控制方程( )tpfThck TLt )(h相场模型参数确定渐近分析10ad Daa21毛细长度动力学系数平衡解分析界面厚度界面能第16页/共42页第十七页，编辑于星期日：十五点 五十四分。 纯物质凝固相场模型的建立纯物质凝固相场模型的建立 222(1)(1)tyxnuxy各向异性动力学各向异性界面能各向异性)4cos1 (40r240)4cos1 (r加入各向异性后相场控制方程形核、侧向分枝的产生需要加入可控的噪声项,RFMMr tt 随机涨落),(tTcfrFM第17页/共42页第十八页，编辑于星期日：十五点 五十四分。相场法应用实例（II） 单相二元合金凝固相场模型单相二元合金凝固相场模

10、型 p自由能的构造自由能的构造pWBMWBM相场模型相场模型pKKSKKS相场模型相场模型第18页/共42页第十九页，编辑于星期日：十五点 五十四分。nLiVmcTTmA22TTtcDct nn)()1 ()(LLSSLLSScDcDcVkTTLVGibbs-Thompson Equation界面守恒条件控制方程第19页/共42页第二十页，编辑于星期日：十五点 五十四分。T=constant序参量单相二元合金凝固相场模型 成分场、相场、温度场自由能函数构造纯物质二元合金第20页/共42页第二十一页，编辑于星期日：十五点 五十四分。自由能密度构造方法纯物质自由能 TfTfBA,机械混合混合熵过剩

11、自由能单相二元合金凝固相场模型 第21页/共42页第二十二页，编辑于星期日：十五点 五十四分。简化 , ,1,ln1ln 111ln1ln 11ABABMMABABMMfc Tc fTcfTRT cccccc LTTTTWgc LcLpRT cccccc LTT , ,1ln1ln 1ABfc TWgc HcHpRT cccc理想溶液单相二元合金凝固相场模型 第22页/共42页第二十三页，编辑于星期日：十五点 五十四分。cfMcFMtcfMFMtcVcV)(22单相二元合金相场模型2222, ,22cVFfcTcdV , ,1ln1ln 1ABfc TWgc HcHpRT cccc)1)()(

12、BAcHHcPgWfccRTpHHcfAB1ln)()(可去掉第23页/共42页第二十四页，编辑于星期日：十五点 五十四分。v理想合金熔体的等温凝固的理想合金熔体的等温凝固的WBM模型模型2()( )( )(1)ABMWgpc HcHt 11cABcmcRTM pHHMctcc AMAMAATTTLH)10156()(23p)1 ()(22gBAcMMcM)1 (BMBMBBTTTLH lsmcDpDccRTM1单相二元合金相场模型Wheeler-Boettinger-McFadden(1993)第24页/共42页第二十五页，编辑于星期日：十五点 五十四分。令c0222221302112TTT

13、LMWMdtdAMAMAA)10156()(23P)1 ()(22g)1)()()(2BAcHHcPgWMdtd)()()(2AHPgWMdtdAMAMAATTTLH得到纯组元相场方程单相二元合金相场模型第25页/共42页第二十六页，编辑于星期日：十五点 五十四分。p自由能的构造自由能的构造pWBMWBM相场模型相场模型pKKSKKS相场模型相场模型第26页/共42页第二十七页，编辑于星期日：十五点 五十四分。 , ,1(1)ln(1)ln11ABmsLRTfc Tc fcfccccccppp从纯组元A和B的自由能入手 , ,11,SLABfc Tc WcWgpfc Tpfc Tp从液相和固相

14、的自由能入手)()()(1 ()()(),(gWTfpTfpTfASALAA自由能密度构造方法单相二元合金相场模型第27页/共42页第二十八页，编辑于星期日：十五点 五十四分。 WgTcfhTcfhcTfLLSS,1, 10211 ln)1ln()1 (1,LcLccccccRTfcfcTcfSSSSSSSmSSSASSSB 10211 ln)1ln()1 (1,LcLccccccRTfcfcTcfLLLLLLLmLLLALLLB单相二元合金相场模型第28页/共42页第二十九页，编辑于星期日：十五点 五十四分。p质量守恒 p化学势相等 单相二元合金相场模型第29页/共42页第三十页，编辑于星期

15、日：十五点 五十四分。 fMtffDtcccc22KKSKKS合金相场模型合金相场模型 WgcfhcfhcftxcftxcfchchcLLSSLLcSScLSLS1,1插值函数插值函数双阱函数双阱函数p注意cs 、cL是c、的函数 单相二元合金相场模型第30页/共42页第三十一页，编辑于星期日：十五点 五十四分。 LSchchc1cchcchLs)(1 )(1txcftxcfLLcSScLS,ccdctxcdfccdctxcdfLLLLcsSSScLS, LLccSSccLLccScfhcfhcfcc1 LLccSSccSSccLcfhcfhcfcc1)(,SSccSSSccfdctxcdfS

16、)(,LLccLLccfdctxcLdfL单相二元合金相场模型第31页/共42页第三十二页，编辑于星期日：十五点 五十四分。 LLccSSccLLccSLScfhcfhcfcchc1 LLccSSccSSccSLLcfhcfhcfcchc1 LSchchc1)()(1 )(0LSLscchchchtxcftxcfLLcSScLS,LLLLcsSSSccdctxcdfcdctxcdfLS,单相二元合金相场模型第32页/共42页第三十三页，编辑于星期日：十五点 五十四分。 gWcfcccfcfhtMLLcSLSSLLL21 SLcchDcDtc LLccccffDtcL单相二元合金相场模型第33页

17、/共42页第三十四页，编辑于星期日：十五点 五十四分。单相二元合金相场模型第34页/共42页第三十五页，编辑于星期日：十五点 五十四分。pKKS相场模型参数与实际材料参数的联系 w22 . 2223w),(2120eLeSLemccwDMkmRTV)1 ()()()()(1 )(1)()()(),(0001000002dcfhcfhhhcccfcfcceLLcceSScceSeLeLLcceSScceLeS实际参数：界面能、界面厚度、动力学系数相场参数：梯度项系数、双阱势高度w、相场动力学系数Mp通过数值方法求解控制方程 有限差分法、有限元法、有限体积法、Fourier谱方法单相二元合金相场模

18、型第35页/共42页第三十六页，编辑于星期日：十五点 五十四分。界面上的浓度:WBM : KKS: pWBM：界面定义为成分相同的固相和液相混合物pKKS：界面定义为化学势相同的固相和液相混合物0cc eLeSchchc001界面上的自由能:WBM : KKS : *00*001cfhcfhfLS eLLeSScfhcfhf001单相二元合金相场模型第36页/共42页第三十七页，编辑于星期日：十五点 五十四分。9 . 01 . 0000)0()()(22zzwgdpWBM模型一维稳态解pKKS模型一维稳态解)(2002gdxdxx2tanh121)(0单相二元合金相场模型第37页/共42页第三十八页，编辑于星期日：十五点 五十四分。p一维稳态下相场解与浓度场解完全