理论力学-第10章1

1、TSINGHUA UNIVERSITY第第10章章 动能定理及其应用动能定理及其应用 第三篇第三篇 工程动力学基础工程动力学基础 动能是物体机械能的一种形式，也是作动能是物体机械能的一种形式，也是作功的一种能力。动能定理描述质点系统动能功的一种能力。动能定理描述质点系统动能的变化与力作功之间的关系。动量定理、动的变化与力作功之间的关系。动量定理、动量矩定理用矢量方程描述，动能定理则用标量矩定理用矢量方程描述，动能定理则用标量方程表示。求解实际问题时，往往需要综量方程表示。求解实际问题时，往往需要综合应用动量定理、动量矩定理和动能定理。合应用动量定理、动量矩定理和动能定理。 TSINGHUA U

2、NIVERSITY 力的功力的功 动能定理及其应用动能定理及其应用 结论与讨论结论与讨论 动能动能 势能的概念势能的概念 机械能守恒定律及其应用机械能守恒定律及其应用 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用第10章 动能定理及其应用 力的功定义力的功定义 力力Fi的元功的元功 dd cosiFrFriiiiWF s，dzFyFxFzyxddd 需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函数的全需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函数的全微分，所以，一般不用微分，所以，一般不用dW表示元功，而是用表示元功，而是用W表示。表示。 W 仅是仅是Fi.dri 的一种记号。的一种记号。M2M1

3、力力Fi 在点的轨迹上从一点到另一点所作的功在点的轨迹上从一点到另一点所作的功 力力Fi 在点的轨迹上从在点的轨迹上从M1点点到到M2点所作的功点所作的功 2112dFrMiiMW力力Fi在点的轨迹上从在点的轨迹上从M1点到点到M2点所作的功点所作的功 21d12MMiiWrF由此得到了两个常用的功的表达式由此得到了两个常用的功的表达式 重力的功重力的功 对于质点：对于质点： 对于质点系对于质点系: 1212Wmg zz1212CCWmg zz 弹性力的功弹性力的功 )()(220220112lrlrkW）（2221122kW 上式中，上式中， 1 、 2 分别为弹簧在初始位置和最终位置的分别

4、为弹簧在初始位置和最终位置的变形量变形量 。TSINGHUA UNIVERSITY 一般情形下，作用在质点系（刚体系）上的力系一般情形下，作用在质点系（刚体系）上的力系（包括内力系）非常复杂，需要认真分析哪些力作功，（包括内力系）非常复杂，需要认真分析哪些力作功，哪些力不作功。哪些力不作功。 在动量和动量矩定理中，只有外力系起作用，内力在动量和动量矩定理中，只有外力系起作用，内力不改变系统的动量或动量矩；在能量方法中，内力对系不改变系统的动量或动量矩；在能量方法中，内力对系统的能量改变是有影响的，许多内力是作功的，这是学统的能量改变是有影响的，许多内力是作功的，这是学习本章内容时必须注意的。习

5、本章内容时必须注意的。 作用在刚体上力的功、力偶的功作用在刚体上力的功、力偶的功 总之，内力不能改变质点系的动量和动量矩，但它总之，内力不能改变质点系的动量和动量矩，但它可能改变质点系的能量；外力能改变质点系的动量和可能改变质点系的能量；外力能改变质点系的动量和动量矩，但不一定能改变其能量。动量矩，但不一定能改变其能量。 定轴转动刚体上外力的功和外力偶的功定轴转动刚体上外力的功和外力偶的功 刚体以角速度刚体以角速度绕定轴绕定轴z转动转动,其上其上A点作用有点作用有力力F，则力在，则力在A点轨迹切线上的投影为点轨迹切线上的投影为 cosFF 定轴转动的转角和弧长的关系为定轴转动的转角和弧长的关系

6、为 ddRs 则力则力F 的元功为的元功为 ddd()dFrFzWF RMRFMz)(F力力F对轴对轴z的矩的矩 于是，力在刚体由角度于是，力在刚体由角度1转到角度转到角度2时所作的功为时所作的功为 d )(2112FzMWTSINGHUA UNIVERSITY 定轴转动刚体上外力的功和外力偶的功定轴转动刚体上外力的功和外力偶的功 于是，力在刚体由角度于是，力在刚体由角度1转到角度转到角度2时所作时所作的功为的功为 d )(2112FzMW 力偶的功力偶的功 若力偶矩矢若力偶矩矢M与与z轴平行，则轴平行，则M所作之功为所作之功为 d2112MW若力偶矩矢若力偶矩矢M为任意矢量，则为任意矢量，则

7、M所作之功为所作之功为 d2112zMW其中其中 Mz为力偶矩矢为力偶矩矢 M 在在z轴上的投影。轴上的投影。 定轴转动刚体上外力的功和外力偶的功定轴转动刚体上外力的功和外力偶的功 假设扭簧上的杆处于假设扭簧上的杆处于水平时扭簧未变形，且变水平时扭簧未变形，且变形时在弹性范围之内。变形时在弹性范围之内。变形时扭簧作用于杆上的力形时扭簧作用于杆上的力对点对点O之矩为之矩为 kM其中其中k为扭簧的刚度系数。当杆从角度为扭簧的刚度系数。当杆从角度1转到角度转到角度2时所作时所作的功为的功为 2122121211d22Wkkk 扭转弹簧力矩的功扭转弹簧力矩的功 TSINGHUA UNIVERSITY

8、内力的功内力的功 质点系的内力总是成对出现的，且大小相等、方向相质点系的内力总是成对出现的，且大小相等、方向相反、作用在一条直线上。因此，质点系内力的主矢量等于反、作用在一条直线上。因此，质点系内力的主矢量等于零，但不能由此认定内力作功等于零。事实上，在许多情零，但不能由此认定内力作功等于零。事实上，在许多情形下，物体的运动是由内力作功而引起的。当然也有的内形下，物体的运动是由内力作功而引起的。当然也有的内力确实不作功。力确实不作功。 日常生活中，人的行走和奔跑是腿的肌肉内力作功；日常生活中，人的行走和奔跑是腿的肌肉内力作功；弹簧力作功等等。这些都是内力作功的例子。弹簧力作功等等。这些都是内力

9、作功的例子。 内力作功的情形内力作功的情形 工程上，所有的发动机从整体考虑，其内力都作功；工程上，所有的发动机从整体考虑，其内力都作功；机器中有相对滑动的两个零件之间的内力作负功；在弹机器中有相对滑动的两个零件之间的内力作负功；在弹性构件中的内力分量（如轴力、剪力、弯矩等）作负功。性构件中的内力分量（如轴力、剪力、弯矩等）作负功。 TSINGHUA UNIVERSITY 内力的功内力的功 刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体的内力所作功之和恒等于零。的内力所作功之和恒等于零。 刚体的内力不作功刚体的内力不作功 光滑的固定支承面、轴承、光滑的活

10、动铰链、销钉和光滑的固定支承面、轴承、光滑的活动铰链、销钉和活动支座都是理想约束。理由是它们的约束力不作功或活动支座都是理想约束。理由是它们的约束力不作功或作功之和等于零。作功之和等于零。 理想约束的情形理想约束的情形 柔性约束也是理想约束。因为它们只有在拉紧时才柔性约束也是理想约束。因为它们只有在拉紧时才受力，这时与刚性杆一样，内力作功之和等于零。受力，这时与刚性杆一样，内力作功之和等于零。 纯滚动的圆盘，因其在接触点无相对位移，圆盘与纯滚动的圆盘，因其在接触点无相对位移，圆盘与地面接触点上的每对摩擦力作功之和恒等于零，因此纯地面接触点上的每对摩擦力作功之和恒等于零，因此纯滚动的圆盘也可看成

11、具有理想约束。滚动的圆盘也可看成具有理想约束。 纯滚动时，滑动摩擦力纯滚动时，滑动摩擦力( (约束力约束力) )不作功不作功约束力为无功力的约束称为理想约束约束力为无功力的约束称为理想约束 C* 为瞬时速度中心为瞬时速度中心，在这一瞬时，在这一瞬时C*点的速点的速度为零。作用在度为零。作用在C*点的点的摩擦力摩擦力F 所作元功为所作元功为CFWrF ddd0F vCtOFFNvOC* 物理学中对动能的定义为物理学中对动能的定义为 221mvT 式中式中m、v 分别为质点的质量和速度。动能为标量。分别为质点的质量和速度。动能为标量。 质点系的动能为质点系内各质点动能之和。记为质点系的动能为质点系

12、内各质点动能之和。记为 221iiivmT 动能是度量质点系整体运动的一物理量。动能是正标量，动能是度量质点系整体运动的一物理量。动能是正标量，其数值与速度的大小有关，但与速度的方向无关。其数值与速度的大小有关，但与速度的方向无关。 质点系的动能质点系的动能 物体由于机械运动而具有的能量称为动能。动能的概念物体由于机械运动而具有的能量称为动能。动能的概念与计算非常重要。与计算非常重要。 设重物设重物A、B的质量为的质量为mA=mB=m，三角块三角块D的质量为的质量为m0 ，置于光滑地，置于光滑地面上。圆轮面上。圆轮C和绳的质量忽略不计。和绳的质量忽略不计。系统初始静止。系统初始静止。开始运动后

13、，系统的动能为开始运动后，系统的动能为 2220111222AABBDTm vm vm vrADAvvvrBDBvvv 当物块以当物块以相对速度相对速度Vr下下落时系统的动能。落时系统的动能。 2220111222AABBDTm vm vm vrADAvvvrBDBvvv或者写成或者写成:(:(投影）投影） 222rDAvvv22222)sin()cos(cos2rrDrDrDBvvvvvvvv注意到注意到, ,系统水平方向上动量守恒，故有系统水平方向上动量守恒，故有 0DxDBxBAxAvmvmvmr0(cos )0DDDmvm vvm vr0(cos )0DDDmvm vvm vMmmvv

14、D2cosr22222rrr0111()(2cos )222DDDDTm vvm vvv vm v2220r02 (2)cos2(2)mmmmvmm2220111222AABBDTm vm vm v222rDAvvv22222)sin()cos(cos2rrDrDrDBvvvvvvvvTSINGHUA UNIVERSITY 通过本例的分析过程可以看出，确定系通过本例的分析过程可以看出，确定系统动能时，注意以下几点是很重要的：统动能时，注意以下几点是很重要的： 系统动能中所用的速度必须是绝对速度。系统动能中所用的速度必须是绝对速度。 正确应用运动学知识，确定各部分的速度。正确应用运动学知识，确定

15、各部分的速度。 动能动能 质点系的动能例质点系的动能例 题题 1 1 TSINGHUA UNIVERSITY 平移刚体的动能平移刚体的动能 刚体平移时，其上各点在同一瞬时具有相同的速刚体平移时，其上各点在同一瞬时具有相同的速度，并且都等于质心速度。因此，平移刚体的动能度，并且都等于质心速度。因此，平移刚体的动能 222111()222iiiCCiTm vm vmv式中式中m为刚体的质量；为刚体的质量；vC为质心的速度。为质心的速度。 上述结果表明，刚体平移时的动能，相当于将刚上述结果表明，刚体平移时的动能，相当于将刚体的质量集中于质心时的动能。体的质量集中于质心时的动能。 刚体的动能刚体的动能

16、 刚体的动能取决于刚体的运动形式，下面逐一刚体的动能取决于刚体的运动形式，下面逐一加以讨论。加以讨论。 TSINGHUA UNIVERSITY 定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能 刚体以角速度刚体以角速度 绕定轴绕定轴z转动时，其上点的速度为转动时，其上点的速度为 iirv 因此，定轴转动刚体的动能为因此，定轴转动刚体的动能为 222221)(21)(21ziiiiiiJrmrmT其中其中Jz为刚体对定轴为刚体对定轴z的转动惯量。的转动惯量。TSINGHUA UNIVERSITY 平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能 刚体的平面运动可分解为随质心的平移和绕质心刚体的平面运动可分解为随质心的平

17、移和绕质心的相对转动，的相对转动， 因此平面运动刚体的动能因此平面运动刚体的动能 为为221122CCTmvJ 其中其中vC为刚体质心的速度；为刚体质心的速度；JC为刚体对通过质心且为刚体对通过质心且垂直于运动平面的轴的转动惯量。垂直于运动平面的轴的转动惯量。 动能动能 刚体的动能刚体的动能 质点的动能定理的两种质点的动能定理的两种形式。微分形式为形式。微分形式为 积分形式为积分形式为 1221222121WmvmvWmvd)21d(2rF 质点系质点系动能的微分等于作用在质点系上所有力的元功之和动能的微分等于作用在质点系上所有力的元功之和 微分形式微分形式 iiiiiWvmTrdF)21(d

18、d22112WTT 积分形式积分形式N 称为力的功率称为力的功率(单位时间内该力单位时间内该力所作的功所作的功)。NNtWtTii ddd 质点系质点系动能改变量等于运动过程中作用在质点系上的动能改变量等于运动过程中作用在质点系上的所有可以作功的力所作之功的代数和。所有可以作功的力所作之功的代数和。 均质圆轮均质圆轮A、B质量均为质量均为m，半径均为半径均为R，轮轮A沿斜面作纯滚动沿斜面作纯滚动，轮，轮B作定轴转动，作定轴转动，B处摩擦不计处摩擦不计。物块。物块C的质量也为的质量也为m。A、B、C用无质量的绳相联，绳相对用无质量的绳相联，绳相对B轮轮无滑动。系统初始为静止状态。无滑动。系统初始

19、为静止状态。试求：试求：1当物块当物块C下降高度为下降高度为h时，轮时，轮A质心的速度及轮质心的速度及轮B的角速度。的角速度。2系统运动时，物块系统运动时，物块C的加速度。的加速度。 解：以整个系统为研究对象。画出系统中作功的力。解：以整个系统为研究对象。画出系统中作功的力。 1分析各部分的运动，写出系统的动能表达分析各部分的运动，写出系统的动能表达轮轮A作平面运动；轮作平面运动；轮B作定轴转动；物块作定轴转动；物块C作平移。系统的动能：作平移。系统的动能： 222212111102222,AAABBCTTmvJJmv系统的动能：系统的动能： 222212111102222,AAABBCTTm

20、vJJmv根据运动学分析，得到根据运动学分析，得到 AARvBCRvCAvv212302,ATTmv解：解：2. 确定外力的功确定外力的功: 设下降高度设下降高度h 3应用动能定理的积分形式：应用动能定理的积分形式： 121cos602Wmghmghmgh1212WTT231022Amvmgh物块的重力和轮物块的重力和轮A的重力分别作正功和负功。于是，系统外的重力分别作正功和负功。于是，系统外力的总功为力的总功为 解：解：4确定系统运动时物块确定系统运动时物块C的加速度：的加速度： ACvvthddddddCACvvatt23Aghv CCCvgav326gaaAC对对下降高度下降高度h求对时

21、间的一阶导数，求对时间的一阶导数，即为物块即为物块C的速度的速度 因为物块因为物块C作直线平移，故有作直线平移，故有 物块的加速度为物块的加速度为 231022Amvmgh解出：解出： 32ghvA3ghvA23RghRvAAB1212WTT 均质圆轮均质圆轮A、B的质量均为的质量均为m，半径均为半径均为R，轮轮A沿斜面作纯滚动沿斜面作纯滚动，轮，轮B作定轴转动作定轴转动，B处摩擦不计处摩擦不计。物块。物块C的质量为的质量为m。A、B、C用用轻绳相联，绳相对轻绳相联，绳相对B轮无滑动。系轮无滑动。系统初始为静止状态。圆盘统初始为静止状态。圆盘A的质心的质心处加一不计质量的弹簧，弹簧刚度处加一不

22、计质量的弹簧，弹簧刚度系数为系数为k 求：求：系统的等效质量、等效刚度与系统的固有频率。系统的等效质量、等效刚度与系统的固有频率。 例例 题题 这是一个单自由度振动的刚体系统，现研究怎样将这是一个单自由度振动的刚体系统，现研究怎样将其简化为弹簧质量模型。其简化为弹簧质量模型。 与以前所研究过的问题相比，系统中增加了平面运与以前所研究过的问题相比，系统中增加了平面运动，可以根据动能定理建立系统的运动微分方程，从动，可以根据动能定理建立系统的运动微分方程，从而得到系统的等效质量和等效刚度。而得到系统的等效质量和等效刚度。 232ATmv,xvvRxxvCABC 以整个系统为研究对象以整个系统为研究

23、对象，作功的力，作功的力A、B轮的重力和轮的重力和弹簧的弹性力。弹簧的弹性力。以物块以物块C的位移的位移x为广义坐标，静平衡位置取为座标原点为广义坐标，静平衡位置取为座标原点 系统的动能表达式为系统的动能表达式为 222211112222AAABBCTmvJJmvCABCAAvv ,Rv ,Rv 则动能表达式可以写为则动能表达式可以写为 232Tmx作用在系统上的外力所作之功作用在系统上的外力所作之功W W为为 )(260cos2st2stxkmgxmgxW232ATmv 由于系统初始于静平衡状态，对轮由于系统初始于静平衡状态，对轮A、轮轮B和物块和物块C分分别列出静平衡方程，整理后，有别列出

24、静平衡方程，整理后，有 stcos600mgmgk,xvvRxxvCABC232Tmx)(260cos2st2stxkmgxmgxW根据动能定理的微分形式，根据动能定理的微分形式， stcos600mgmgk221kxWtkxtxmd)21d(d)23d(22kxxm 3 iiiW)vm(dTd221根据动能定理的微分形式，有根据动能定理的微分形式，有 kxxm 3化成标准方程化成标准方程, 03kxxm 即即等效质量为等效质量为3m，等效刚度就是弹簧的刚度，等效刚度就是弹簧的刚度k。于是，刚体。于是，刚体系统便简化为一弹簧质量系统。其振动方程为系统便简化为一弹簧质量系统。其振动方程为 03x

25、mkx 据此，系统的固有频率为据此，系统的固有频率为 mkn3 机械能守恒定律及其应用机械能守恒定律及其应用 有势力的概念有势力的概念 如果作用在物体上的力所作之功仅与力作用点的起始位如果作用在物体上的力所作之功仅与力作用点的起始位置和最终位置有关，而与其作用点所经过的路径无关，这种置和最终位置有关，而与其作用点所经过的路径无关，这种力称为有力称为有势力或保守力势力或保守力。重力、弹性力等都具有这一特征，。重力、弹性力等都具有这一特征，因而都是有势力。因而都是有势力。 势势 能能 承受有势力作用的质点系，其势能的表达式为承受有势力作用的质点系，其势能的表达式为 00d(ddd )FrMMxyz

26、MMVF xF yF z 势能是质点系（质点）从某位置（点）运动到任选的势能是质点系（质点）从某位置（点）运动到任选的零势位置（零势点）时，有势力所作的功。零势位置（零势点）时，有势力所作的功。 质点系在某瞬时动能和势能的代数和称为质点系在某瞬时动能和势能的代数和称为机械能机械能。 当作用在系统上的力均为有势力时，其机械能保持不变当作用在系统上的力均为有势力时，其机械能保持不变。这就是。这就是机械能守恒定律机械能守恒定律(theorem of conservation of mechanical energy)，其数学表达式为，其数学表达式为 2211VTVT其中其中M M0 0为势能等于零的

27、位置为势能等于零的位置( (点点) )，称为零势位置（零势点），称为零势位置（零势点）；M M为所要考察的任意位置为所要考察的任意位置( (点点) )。 承受有势力作用的质点系，其势能的表达式为承受有势力作用的质点系，其势能的表达式为 00d(ddd )FrMMxyzMMVF xF yF z 机械能守恒定律及其应用机械能守恒定律及其应用 事实上，在很多情形下，质点系会受到非保守力的作事实上，在很多情形下，质点系会受到非保守力的作用，这时的系统称为非保守系统。在保守系统动能定理用，这时的系统称为非保守系统。在保守系统动能定理中加上一附加项，就可以得到机械能之间的相互关系中加上一附加项，就可以得到

28、机械能之间的相互关系 211212TTVVW 221112TVTVW其中其中W 12为非保守力的功。例如系统上除了保守力外还为非保守力的功。例如系统上除了保守力外还有摩擦力，有摩擦力， W 12 就是摩擦力的功。就是摩擦力的功。 机械能守恒定律及其应用机械能守恒定律及其应用 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用 动量定理、动量矩定理与动能定理统称为动力学普遍动量定理、动量矩定理与动能定理统称为动力学普遍定理。动力学的三个定理包括了矢量方法和能量方法。定理。动力学的三个定理包括了矢量方法和能量方法。 动量定理给出了质点系动量的变化与外力主矢之间动量定理给出了质点系动量的变化与外力主矢

29、之间的关系，可以用于求解质心运动或某些外力。的关系，可以用于求解质心运动或某些外力。 动量矩定理描述了质点系动量矩的变化与外力主矩之动量矩定理描述了质点系动量矩的变化与外力主矩之间的关系，可以用于具有转动特性的质点系，求解角加速间的关系，可以用于具有转动特性的质点系，求解角加速度等运动量和外力。度等运动量和外力。 动能定理建立了作功的力与质点系动能变化之间的关动能定理建立了作功的力与质点系动能变化之间的关系，可用于复杂的质点系、刚体系求运动。应用动量定理系，可用于复杂的质点系、刚体系求运动。应用动量定理和动量矩定理的优点是不必考虑系统的内力；应用动能定和动量矩定理的优点是不必考虑系统的内力；应

30、用动能定理的好处是理想约束力所作之功为零，因而不必考虑。理的好处是理想约束力所作之功为零，因而不必考虑。 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用 均质圆轮均质圆轮A、B的质量均为的质量均为m，半径均为，半径均为R，轮，轮A沿斜面作纯沿斜面作纯滚动，轮滚动，轮B作定轴转动，作定轴转动，B处摩处摩擦不计。物块擦不计。物块C的质量也为的质量也为m。A、B、C用无质量绳相联，绳用无质量绳相联，绳相对相对B轮无滑动。系统初始为轮无滑动。系统初始为静止状态。静止状态。试求：试求： 1轮轮A、轮轮B之间的绳子拉力和之间的绳子拉力和B处的约束力；处的约束力； 2轮轮A与地面的接触点处的摩擦力。与地面

31、的接触点处的摩擦力。 BCRaCBaR 取轮取轮B和物块和物块C为研究对象，分析受力，对点为研究对象，分析受力，对点B应应用动量矩定理，有用动量矩定理，有 Td()dBBCCCJm v Rm gRF RtB解：解： 1 1确定绳子拉力确定绳子拉力 本例条件本例条件与前例相同。在前例中已经求得与前例相同。在前例中已经求得6gaaACTBCJmR amgRF RR由此解得：由此解得：T23324BCCJFmgm amgmamgR 解：解： 2确定确定B处的约束力处的约束力对图示系统应用质心运动定理，有对图示系统应用质心运动定理，有 TTcos30cos60BBxCCxBxBByCCyByBCm a

32、m aFFm am aFFm gm gTT302122BxCByFFmaFFmg由此解得由此解得B处的约束力处的约束力mgmgmgmgFmgmgFBxBx245324321618334323BmgFgaaTAc43,6: 其中其中解：解： 3确定确定A轮与斜面之间的摩擦力轮与斜面之间的摩擦力 取轮取轮A为研究对象，分析受力，应用为研究对象，分析受力，应用相对质心的动量矩定理，得到相对质心的动量矩定理，得到AAJFR注意到注意到 ACARaa于是，得到摩擦力于是，得到摩擦力 211122612AAAamRJgRFmmgRR 本例中几乎应用了三个定理的所有主要形式。可以发现，本例中几乎应用了三个定

33、理的所有主要形式。可以发现，每种问题的解法都并不是惟一的。对于具体问题，必须进行每种问题的解法都并不是惟一的。对于具体问题，必须进行具体分析，没有统一的方法可循。具体分析，没有统一的方法可循。 例例 题题均质杆长为均质杆长为l，质量为，质量为m1，B 端端靠在光滑墙上，靠在光滑墙上，A 端用铰链与均质圆端用铰链与均质圆盘的质心相连。圆盘质量为盘的质心相连。圆盘质量为m2 ，半径，半径为为R，放在粗糙的地面上，自图示放在粗糙的地面上，自图示=45时由静止开始纯滚动。时由静止开始纯滚动。试求试求: A点在初瞬时的加速度。点在初瞬时的加速度。 此题解法机械能守恒定律求解此题解法机械能守恒定律求解 1

34、2CABC杆的速度瞬心；圆盘的速度瞬心。12222222121122111 11 3222 32 2CCTJJmlm R 注意到杆和圆盘质心到各自的速度瞬心的距离恒定注意到杆和圆盘质心到各自的速度瞬心的距离恒定(分分别为别为l/2，R），则构件对瞬心的转动惯量为常数。），则构件对瞬心的转动惯量为常数。动能为动能为 212121131)21(121lmlmlmJC 22222222321RmRmRmJC 12222222121122111 11 3222 32 2CCTJJmlm R设轮心设轮心A的速度为的速度为vA，则有，则有 sin12lRvA2221)43sin6(AvmmT取经过轮心取经

35、过轮心A的水平线为零势位置，系统的势能为的水平线为零势位置，系统的势能为 sin21lgmV零势点零势点m2gm1g根据机械能守恒定律，有根据机械能守恒定律，有 CVT212123sin6sin42Ammlvm gC212123sin6sin42Ammlvm gC将上式对时间求一次导数将上式对时间求一次导数 零势零势点点m1gm2gsindd1lvtA450,Av121231322Ammam g于是，点于是，点A在初瞬时的加速度为在初瞬时的加速度为 211943mmgmaA注意到注意到 代入上式代入上式,消去消去vA，初瞬时，初瞬时 0cos2sin3cos)23sin3(1231221 dt

36、dlgmvdtdmavmmAAATSINGHUA UNIVERSITY 结论与讨论结论与讨论第第10章章 动能定理及其应用动能定理及其应用 TSINGHUA UNIVERSITY根据动能定理的微分形式，可以得到根据动能定理的微分形式，可以得到其中其中N N 为功率。功率由下式计算为功率。功率由下式计算 作用在转动刚体上力的功率为作用在转动刚体上力的功率为 NtdWtdTd vFtddtdWNt rF zzMtddMtdWN 动能定理在工程中的应用功率方程动能定理在工程中的应用功率方程 工程上工程上, ,机器的功率可分为三部分，即：输入功率、输出机器的功率可分为三部分，即：输入功率、输出功率、损

37、耗功率。其中输出功率是对外作功的有用功率；而功率、损耗功率。其中输出功率是对外作功的有用功率；而损耗功率是摩擦、热能损耗等不可避免的无用功率。损耗功率是摩擦、热能损耗等不可避免的无用功率。损损耗耗输输出出输输入入NNNtdTd 损耗损耗输出输出输入输入NNtdTdN 任何机器在工作时都需要从外界输入功率，同时也不任何机器在工作时都需要从外界输入功率，同时也不可避免的要消耗一些功率，消耗越少则机器性能越好。工可避免的要消耗一些功率，消耗越少则机器性能越好。工程上，定义机械效率为程上，定义机械效率为 这是衡量机器性能的指标之一。若机器有多级（假设为这是衡量机器性能的指标之一。若机器有多级（假设为n

38、级）传动，机械效率为级）传动，机械效率为 12n 1100100 %NtdTdN%NN输输入入有有用用输输入入有有用用 均质杆均质杆AB重力重力W，A、B处均为光处均为光滑面约束，杆在铅垂位置时，无初速滑面约束，杆在铅垂位置时，无初速下滑。下滑。求求: 图示位置时图示位置时A、B二处的约束力。二处的约束力。 解：为了确定约束力，可以采用解：为了确定约束力，可以采用质心运动定理。质心运动定理。 CxN ACyN BWaFgWaFWg 方程简洁明了，关键是质心加速度如何确定，也方程简洁明了，关键是质心加速度如何确定，也就是如何建立相关的运动学方程。就是如何建立相关的运动学方程。 由于约束力由于约束

39、力FNA、FNB的的作用线均通过杆的速度瞬心作用线均通过杆的速度瞬心，所以，可以采用相对瞬心，所以，可以采用相对瞬心的动量矩定理，很容易确定的动量矩定理，很容易确定杆的杆的角加速度角加速度 ，将，将 看成变看成变 量，对量，对 积分可求得积分可求得角速度角速度 。 C*)sin(sin30 lg cos23lg在动量矩定理一章的例题中得到，角速度和角加速度在动量矩定理一章的例题中得到，角速度和角加速度分别为：分别为： RaRan,2法向、切向加速度：法向、切向加速度：杆端杆端A和和B的加速度方向已知，故分别的加速度方向已知，故分别取其为基点，可得：取其为基点，可得： ntCAaaaaCACAn

40、tCaaaaBCBCB注意到注意到aA方向铅垂向下，方向铅垂向下，aB方向水平方向水平向右，将上式分别向向右，将上式分别向x、y 方向投影方向投影ntntcossinsincosCxCACACyCBCBaaaaaa 加速度一旦确定，其余问题便迎刃而解。加速度一旦确定，其余问题便迎刃而解。以以 A为基点为基点以以 B为基点为基点 RaRan,2TSINGHUA UNIVERSITY确定速度和角速度的方法确定速度和角速度的方法 点的运动学分析方法点的运动学分析方法 选择合适的描述点选择合适的描述点的运动坐标系，写出的运动方程或方程组，再将方的运动坐标系，写出的运动方程或方程组，再将方程或方程组对时

41、间求一次导数，即得点的速度。程或方程组对时间求一次导数，即得点的速度。 点的复合运动分析方法点的复合运动分析方法 正确选择动点正确选择动点和动系，确定牵连速度、相对速度和绝对速度。和动系，确定牵连速度、相对速度和绝对速度。 刚体平面运动分析方法刚体平面运动分析方法 建立在速度合成定建立在速度合成定理基础上的基点法、速度投影法、瞬时速度中心法理基础上的基点法、速度投影法、瞬时速度中心法。 运动学方程的重要性运动学方程的重要性 动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理和动能定理的比较 动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述质点系整动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述质点系整体运动

42、的变化与质点系所受的作用力之间的关系。体运动的变化与质点系所受的作用力之间的关系。整体运动的变化整体运动的变化所受的作用力所受的作用力动动 量量 定定 理理动动 能能 定定 理理动量矩定理动量矩定理动动 量量力力( (冲量冲量) )动量矩动量矩力力 矩矩动动 能能力力 的的 功功 动量定理、动量矩定理和动能定理都可以用于求动量定理、动量矩定理和动能定理都可以用于求解动力学的两类基本问题。解动力学的两类基本问题。 关于几个动力学定理的综合应用关于几个动力学定理的综合应用TSINGHUA UNIVERSITY 动量定理、动量矩定理一般限于研究物体机动量定理、动量矩定理一般限于研究物体机械运动范围内

43、的运动变化问题。械运动范围内的运动变化问题。 动能定理可以用于研究机械运动与其他运动动能定理可以用于研究机械运动与其他运动形式之间的运动转化问题。形式之间的运动转化问题。动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理和动能定理的比较 动量定理、动量矩定理的表达式中含有时间动量定理、动量矩定理的表达式中含有时间参数。参数。 动能定理的表达式中含有路程参数。动能定理的表达式中含有路程参数。 关于几个动力学定理的综合应用关于几个动力学定理的综合应用 动量定理、动量矩定理的表达式为动量定理、动量矩定理的表达式为矢量形式矢量形式，描述，描述质点系整体运动时，不仅涉及有关运动量的大小，而且质点系

44、整体运动时，不仅涉及有关运动量的大小，而且涉及运动量的方向。涉及运动量的方向。 动能定理的表达式为动能定理的表达式为标量形式标量形式，描述质点系整体，描述质点系整体运动时，不涉及运动量的方向，无论质点系如何运动运动时，不涉及运动量的方向，无论质点系如何运动，动能定理只能提供一个方程，动能定理只能提供一个方程 。动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理和动能定理的比较 动量定理、动量矩定理的表达式中只包含外力，动量定理、动量矩定理的表达式中只包含外力，而不包含内力而不包含内力( (内力的主矢和主矩均为零内力的主矢和主矩均为零) ) 动能定理的表达式中可以包含主动力和约束力，主动能

45、定理的表达式中可以包含主动力和约束力，主动力中可以是外力，也可以是内力动力中可以是外力，也可以是内力( (可变质点系可变质点系) ) ；对；对于理想约束，则只包含主动力。于理想约束，则只包含主动力。 分析和解决复杂系统的动力学问题时，选择哪分析和解决复杂系统的动力学问题时，选择哪一个定理的原则是：一个定理的原则是：动量定理、动量矩定理和动能定理的应用选择动量定理、动量矩定理和动能定理的应用选择 1. 所要求的运动量在所选择的定理中能不能比较容易所要求的运动量在所选择的定理中能不能比较容易地表达出来；地表达出来； 2. 在所选择的定理表达式中，不出现相关的未知力。在所选择的定理表达式中，不出现相

46、关的未知力。 对于由多个刚体组成的复杂系统，求解动力学问对于由多个刚体组成的复杂系统，求解动力学问题时，如果选用动量定理或动量矩定理，需要将系统拆开题时，如果选用动量定理或动量矩定理，需要将系统拆开，不仅涉及的方程数目比较多，而且会涉及求解联立方程，不仅涉及的方程数目比较多，而且会涉及求解联立方程。 如果选用动能定理，对于受理想约束的系统，可以不如果选用动能定理，对于受理想约束的系统，可以不必将系统拆开，而直接对系统整体应用动能定理，建立一必将系统拆开，而直接对系统整体应用动能定理，建立一个标量方程，求得速度或加速度个标量方程，求得速度或加速度(角速度或角加速度角速度或角加速度)。TSINGHUA UNIVERSITY返回返回 已知滑块已知滑块A的质量为的质量为 m1，质点，质点B的质量为的质量为m2 , AB杆的长度杆的长度为为 l、不计质量，可以绕、不计质量，可以绕 A点转动，滑块的速度为点转动，滑块的速度为vA。求：系统的动能，并用广义坐标表示。求：系统的动能，并用广义坐标表示。Am1Oxm2BlvA解：解：1. 广义坐标广义坐标 滑块作水平直线运动；质滑块作水平直线运动；质点点B作平面运动。系统具有作平面运动。系统具有2个自由度。广义坐标选择个自由度。广义坐标选择为为x和和 。x解：解：2. 运动