3-2-6变速问题_题库教师版最新（精华版）

1、变速问题教学目标1， 能够利用以前学习的学问理清变速变道问题的关键点2， 能够利用线段图，算术，方程方法解决变速变道等综合行程题；3， 变速变道问题的关键是如何处理“变”学问精讲3-2-6.变速问题 . 题库page 5 of 15老师版|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例，分步，分段处理等多种处理问题等解题方法；对于这种分段变速问题，利用算术方法，折线图法和方程方法解题各有特点；算术方法对于运动过程的把握特别细致，但必需一步一步来；折线图就显得特别直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得特别认真，只需要知道变速点

2、就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了运算行程问题常用的解题方法有 公式法即依据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简洁，其实也有许多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式特别熟识，可以推知需要的条件； 图示法在一些复杂的行程问题中， 为了明确过程， 常用示意图作为帮助工具 示意图包括线段图和折线图图示法即画出行程的大致过程，重点在折返，相遇，追及的地点另外在多次相遇，追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法； 比例法行程问题中有许多比例关系，在只知道和差，比例时，用比例法可求得详细数值更重要的是，在一些较复杂的题目

3、中，有些条件(如路程，速度，时间等)往往是不确定的，在没有详细数值的情形下，只能用比例解题； 分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段， 在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来； 方程法在关系复杂，条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程经常可以顺当求解模块一，变速问题【例 1】 小红和小强同时从家里动身相向而行；小红每分走 52 米，小强每分走70 米，二人在途中的a 处相遇；如小红提前4 分动身，且速度不变，小强每分走90 米，就两人仍在a处相遇；小红和小强两人

4、的家相距多少米？【解析】 由于小红的速度不变，相遇的地点不变， 所以小红两次从动身到相遇行走的时间不变，也就是说，小强其次次走的时间比第一次少4 分钟；（70×4） ÷（ 90-70）=14 分钟 可知小强其次次走了14分钟，他第一次走了14 4=18 分钟； 两人家的距离： （52+70 ）×18=2196（米） 【例 2】 甲，乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去；相遇后甲比原先速度增加2 米秒，乙比原先速度削减2 米秒，结果都用24 秒同时回到原地；求甲原先的速度；【解析】 由于相遇前后甲，乙的速度和没有转变，假如相遇

5、后两人和跑一圈用24 秒，就相遇前两人和跑一圈也用 24 秒；以甲为讨论对象，甲以原速v跑了 24 秒的路程与以（ v +2）跑了 24 秒的路程之和等于400 米， 24v +24 （ v +2）=400 易得 v =7 1 米/秒3|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.【例 3】 (2021 年日本学校算术奥林匹克大赛 )上午 8 点整，甲从 a 地动身匀速去 b 地，8 点 20 分甲与从 b 地动身匀速去 a 地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原先的 3 倍，乙速度不变； 8 点 30 分,甲， 乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从 b 地动身时是 8 点 分【解析】 8

6、 点 20 分相遇，此时甲距离 a 地的距离是甲走了 20 分钟的路程， 8 点 30 分时乙到达目的地，说明乙走这段路程花了 10 分钟，所以乙的速度是甲速度的两倍，当甲把速度提高到原速的 3 倍时， 此时甲的速度是乙速度的 1.5 倍，甲从相遇点走到 b 点花了 10 分钟，因此乙原先花了 10 1.5 15（分钟），所以乙是 8 点 5 分动身的【例 4】 （难度等级） a ， b 两地相距 7200 米，甲，乙分别从a ， b两地同时动身，结果在距 b 地 2400 米处相遇假如乙的速度提高到原先的3 倍，那么两人可提前10 分钟相遇， 就甲的速度是每分钟行多少米？【解析】 第一种情形

7、中相遇时乙走了2400 米，依据时间肯定，速度比等于路程之比，最初甲，乙的速度比为 (7200 2400) : 2400 =2 :1 ，所以第一情形中相遇时甲走了全程的2/3乙的速度提高3 倍后，两人速度比为2 : 3，依据时间肯定，路程比等于速度之比，所以其次种情形中相遇时甲走了全程的33 两种情形相比， 甲的速度没有变化， 只是其次种情形比第一种情形少走10 分325钟，所以甲的速度为6000( 33 )915058(米/分)【例 5】 （难度等级）甲，乙两车分别从a ， b 两地同时动身相向而行，6 小时后相遇在c 点假如甲车速度不变， 乙车每小时多行5 千米， 且两车仍从a， b 两地

8、同时动身相向而行， 就相遇地点距c 点 12 千米；假如乙车速度不变，甲车速度每小时多行5 千米，就相遇地点距 c 点 16 千米甲车原先每小时行多少千米？【解析】 设乙增加速度后，两车在d 处相遇，所用时间为t 小时；甲增加速度后，两车在e 处相遇；由于这两种情形，两车的速度和相同，所以所用时间也相同；于是，甲，乙不增加速度时，经t 小时分别到达d，e；de 1216 28（千米）；由于甲或乙增加速度每小时5 千米，两车在 d或 e 相遇，所以用每小时5 千米的速度， t小时 走过 28 千米，从而 t 28÷5 285小时 ,甲用 6 28 2 （小时），走过 12 千米，所以甲

9、原先每小时行12230（千米）÷ 555【巩固】 （难度等级 ） 甲，乙二人分别从a ，b 两地同时动身相向而行，5 小时后相遇在c点；假如甲速度不变，乙每小时多行4 千米，且甲，乙仍从a ，b 两地同时动身相向而行，就相遇点 d距 c点 lo 千米；假如乙速度不变，甲每小时多行3 千米，且甲，乙仍从a ，b 两地同时动身相向而行，就相遇点e 距 c 点 5 千米；问：甲原先的速度是每小时多少千米？【解析】 当乙每小时多行4 千米时， 5 小时可以多行20 千米，所以当两人相遇后连续向前走到5 小时， 甲可以走到c 点，乙可以走到c 点前面 20 千米；而相遇点d距 c 点 lo千米

10、，因此两人 各走了10 千米，所以甲乙二人此时速度相等，即原先甲比乙每小时多行4 千米；同理可得，甲每小时多行3 千米时，乙走5 千米的时间甲可以走10 千米，即甲的速度是乙的2 倍；(4+3) ÷(2-1)+4=11( 千米/ 小时)，所以甲原先的速度是每小时11 千米；|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.【例 6】 a ， b 两地间有一座桥(桥的长度忽视不计 )，甲，乙二人分别从两地同时动身，3 小时后在桥上相遇假如甲加快速度，每小时多走2 千米，而乙提前0.5 小时动身，就仍能恰在桥上相遇假如甲推迟0.5 小时动身，乙每小时少走2 千米，仍会在桥上相遇就a

11、， b 两地相距多少千米？【解析】 由于每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情形中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次走的路程也是一样的在其次种情形中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间仍是3 小时，他提前了 0.5 小时，那么甲到桥上的时间是3 -0.5 =2.5 小时甲每小时多走2 千米， 2.5 小时就多走 2 ×2.5= 5 千米，这 5 千米就是甲原先3- 2.5 =0.5 小时走的，所以甲的速度是5 ÷0.5= 10 千米/ 时在第三种情形中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间仍是3 小时，他推迟了0.5 小时，那么乙到桥上的时间是3 0.5 =3.5 小时乙每小时少

12、走2 千米， 3.5 小时就少走 2 ×3.5 =7 千米，这 7 千米就是甲原先3.5 3= 0.5 小时走的，所以乙的速度就是7 ÷0.5 =14 千米 /时所以 a ， b 两地的距离为（ 10 14） ×3 =72 千米【例 7】 一列火车动身 1 小时后因故停车 0.5 小时， 然后以原速的 3/4 前进， 最终到达目的地晚 1.5 小时 如动身 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时， 然后同样以原速的 3/4 前进， 就到达目的地仅晚 1 小时，那么整个路程为多少公里？【解析】 动身 1 小时后因故停车0.5 小时，然后以原速的34前进

13、，最终到达目的地晚1.5 小时，所以后面以原速的3 前进的时间比原定时间多用1.50.51小时，而速度为原先的3，所用时间为原来的 434，所以后面的一段路程原定时间为1( 4341)3 小时， 原定全程为4 小时； 动身 1 小时后又前进 90 公里再因故停车0.5 小时， 然后同样以原速的34前进， 就到达目的地仅晚1 小时，类似分析可知又前进90 公里后的那段路程原定时间为(10.5)( 431)1.5 小时所以原速度行驶 90 公里需要 1.5 小时，而原定全程为4 小时，所以整个路程为901.54240 公里【例 8】 王叔叔开车从北京到上海，从开头动身， 车速即比原方案的速度提高了

14、1/9，结果提前一个半小时到达；返回时，按原方案的速度行驶280 千米后，将车速提高1/6，于是提前 1 小时 40 分到达北京北京，上海两市间的路程是多少千米？【解析】 从开头动身，车速即比原方案的速度提高了1/9，即车速为原方案的10/9，就所用时间为原方案 的 1÷10/9=9/10 ，即比原方案少用1/10 的时间，所以一个半小时等于原方案时间的1/10，原方案时间为： 1.5 ÷1/10=15( 小时)；按原方案的速度行驶280 千米后，将车速提高1/6，即此后车速为原先的 7/6，就此后所用时间为原方案的1÷7/6=6/7 ，即此后比原方案少用1/7

15、的时间，所以1 小时 40 分等于按原方案的速度行驶280 千米后余下时间的1/7，就按原方案的速度行驶280 千米后余下的时间为： 5/3 ÷1/7=35/3( 小时)，所以，原方案的速度为：84(千米 /时)，北京，上海两市间的路程为： 84 ×15= 1260( 千米 )【例 9】 上午 8 点整，甲从 a地动身匀速去b 地， 8 点 20 分甲与从 b 地动身匀速去a 地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原先的3 倍，乙速度不变； 8 点 30 分，甲，乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从b 地动身时是8 点几分【解析】 甲，乙相遇时甲走了20 分钟， 之后甲的速度提高

16、到原先的3 倍，又走了 10 分钟到达目的地，依据路程肯定，时间比等于速度的反比，假如甲没提速，那么后面的路甲需要走10×3= 30 分钟，所以前后两段路程的比为20 : 30 =2 : 3 ，由于甲走 20 分钟的路程乙要走10 分钟，所以甲走 30 分钟的路程乙要走15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已动身了15 分钟，所以乙从b地动身时是 8 点 5 分|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.【例 10】 （难度等级 ）甲，乙两人同时从山脚开头爬山，到达山顶后就立刻下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5 倍，而且甲比乙速度快；两人动身后1 小时，甲与乙在离山

17、顶600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰；那么甲回到动身点共用多少小时？【解析】 甲假如用下山速度上山， 乙到达山顶时， 甲走过的路程应当是一个单程的1×1.5+1/2=2倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的2 倍； 两人相遇时走了1 小时，这时甲仍要走一段下山路， 这段下山路乙上山用了1 小时，所以甲下山要用1/2 小时； 甲一共走了1+1/2=1.5 （小时）【例 11】 小华以每小时 8/3 千米的速度登山，走到途中a 点后，他将速度改为每小时2 千米，在接下来的 1 小时中，他走到山顶，又立刻下山，并走到a 点上方500 米的地方假如他下山的速度是每小时 4 千米，

18、下山比上山少用了52.5 分钟那么，他来回共走了多少千米？【解析】 11 千米【例 12】 （难度等级 ）甲，乙两车从a ， b 两地同时动身相向而行，5 小时相遇；假如乙车提前 1 小时动身， 就差 13 千米到中点时与甲车相遇， 假如甲车提前1 小时动身， 就过中点 37 千米后与乙车相遇，那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时？【解析】 第一次行程甲，乙两车同时动身，所以两车走的时间相同；其次次乙车提前1 小时动身，所以这次乙车比甲车多走了1 小时；第三次甲车提前1 小时动身， 所以这次甲车比乙车多走了1 小时那么假如把其次次和第三次这两次行程相加，那么甲车和乙车所走的时间就相同了，而

19、所走的路程为 2 个全程由于两人合走一个全程要5 小时，所以合走两个全程要10 小时由于第二次在乙车在差13 千米到中点与甲车相遇，所以此次甲车走了全程的一半加上13 千米；第三次在过中点37 千米后与乙车相遇，所以此次甲车走了全程的一半加上37 千米；这两次合起来甲车走了一个全程加上13 37 =50 千米，所以乙车走了一个全程少50 千米，甲车比乙车多走50×2 =100 千米而这是在10 小时内完成的，所以甲车与乙车的速度差为100÷10 =10 千米 /时【例 13】 甲，乙两名运动员在周长400 米的环形跑道上进行10000 米长跑竞赛，两人从同一起跑线同时起跑，

20、甲每分钟跑400 米，乙每分钟跑360 米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙3-2-6.变速问题 . 题库page 12 of 15老师版的速度比原先快 14两人谁先到达终点？，甲每分钟比原先多跑18 米，并且都以这样的速度保持到终点问：甲，乙【解析】 从 起跑到甲比乙领先一圈，所经过的时间为40040036010 (分钟 )甲到达终点仍需要跑1000040010400181000036010360114 74209(分钟)，乙仍需要跑114 2 ( 分钟)，由于 274，所以乙先到达终点499209|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.【例 14】 环形场地的周长为

21、1800 米，甲，乙两人同时从同一地点动身相背而行(甲速大于乙速 )， 12分钟后相遇假如每人每分钟多走25 米，就相遇点与前次相差33 米，求原先二人的速度【解析】 甲，乙原先的速度和为： 180012150 (米/分)，假如每人每分钟多走25 米，现在的速度之和为：150252200 (米/分)，现在相遇需要的时间为：18002009 (分钟)题目中说相遇点与前次相差 33 米，但并不知道两者的位置关系，所以需要先确定两次相遇点的位置关系由于以原先的速度走一圈，甲比乙多走的路程为每分钟甲比乙多走的路程12 ；提速后走一圈，甲比乙多走的路程为每分钟甲比乙多走的路程9 ；故提速后走一圈与以原先

22、速度走一圈相比，甲比乙多走的路程少了，而二人所走的路程的和相等，所以提速后甲走的路程比以原速度走的路程少，其差即为两次相遇点的距离33 米所以现在问题转化为：甲以原速度走12 分钟走到某一处，现在甲以比原速度提高25 米/ 分的速度走 9 分钟，走到距离前一处仍有33 米的地方， 求甲的速度 所以， 甲原先的速度为：(33259)(129)86 (米/分)，乙原先的速度为： 1508664 (米/分)【例 15】 王刚骑自行车从家到学校去，平常只用20 分钟；因途中有 2 千米正在修路，只好推车步行，步行速度只有骑车速度的1 ，结果这天用了 36 分钟才到学校；从王刚家到学校有多少千米？3【解

23、析】 途中有 2 千米在修路， 导致了王刚上学时间比平常多用 36 20 16 分钟， 由于在别的路段上仍是骑车，所以多用的时间都是耗费在修路的2 千米上由于步行速度是汽车速度的1 ，所以步行23千米所用的时间是骑车2 千米所用时间的 3 倍，多用了2 倍，这个多出来的时间就是16 分钟，所以骑车 2 千米需要 1628 分钟由于 8 分钟可以骑2 千米，而王刚平常骑车20 分钟可以到学校，所以王刚家与学校的距离为2(208)5 千米【例 16】 甲，乙两车分别从 a ， b 两地同时动身，相向而行动身时，甲，乙的速度之比是 5: 4 ，相遇后甲的速度削减 20% ，乙的速度增加 20% 这样

24、当甲到达 b 地时， 乙离开 a 地仍有 10 千米 那么 a ， b 两地相距多少千米？【解析】 出 发 时 ， 两 车 的 速 度 之 比 为 5: 4 ， 所 以 相 遇 以 后 两 辆 车 的 速 度 之 比 为5120% : 4120%5: 6 ，而相遇前甲，乙两车的行程路程之比为5: 4 ，所以相遇后两辆车仍需要行驶的路程之比为4 : 5 ，所以甲仍需要行驶全部路程的49，当甲行驶这段路程的同时，乙行驶了全程的4568，距离 a 地仍有 14811，所以 a ， b 两地相距 10450千米9159154545【例 17】 甲，乙来回于相距 1000 米的 a ， b 两地甲先从

25、a 地动身， 6 分钟后乙也从 a 地动身，并在距a 地 600 米的 c 地追上甲乙到 b 地后立刻原速向 a 地返回，甲到 b 地休息 1分钟后加快速度向 a 地返回，并在 c 地追上乙问：甲比乙提前多少分钟回到 a 地？【解析】 由于甲比乙早动身 6 分钟，乙在走了 600 米时追上甲，可见乙走 600 米比甲要少用 6 分钟，那么对于剩下的 400 米，乙比甲要少用40064 (分钟 )，也就是说乙比甲早4 分钟到达 b 地那么600乙从 b 地动身比甲早 415 (分钟 )，走到 c 地被甲追上，相当于甲走400 米比乙少用5 分钟，那么对于剩下的600 米，甲比乙要少用60057.

26、5 (分钟 )所以甲比乙提前 7.5 分钟回到 a 地400|精.|品.【例 18】 一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车到达乙地后立刻返回，返回时速度提高50% ；动身 2 小时后， 小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到达乙地时， 小轿车刚好走到甲，乙两地的中点；小轿车在甲，乙两地来回一次需要多少时间？【解析】 此题的关键是分析清晰题目中所提到的小轿车返回时速度提高50% 所带来的变化， 所以可以先假设小轿车返回时速度不发生变化会是什么样，然后再进行对比分析假如小轿车返回时速度不提11|可.|编.|辑.|学.|习.高，那么大货车到达乙地时，小轿车又走了甲，乙两地距离的(150%)

27、23，所以，从甲地到|资.|料.乙地小轿车与大货车的速度比为：(11) :14 : 3 ，小轿车到达乙地时，大货车走了全程的3 ，34仍差 14小轿车从乙地返回甲地时，与大货车的速度比为4(150%) :32:1 ，小轿车从乙地返回到与大货车相遇时，大货车又走了全程的11141212，即相遇时大货车共走了全程的315，那么大货车从甲地到乙地需要51212392小时，小轿车从甲地到乙地需要小412665545时，小轿车来回一次需要99(150%)3 小时55【例 19】 甲，乙两地间平路占1 ，由甲地去往乙地，上山路千米数是下山路千米数的2，一辆汽车从甲53地到乙地共行了10 小时， 已知这辆车

28、行上山路的速度比平路慢20% ，行下山路的速度比平路快20% ，照这样运算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？【解析】 依据题意，可以把甲，乙两地之间的距离看作25，这样两地间的平路为5，从甲地去往乙地，上山路为 202238 ，下山路为 2032312 ；再假设这辆车在平路上的速度为5，就上山时的速度为 4，下山时的速度为 6，于是，由甲地去乙地所用的总时间为：84551265 ；从乙地回到甲地时，汽车上山，下山的速度不变，但是原先的上山路变成了此时的下山路，原先的下山路变成了此时的上山路，所以回来时所用的总时间为：12455865 1 由于从甲3地到乙地共行了10 小时，所以从乙地回来时需要

29、1055110 2小时33【例 20】 甲，乙二人在同一条圆形跑道上作特别训练：他们同时从同一地动身，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达动身点后立刻回头加速跑其次圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的23甲跑其次圈的速度比第一圈提高了1 ，乙跑其次圈的速度提高了1 ，已知沿跑道看从甲，乙两人第35二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190 米，问这条跑道长多少米？【解析】 从起跑由于跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的23，所以第一次相遇的地方在距起点253(或者) 5处由于甲的速度比乙快，所以甲先跑完第一圈，甲跑完第一圈时，乙跑了23圈，此时乙距动身点仍有 1 圈，依据题意， 此时甲要回头加速跑，

30、即此时甲与乙方向相同，速度为乙的3112233倍所以乙跑完剩下的1 圈时甲又跑了 2 圈，此时甲距动身点仍有1 圈，而乙又要回头跑，所以3此时两人相向而行，速度比为311:21135 : 3 ，所以两人其次次相遇点距离动身点|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.1313538，两次相遇点间隔3352121，留意到 15840211921404040，所以最短距离为19 圈，所40以跑道长1901940400 米【例 21】 甲，乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去相遇后甲比原先速度增加 4 米秒，乙比原先速度削减4 米秒，结果都用25 秒

31、同时回到原地求甲原先的速度【解析】 由于相遇前后甲，乙的速度和没有转变，假如相遇后两人合跑一圈用25 秒，就相遇前两人合跑一圈也用 25 秒( 法 1)甲以原速 v甲 跑了 25 秒的路程与以v甲4的速度跑了25 秒的路程之和等于400 米，25v甲25 v甲4400 ，解得 v甲6 米/秒( 法 2) 由跑同样一段路程所用的时间一样，得到v甲4v乙 ，即二者速度差为4；而二者速度和为vv40016 ，这是个典型的和差问题可得v为： 16426 米/秒甲乙甲25【巩固】从a 村到 b 村必需经过 c 村，其中 a 村至 c 村为上坡路，c 村至 b 村为下坡路， a 村至 b 村的总路程为 2

32、0 千米某人骑自行车从a 村到 b 村用了 2 小时，再从 b 村返回 a 村又用了 1小时 45 分 已知自行车上， 下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2 倍求 a ，c 之间的路程及自行车上坡时的速度【解析】 设 a ，c 之间的路程为x 千米， 自行车上坡速度为每小时y 千米， 就 c ，b 之间的路程为 (20x)千米，自行车下坡速度为每小时2 y 千米依题意得：x20x2y2 y20xx13 y2 y4，两式相加，得：202021 3 ，解得 y8 ；代入得 x12 故 a ， c 之间的路程为 12 千米，自行车上坡时的y2 y4速度为每小时 8 千米【例 2

33、2】 （ 2021 年“奥数网杯 ”六年级）欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里早晨7: 40 ，欢欢从家动身骑车去学校，7: 46 追上了始终匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的 通知，欢欢立刻调头，并将速度提高到原先的2 倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢8:00 赶到学校时，贝贝也恰好到学校假如欢欢在家换校服用去6 分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里动身时是点分【解析】 欢欢从动身到追上贝贝用了6 分钟，那么她调头后速度提高到原先的2 倍，回到家所用的时间为3 分钟，换衣服用时6 分钟，所以她再从家里动身到到达学校用了206365 分钟，故她以原速度到达学校需要10 分钟，

34、最开头她追上贝贝用了6 分钟，仍剩下 4 分钟的路程，而这4 分钟的路程贝贝走了14 分钟， 所以欢欢的6 分钟路程贝贝要走 146421分钟， 也就是说欢欢|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.追上贝贝时贝贝已走了 21 分钟，所以贝贝是 7 点 25 分动身的【例 23】 甲，乙两人都要从 a 地到 b 地去，甲骑自行车，乙步行，速度为每分钟 60 米乙比甲早动身20 分钟，甲在距 a 地 1920 米的 c 处追上乙，两人连续向前，甲发觉自己忘带东西，于是将速度提高到原先的 1.5 倍，立刻返回 a 地去取，并在距离 c 处 720 米的 d 处遇上乙 甲到达 a 地后在

35、 a 地停留了 5 分钟，再以停留前的速度骑往 b 地，结果甲，乙两人同时到达 b 地 a ， b 两地之间的距离是米【解析】 乙 从 a 地到 c 处所用时间为 1920 60 32 分钟，甲用的时间为 32 20 12 分钟，甲的速度为1920 12 160 米/分钟，速度提高后为 160 1.5 240 米/分钟甲从 d 处回到 a 地并停留 5 分钟， 共 用 时 间 1920 720 240 5 16 分 钟 ， 此 时 乙 又 走 了 60 16 960 米 ， 两 人 的 距 离 为1920 720 960 3600 米，此时相当于追及问题， 追准时间为 3600 240 60

36、20 分钟，所以 a ，b 两地之间的距离为 240 20 4800 米【例 24】 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路小芳上学走这两条路所用的时间一样多已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？【解析】 设小芳上学路上所用时间为2 ，那么走一半平路所需时间是1 由于下坡路与一半平路的长度相同，依据路程肯定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是11.65，因此，走上坡路需8要的时间是 2513 ，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为1:1 38:11 ，888所以，上坡速度是平路速度的8 倍11【例 25】 （

37、 2003 年“祖冲之杯 ”学校数学邀请赛）某校在400 米环形跑道上进行1 万米竞赛，甲，乙两名运动员同时起跑后，乙的速度始终保持不变，开头时甲比乙慢，在第15 分钟时甲加快速度，并保持这个速度不变，在第18 分钟时甲追上乙并且开头超过乙；在第23 分钟时甲再次追上乙，而在 23 分 50 秒时甲到达终点；那么，乙跑完全程所用的时间是多少分钟？【解析】 此题中乙的速度始终保持不变，甲就有提速的情形，但是甲提速后速度就保持不变，所以可以从甲提速后的情形着手进行考虑依据题意可知，甲加速后，每过23185 （分钟）比乙多跑一圈，即每分钟比乙多跑400580 （米）由于第 18 分钟时甲，乙处于同一

38、位置，就在23 分 50秒 时 甲 到 达 终 点时 ， 乙 距 终 点 的距 离 就 是 此 时 甲 ， 乙 之 间 的 距 离 ， 即 乙 距 离 终 点 仍有8023 50181400 （米），即乙在 23 分 50 秒内跑了100001400米，由于乙的速度始终保6033持不变，所以乙每分钟跑10000140023 50400 （米）所以，乙跑完全程需要1000040025 （分钟）360|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.【例 26】 （ 2003 年迎春杯）甲，乙两人同时同地同向动身，沿环形跑道匀速跑步假如动身时乙的速度是甲的 2.5 倍，当乙第一次追上甲时，甲的

39、速度立刻提高25% ，而乙的速度立刻削减20% ，并且乙第一次追上甲的地点与其次次追上甲的地点相距100 米，那么这条环形跑道的周长是米acb【解析】 如图，设跑道周长为1，动身时甲速为 2，就乙速为 5假设甲，乙从a 点同时动身，按逆时针方向 跑 由 于出 发 时两 者的 速度比 为 2 : 5 ， 乙 追上 甲要 比 甲多 跑 1圈， 所以 此 时 甲跑了1(52)22 ，乙跑了 5 ；此时双方速度发生变化，甲的速度变为2(125%)2.5 ，乙的速33度变为 5(120%)4 ，此时两者的速度比为2.5: 45:8 ；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑1圈，就此次甲跑了1(85)55 ，这个

40、 5 就是甲从第一次相遇点跑到其次次相遇点的路程从33环形跑道上来看，第一次相遇点跑到其次次相遇点之间的距离，既可能是512个周长，又可能是 23351 个周长33那么，这条环形跑道的周长可能为1002 31150 米或 1003300 米【例 27】 如下列图， 甲，乙两人从长为 400 米的圆形跑道的 a 点背向动身跑步； 跑道右半部分 (粗线部分） 道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲，乙速度均为每秒8 米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒4 米；两人始终跑下去，问：他们第99 次迎面相遇的地方距a 点仍有米；a【解析】 此题中，由于甲，乙两人在正常道路和泥泞道路上的速

41、度都相同，可以发觉，假如甲，乙各自围着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间也就相同，所以，两人同时动身，跑一圈后同时回到 a 点，即两人在 a 点迎面相遇，然后再从 a点动身背向而行，可以发觉，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期在第一个周期内，两人同时动身背行而行，所以在回到动身点前确定有一次迎面相遇，这是两人第一次迎面相遇，然后回到动身点是其次次迎面相遇；然后再动身，又在同一个相遇点第三次相遇，再回到动身点是第四次相遇 可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是a 点此题要求的是第99 次迎面相遇的地点与a 点的距离，实际上要求的是第

42、一次相遇点与a 点的距离对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从动身到跑完正常道路时，乙才跑了 20084100 米，此时两人相距100 米，且之间全是泥泞道路，此时两人速度相同，所以再各跑50 米可以相遇所以第一次相遇时乙跑了10050150 米，这就是第一次相遇点与 a 点的距离，也是第99 次迎面相遇的地点与a 点的距离|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.【例 28】 （ 2021 年第七届 “走进精妙的数学花园 ”初赛六年级）丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在400 米跑道上进行竞赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑30 米，乐乐的玩具甲虫每分

43、钟跑20 米，但乐乐带了一个神奇遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫以原先速度的10% 倒退 1 分钟，按其次次会使丁丁的玩具甲虫以原先速度的20% 倒退 1 分钟，以此类推，按第n 次，使丁丁的玩具甲虫以原先的速度的 n10% 倒退 1 分钟，然后再按原先的速度连续前进，假如乐乐在竞赛中最终获胜，他最少按次遥控器；【解析】 乐乐的玩具甲虫跑完全程需要4002020 分钟，丁丁的玩具甲虫跑完全程需要4003040 分3钟，乐乐要想取胜，就必需使丁丁的玩具甲虫因倒退所耽搁的总时间超过20402033分钟乐乐第一次按遥控器后，丁丁耽搁的时间为倒退的1 分钟及跑完这 1 分钟倒退路程所花费的时间， 为

44、 110%11.1 分钟； 乐乐其次次按遥控器后，丁丁耽搁的时间为 120%11.2 分钟； 乐乐 第 n 次 按 遥 控 器 后 ， 丁 丁 耽 误 的 时 间 为 1n10%110.1n 分 钟 所 以 相 当 于 要 使1.11.21.3l大于206 2，由于1.11.21.31.41.56.56 2，而331.11.21.31.41.51.68.16 233，所以乐乐要想取胜，至少要按6 次遥控器【例 29】 唐老鸭和米老鼠进行5000 米赛跑 米老鼠的速度是每分钟125 米，唐老鸭的速度是每分钟100米 唐老鸭有一种能使米老鼠停止或减速的遥控器，每次使用都能使米老鼠进入“麻痹 ”状态

45、 1 分钟， 1 分钟后米老鼠就会复原正常，遥控器需要 1 分钟复原能量才能再使用米老鼠对 “麻痹 ” 状态也在逐步适应，第1 次进入 “麻痹 ”状态时，米老鼠会完全停止，米老鼠第2 次进入 “麻痹 ” 状态时，就会有原速度5% 的速度，而第 3 次就有原速度 10% 的速度 ，第 20 次进入 “麻痹 ” 状态时已有原速度 95% 的速度了，这以后米老鼠就再也不会被唐老鸭的遥控器所掌握了唐老鸭与米老鼠同时动身，假如唐老鸭要保证不败，它最晚要在米老鼠跑了多少米的时候第一次使用遥控器 .【解析】 500012540 (分钟 )， 500010050 (分钟 )，所以米老鼠正常情形下要40 分钟跑

46、完全程，唐老鸭要 50 分钟跑完全程如唐老鸭使米老鼠麻痹20 次，由于 5%10%l95%9.5 ，就在这麻痹的 20 分钟内，米老鼠实际跑的路程为正常状态下9.5 分钟跑的路程这样，米老鼠一共需要409.52050.5 分钟才能到达终点由于唐老鸭只需要50 分钟，所以如使唐老鸭保持不败， 并不需要使米老鼠麻痹20 次，即可以尽量晚的第一次使用遥控器依据题意，第20 次使用可以使米老鼠多缺失 0.05 分钟，第 19 次使用可以使米老鼠多缺失0.1 分钟，第 18 次使用可以使米老鼠 多 损 失 0.15 分 钟 ， 第 17次 使 用 可 以 使 米 老 鼠 多 损 失 0.2 分 钟 ，

47、总 计 正 好 是0.050.10.150.20.5 分钟所以只需要使米老鼠麻痹16 次，唐老鸭就能保持不败这样米老鼠也要 50 分钟由于仍要留出15 分钟的遥控器复原能量的时间，所以第一次使用遥控器的时候后面剩下的时间不能少于161531分钟， 此时米老鼠已经跑出了 125(5031)2375 (米)，所以唐老鸭最晚要在米老鼠跑了2375 米的时候第一次使用遥控器【例 30】 小周开车前往某会议中心，动身20 分钟后，由于交通堵塞，中途延误了20 分钟，为了按时到达会议中心，小周将车速提高了25% ，小周从动身时算起到达会议中心共用了多少分钟？【解析】 将车速提高 25% 后，前，后两种情形

48、下车速的比为1: (125%)4:5 ，那么所用的时间的比为5: 4 ，由此省出的时间就是堵车耽搁的20 分钟， 所以这段路程原先需要开20(54)5100 分钟， 再加上开头的 20 分钟，可知小周从动身时算起到达会议中心共用了20100120 分钟|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.【例 31】 （ 2021 年清华附中入学测试题）如图，甲，乙分别从a ， c 两地同时动身，匀速相向而行，他们的速度之比为 5: 4 ，相遇于 b 地后， 甲连续以原先的速度向c 地前进， 而乙就立刻调头返回，并且乙的速度比相遇前降低1 ，这样当乙回到c 地时，甲恰好到达离c 地 18 千米

49、的 d 处，那么5a ， c 两地之间的距离是千米；abcd【解析】 由于甲，乙的速度之比为5: 4 ，所以，ab : bc5: 4 ，乙调头后的速度为原先速度的45，所以乙调 头 后 两 人 速 度 之 比 为5: (44)25:165， 而 乙 回 到 c 地 时 甲 恰 好 到 达 d 处 ， 所 以bd : bc25:16 ，即bc16 cd ，就9ac9 bc44cd72 （千米），即 a ， c 两地之间的距离为 72 千米【例 32】 甲，乙两车分别从 a ， b 两地同时动身相向而行，甲车速度为32 千米/时，乙车速度为 48 千米1/时，它们到达 b 地和 a 地后，甲车速度

50、提高4，乙车速度削减 16，它们第一次相遇地点与其次次相遇地点相距 74 千米，那么 a ， b 之间的距离是多少千米？【解析】 开头时两车速度比为32: 482:3 ，所以第一次相遇是在距b 地全程的 3 处；当乙车到达 a地时，5甲车离 b 地仍有全程的1 ，此时乙车速度削减 1 ，变为原先的 5 ，两车速度比为 2 : (35)4 : 5 ，3666那么当甲车走完剩下的1 时，乙车已经往回走了15557，此时两车相距全程的1这334121212时甲车速度提高 1，两车速度比变为 (45) : 51:1 ，所以两车再各走727即相遇 即其次4次相遇点距离b 地全程的 7244所以 a ， b 之间的距离为122474(37 )240 千米524【例 33】 (2021 年日本第 12 届学校算术奥林匹克初赛 )上