概率统计习题详解

1、多练岀技巧巧思岀硕果习题二(A )1. 同时抛掷3枚硬币，以X表示出现正面的枚数，求 X的分布律。初1331解：PX =0 = , PX =1 = , PX =2 = , PX =3二8 8882. 一口袋中有6个球，依次标有数字 _1,2,2,2,3,3，从口袋中任取一球，设随机变量X为取到的球上标有的数字，求X的分布律以及分布函数1解：PX 1:63PX -2=62PX =3二60,x ： -11,一仁 x ：2F(x)才64,2：361,3沁3. 已知随机变量X的分布函数为1,x v02xF(x),0 沁：2，41,2 兰x求概率P1 ：X _213解： P1 ： X _2 =F(2)

2、F(1) = 1 440,x ： 0；4.设随机变量X的分布函数为F(x)=As in x, 0_x_：2;求:1,x ；2(1) A的值；(2 )求 P| X 卜：7 6.JIJIJ解：由于F(x)在点x二§处右连续，所以 F-F0),即JI .Asin =1,2A =1。fTFfTFsTFiTFsTFiTFPX：=P x=F(y-F()-PX 666666110 - 0 二225.设离散型随机变量X的分布律为(1) PX =iHa(Z3)dx 二一一 一, 1,2,3; PX =i =a(2；3)i,i =1,2川|分别求出上述各式中的 a.2 48解：（1） 1 二 a a a

3、3271吨(2)227a =38231 23(|)3 川)=a=2a，1a =-26.已知连续型随机变量X的分布函数为°F(x) = kx b,1-x ： 0;0 乞 x ：二,求常数k和b。7.已知连续型随机变量Xf (x)=kJ。JI的概率密度为k 2 ( - ： : X，1 x2求常数k和概率P -1 ： X : 1.”七c k兀解：12dx = k 2J 1-* 兀 1 +x:1 x，k=2511 12 dx =28.已知连续型随机变量 X的概率密度为x,0 乞 x :1f(x) <2 x,1 乞 x ： 20,其他求X的分布函数。O,xcOx解： F(x) f(t)d

4、t =X* 2,0 乞 x : 1222x1,1 乞 x ： 2 21,2 Mx9.连续不断地掷一枚均匀的硬币，问至少掷多少次才能使正面至少出现一次的概率不少于 0.99.111解：1()n_ 0.99，()n E0.01 , lg( )n Gg 0.01lg0.01lg1722210 .设每分钟通过某交叉路口的汽车流量X服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率解：PX =0 =PX =1, e-， =1。PX _2 =1-PX =0-PX =1 =1-2e=0.264211.设每次射击命中目标的概率为0.001，共射击5000次，

5、若X表示命中目标的次数。（1）求随机变量 X的分布律；（2） 计算至少有两次命中目标的概率.解：(1)PX =k二 c5000 (O.OO1)k(O.999)5000J<(2) PX _2=1 PX =0 PX =1, 二 np=5PX _2=1-PX =0-PX =1 =1-0.0067 -0.033 = 0.959612.设随机变量X的密度函数为f (x)二Ae",: x .(1) 求常数A ；(2) 求X的分布函数。-be1edx) = 2A， A =2(3) 求 P0 ： X : 1."bo解：(1) 1 =_ f (x)dx = A( _ _exdx0 FE

6、 W 0x2 0txx e e；3dt 二亍 x ：0乞 dt =1-J,x-02 2(3) P0 ： X<e 11函数13.证明：函数f(x)二丁ce0,2C, x 一0;( c为正常数)是某个随机变量x 0.证明：由于在(一匚:，：)内,f(X)_0,X的密度；f(x)dx0：x0 =1 -e 1，,x!二ecdx 二-ec所以，f (x)是某随机变量的概率密度。14.设随机变量X的概率密度为200003 ,f(x)二(x 100)! 0,x 0，求:其他(1) X的分布函数;(2)求 PX - 200.打x解：(1) F(x) =f (t)dt = <0,x c0,10000

7、c12,x _0(x 100) PX 一200 =1 -F(200) =1.9 (2) px ：1 = J 3e；xdx =1 _e"。16.设 X LI N(0,1)，(1) 求 PX 乞 1.96, PX _-1.96，P|X|乞 1.96，P1：XE2.(2) 已知 PX Ea =0.7019， P| X| ：b =0.9242 , P X : c = 0.2981，求常数 a,b,c.解：(1)PX 乞 1.96 =(1.96) =0.97515.某种显像管的寿命 X (单位：千小时)的概率密度为ke'xf(x) = i 0x 0,x EO.'(1) 求常数k

8、的值；(2) 求寿命小于1千小时的概率., k解：(1) 1 =_ f(x)dx = ° ke Xdx,k = 3PX 乞 一1.96 =1 一(1.96) =0.025P| X 吃 1.96 -(1.96) 门(一1.96) =0.975 0.025 =0.95P-1 ： X 乞 2(2) ：( 一1) = 0.9772 10.8413 = 0.8185(2)查表知 a = 0.53 , c - -0.53 ,P| X 卜：b =(b)G(b) =2G(b)1 =0.92421 9242尬(b)0.9621,2b =1.7817.设 X L N(8,0.52)，求：(1) P7.：

9、 X <10;(2) P| X -81;(3) P| X -9h：0.5.10 _ 87 5 _ 8解： (1) P7.5 _X _10 =-)：( - )=0.84130.50.51-1(2) P| X -8匸1：()：()=0.95440.50.5(3) P| X -9卜：0.5-：(3) -门(1)=0.1574"oX 兰 1求随18.设随机变量X服从参数为k =1的泊松分布，记随机变量Y = g '"'1, Xa1.机变量Y的分布律.解：PY =0 =PX 空 0 =PX =0 PX =1 =2 0.3679 =0.7358PY =1 =1 -

10、 PY =0 =1 -0.7358 72642 .19.设随机变量X的概率密度为f (“ 2匸和1，I 0,其他对X独立重复观察三次，求至少有两次观察值不大于0.5的概率.解：用Y表示观察值不大于 0.5的次数，p二0.25，则Y B(3,0.25)，PY _2 =PY =2 PY =323=3 (0.25)0.75 (0.25) =0.156320.已知电源电压服 X服从正态分布 N(220,252),在电源电压处于 X乞200V,200V :：: X乞240V , X 240V 三种情况下，某电子元件损坏的概率分别为0.1 , 0.01 , 0.2。(1) 求该电子元件损坏的概率 :.；(

11、2)已知该电子元件损坏，求电压在200V 240V的概率“解：PX ： 200：(一0.8) =0.2119P200 ： X : 240=门(0.8) ：(一0.8) =0.5762PX 240 =1门(0.8) =0.2119(1).=0.1 0.21190.01 0.5762 0.2 0.2119 =0.06930.01 0.57620.0693= 0.08321.假设自动生产线加工的某种零件的内径服从正态分布N(11,1)，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品则亏损，若销 售利润Y与销售零件的内径 X有下列关系-1, X ：10,Y = 2

12、0,10 EX <12,-5, X 12.求Y的分布律.解：PY 二-1二 PX ：10：(-1) = 0.1587PY =20二 P10 ： X : 12=门(1)-门(-1) = 0.6826PY =5 =PX 12 =1 - "(1)=0.158722.已知随机变量X的分布律为'-3-2-101234 '(0.05 0.10 0.25 0.15 0.05 0.20 0.15 0.05求Y = X2的分布律。解：PY=0=0.15PY =1 =0.3PY =4 =0.3PY =9 =0.2PY =16 =0.0523.解:设随机变量X服从，上的均匀分布，求

13、Y =sinX的概率密度.2 21,X ；：'fx(x)二二 22、0,其他FY(y)=PY ： y二 Psin X :：: y二 PX :：: sin y一1 _X _11,x1一1 ： X : 10,其他24.度函数解:当0乞y于是设随机变量X服从参数为=2的指数分布，令 Y=1-e，x，求随机变量Y的密fXg 雹JFY(y)=PY ：y二 P1 -ex ：y。2 X由于0 ：1 e : 1，所以当y : 0时,Fy (y)=0 ；当 y 1 时,FY(y)=1 ；<1时,FY(y)=PY : y二 P1 ex1"PX尹(rfY(y)下(y)二1,0 ： y <

14、; 10,其他25.设随机变量xLn(,；2)，求随机变量 Y=eX的密度函数解:fx(X)=Fy(y)=PY ：y二 PeX :：: y当 y ：0 时，Fy (y)=0 ； 当 y 0 时，Xln yFY(y)=PeX : y =PX 叮n y = i fx(x)dx,于是，彳(ln y期21- 2占门fY(y) = FY(y)才 Trye° ,y>00, 其他1.某种电子元件的寿命 X (单位:小时)的概率密度为xf (x) » 20000,e码x0x_0(1) 求该电子元件能正常使用1000小时以上的概率；(2) 已知该电子元件已经使用了1000小时，求它还能

15、只用1000小时的概率。乂4解：(1) PX 1000 = 1000 f(x)dx 二e 2 ；1(2) PX 2000 X 1000 = PX 2000 =2 。 PX >10002.设连续型随机变量 X的密度函数f (x)是偶函数，证明:(1)(2)证明:-X和X有相同的分布；1F(a) = PX 兰a =3一 J0 f (x)dx .(1)令Y - -X，则Y的分布函数FY(y)二 PY 岂 y= PX 一 -y =1 - PX y从而Y的概率密度为fY(y) =-(一:fx (x)dx) J fx(-y) = fx(y)，所以Y与X具有相同的概率密度。(2) F(a) = PX

16、兰a = ffX(x)dx，令 x = t，则_aaF (-a) = P X _ -a = jfX (x)dx =fX (-t)dtJ_oOJoO.aa=t fx(t)dt=1J fx(t)dt fx(t)dta. a-aa"一fx(t)dt-2 0 fx(t)dt0a“_F(_a)-20 fx(x)dx，所以3.设随机变量X1F（-a） =2的概率密度为a0 f(x)dx。f(X)l x2)求（1）随机变量Y = X2的概率密度。（2）随机变量Z = arc tanX的概率密度。解：（1）FY（y）二 PY 乞 y二 PX2 乞 y当y ： o时,FY(y) =0，当y _0时,进

17、而FyW) = PY 兰 y = PX2 兰 y = P 兰 X 兰十行=J： fx(x)dx，一 yfY(y)=(FY(y)"=fx(Jy)yfx(_ fx(、y) _1y y(1 y)综上所述，I厂，八0fY(y)二 S y(1 y)；.0,y 乞 0JI(2)当 z <时,2FZ 二 PZ - z二 Parctan X 岂 z = P X 乞 tanz二 Fx ，于是Z的概率密度为fzfX (ta n z)sec2 z =2sec z2二(1 tan z)TT当 z 时，FZ(z) = PZ _z = ParctanXzz=0 ；2当 z 时，Fz二 PZ _ z = Parctan X 空 z = 1 ,2于是fz(z)=1，：2。0, 其他4.设一大型设备在任何长度为t的时间间隔内发生故