椭圆的极坐标方程及其应用

1、椭圆的极坐标方程及其应用椭圆的极坐标方程及其应用x2y2如图，倾斜角为且过椭圆匕 的右焦点F2的直线I交椭圆C于P,Q两点，椭圆abC 的离心率为e,焦准距为p,请利用椭圆的第二定义推导PF2,QF2,PQ并证明：x2y21的左、右焦点分别为 F1，F2过F1的直线交椭圆于 B, D两点，例2. （07年 全国I）已知椭圆32过F2的直线交椭圆于 A, C两点，且汇j,垂足为P,求四边形ABCD勺面积的最 值.11为定值PF2QF2y21上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知练习2. （05年全国H） P、Q M N四 点都在椭圆X2与共线,与线,且0,求四边形PMQN勺面积的最小值和最大值改

2、为：抛物线y23让'：【 ；'呢？x2y2 例1. （10年全国H）已知椭圆2 1圧11的离心率为，过右焦点 F且 斜率为的ab2直线与C相交于A,B两点若吐 3FB,求k例3. （07年重庆理）如图，中心在原点0的椭圆的右焦点为F（3,0），右准线I的方程为（I）求椭圆的方程；（H）在椭圆上任取三个不同点，证明：1,P2,P3，使 F111为定值，并求此定值丨|FP|FP|FP|123x2y2练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C: 2 2 1削h 5的右焦点为F,过点F的直 线I与椭圆C相交于abA , B两点，直线I的倾斜角为 迢2FR,求椭圆C的离心率；ox2y2推广：已

3、知椭圆a2 b2 如b是椭圆的右焦点，在椭圆上任取n个不同点卩1,巴，若nPFP12 P2FP3PnIFPn PriFPl,则1匸，你能证明吗？ | 1 I甘电沖练习3.（08年福建理科）如图，椭圆a.2 b2h ；1的一个焦点是F （1, 0）, O为坐标原点.（I）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（n）设过点F的直线I交椭圆于A、B两点.若直线I绕点F任意转动，值有 OA20B2AB2求a的取值范围作业1.(08年宁夏文)过椭圆沽吃41的右焦点作一条斜率为 2的直线与椭圆交于 A,B两点，0为坐标原点,贝IJAOAB的 面积为作业2. (09年全国I)已知椭

4、圆 C:x22理1的右焦点为F,右准线I，点1,线段AF交C于点Bo若冋求AF。作业3. (15年四市二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD勺顶点都在椭圆x2y262上，对角线AC与BD分别过椭圆的左焦点门；和右焦点F2(1,0), 且，椭圆的一条准线方程为(1) 求椭圆方程；(2) 求四边形ABCD面积的取值范围。C:x24.( 08年安徽文)已知椭圆 y2练习心：J2 1山> b> 0)，其相应于焦点F(2 , 0)的准线方程为x=4.(I)求椭圆C的方程；()已知过点 F(-2,0)倾斜角为的直线交椭圆 C于A, B两点.求证：(川)过点F1(-2,0)作两条互

5、相垂直的直线分别交椭圆C于点A B和D E,求:毗 量的最小值.作业5.已知以F为焦点的抛物线y21a 上的两点A B满足町：带K求弦AB的中点到准线的距离参考答案：例1.练习1.例 2.练习2.22例3.解：(I)设椭圆方程为岸yb2 I,因焦点为F(3,0)，故半焦距丄：5又右准线I的方程为X般c，从而由已知a2c1Z 卫 36,因此 虬ha2c2 27 .故所求椭圆方程为x236 y2L (n)方法一：记椭圆的右顶点为 A,并设 前匸 i：-i 127,2,3),不失一般性 假设02 2 1、且 21：*!313又设点Pi在I上的射影为Qi,因椭圆的离心率Pca 12,据椭圆第二定义得F

6、Jir： kc|uos i12(9 ITicGs i) (i I, 2,3)1FP 2(1 12cos (i L2,3). W1FP 112 1FP 3 1 (cos 2 ') cos ( 41 i-o.s ：'.11们 又co-s 21111 cds( 13)沙就 1:Ji cos 1 2c：os 1 1 加辭 11 Ci Ht? 1 山定值)1FP2FP33 方法二：记椭圆的右顶点为 A,并设 MT 1li不失一般性假设U 123,且 2表12 131 3,另设点 P(xi,yi), 则 |lJFi uos i hyi 卩厂I Ln i点 "Flm i ：0竺 門

7、'|；叮1、 Jii在椭圆上！36 ii)27i1FP 1吃(心 -) i；i 1,霞:汉以下同方法一 i9IFF HFP 1 負定值)2FP33 推广：sin(n 1； Il 引理 l:uusI (.'OS2 icos).sin2证明：、1cos () sin 13 2 2 _sin (2) sin(2)(2)co H n i sin2 12rsi：i( 2n 12 siti( 2n 12； Cl 1)将上述11个式子相加得cos cos ()cus (11 ) 1 sin2 12n li2_sin( 2) .sin( 2 厂1) cost ii .)cos cos '

8、;)cos ( n )sin2证明：记椭圆的右顶点为 A,并设 彼卩： i；i L2,不失一般性假设 C' 22 n;且 21 ii： 1 山:i3 1 , n 1 u又设点Pi在I上的射影为Qi,据椭圆第二定义得FPPQa21 i I i c (c： HPi :-os i J c (i I, 2, rij1FP a2 ( ct!c)s i (i1,2, n). hn1 a匚 c f cos 22 (ii 1)21 co)cos; ( i L l-T'i|的1匚 在引理1中,令22 L I】，则 w 11ii)cost 2(n1)1 11.)sinn cost (n 1(n 1

9、)1 )sin cost 10sin2sinnn1|naZ i I Pk'ih 练习 3.解法一 ：(I )设M N为短轴的两个三等分点,因为AMMF为正三角形，所以W 即12b3,解得ba2b21丄因此，椭圆方程为x2y24 3L :;丨丨】设 A(x1,y1),B(x2,y2).(i )当直线AB与x轴重合时,0A2 0B2 22, AB24般:机 Ik因此，恒有0A20B2AB2(ii)当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：咒iiiy L代入x2y2a2 b2 1,整理得 沁 Ij2in2：y2也必】y Ij2 创2(i,所以吃h2uih2 :戈1 注 u2 h2山匕yb

10、2ly2 a2 b2m2因为恒有CA2 0li2 AH2，所以壮If恒为钝角即 i；AOH xl, vl j(X2, y2.i x I x2 y ly2 恒成立.x1a2 yly2 (ny2I I) (my2 1) yly2 (tti ljyly2 in(yl y2)1也 门(吃 a2h2)2b2ni2a2 b2rn2 a2 h加21222222 m(ib b ab 诅22ti2 b2m2又 a2+b2m>0，所以-m2a2b2+b2-ab2+a2 a2 -a2b2+b 对口 R 恒成立.当口 1(时，a22b2m2最小值为0,所以a2- a2b2+b2a2b2- b2, a2-1)b2= b4,因为a>0,b>0,所以a2,即 a2-a-