数字信号处理第七章 有限长数字滤波器的设计

1、第七章第七章 有限长数字滤波器的设计有限长数字滤波器的设计 7.1 线性相位线性相位FIR DF的条件和特点的条件和特点 7.2 窗函数设计法窗函数设计法7.3 频率取样设计法频率取样设计法7.4 IIR与与FIR数字滤器的比较数字滤器的比较IIR数字滤波器：数字滤波器：可以利用模拟滤波器设计可以利用模拟滤波器设计但相位非线性若须线性相位，则要采用全但相位非线性若须线性相位，则要采用全 通网络进行相位校正通网络进行相位校正,FIR数字滤波器：数字滤波器： 可以严格线性相位，又可任意幅度特性可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统因果稳定系统可用可用FFT计算计算但阶次比但阶次比IIR滤波

2、器要高得多滤波器要高得多 7.1 线性相位线性相位FIR DF的条件和特点的条件和特点 一、线性相位的条件一、线性相位的条件对于长度为对于长度为N N的的( )h n)(10)()()(wjNnjwnjwewHenheH幅频特性注意幅度特性式中，式中，H()称为幅度特性，称为幅度特性，()称为相位特性称为相位特性注意：这里注意：这里H()不同于不同于 ，H() 称为幅度函数，称为幅度函数，可以取负值，而可以取负值，而 总是正值。总是正值。)(jeH)(jeH)e (H)(Hj 线性相位是指线性相位是指()是是的线性函数，即的线性函数，即)(jeH第一类第一类线性相位线性相位（2）若）若() 0

3、， 0为起始相位为起始相位第二类第二类线性相位线性相位以上两种情况都满足群时延是一个常数，即以上两种情况都满足群时延是一个常数，即dd)( （1 1） ()()，为常数为常数( )h n(1)2N 是实序列且对是实序列且对 奇对称奇对称即即 (2)满足第一类线性相位的条件是：满足第一类线性相位的条件是：即即 (1)( )h n(1)2N 是实序列且对是实序列且对 偶对称偶对称满足满足第二类线性相位的条件是：第二类线性相位的条件是：)1()(nNhnh)1()(nNhnh（1）第一类线性相位条件证明）第一类线性相位条件证明 )()(1)1(zHzzHN: )1()()(nNhnhnh为偶对称情况

4、，即1010)1()()(NnnNnnznNhznhzHmnN1令10)1(101()()(NmmNNmmNzmhzzmh）)(1zH)()(21)(1)1(zHzzHzHN:)(表示为则可将zH代入上式，得到：将jwez )()(21)(1)1(zHzzHzHN10)1(10)()(21NnnNNnnznhzznh10)1()(21NnnNnzzznh102)1(21212)(NnNnNnNzznhz10)21()21()21(2)()()(NnwNnjwNnjwNjjweenheeH10)21()21(cos)(NnwNjwNnnhe10)21(cos)()(:NnwNnnhwH幅度函数为

5、wNw)21()(:相位函数为)21()(Nw其群时延为可以看出可以看出：只要：只要h(n)是是实序列，且实序列，且h(n)为偶对为偶对称，那么该滤波器就一称，那么该滤波器就一定具有第一类线性相位定具有第一类线性相位)21N() 1N(0)(2wNw)21()(:相位函数为 （2）第二类线性相位条件证明）第二类线性相位条件证明 )()(1)1(zHzzHN: )1()()(nNhnhnh为奇对称情况，即1010)1()()(NnnNnnznNhznhzHmnN1令10)1(101()()(NmmNNmmNzmhzzmh）)(1zH代入上式，得到：将jwez :)(可表示为同样zH)()(21)

6、(1)1(zHzzHzHN10)1(10)()(21NnnNNnnznhzznh10)1()(21NnnNnzzznh102)1(21212)(NnNnNnNzznhz10)21()21()21(2)()()(NnwNnjwNnjwNjjweenheeH10)21()21(sin)(NnwNjwNnnhje10)21(sin)()(:NnwNnnhwH幅度函数为2)21()(:wNw相位函数为)21()(Nw其群时延为可以看出可以看出：只要：只要h(n)是是实序列，且实序列，且h(n)为奇对为奇对称，那么该滤波器就一称，那么该滤波器就一定具有第二类线性相位定具有第二类线性相位 可见，其相位特性

7、是线性相位，而且还产生一个可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个900相移相移)23( N) 12(N)(2022)21()(:wNw相位函数为二、二、线性相位线性相位FIR滤波器幅度特性滤波器幅度特性H()的特点的特点 由于由于N取奇数还是偶数，对取奇数还是偶数，对H()的特性有影响，的特性有影响，因此，对于两类线性相位，下面我们分四种情况讨因此，对于两类线性相位，下面我们分四种情况讨论其幅度特性的特点：论其幅度特性的特点：（1）h(n)=h(N-1-n)，即，即h(n)为为偶对称偶对称,N=奇数奇数（2）h(n)=h(N-1-n),即即h(n)为为偶对称偶对称，N=偶数偶数（3）h(n

8、)=-h(N-1-n)，即，即h(n)为为奇对称奇对称,N=奇数奇数（4）h(n)=-h(N-1-n),即即h(n)为为奇对称奇对称，N=偶数偶数1）N为奇数，为奇数， h(n)=h(N-1-n)呈偶对称，也对2/ ) 1()21cos(NnN)21cos()()(10NnnNnhH)21(cos)21cos(NnnN)1(21cos(nNN 因此，因此，内的第内的第n项与第项与第(N-1-n)项相等；可把第项相等；可把第n=0项与第项与第n=N-1项合并；把第项合并；把第n=1项与第项与第n=N-2项项合并等等；共合并为合并等等；共合并为(N-1)/2项。由于项。由于N是奇数，故是奇数，故留

9、下中间一项留下中间一项n=(N-1)/2，因此，因此，H()可表示为可表示为2/ ) 1(1)cos()21(2)21(NmmmNhNh12Nnm令)21cos()(2)21()(2/ )3(0nNnhNhHNn可以表示成可以表示成2/ )1(0)cos()()(NnnnaH21, 2 , 1),21(2)( NnnNhna)21()0(Nha2/ )1(0)cos()()(NnnnaH( )0, , 2 H对呈偶对称cos()0, 2 n对，呈偶对称2）N为偶数，为偶数， h(n)=h(N-1-n)10)21(cos)()(NnwnNnhwH以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项合并，由于

10、为中心，把两两相等的项合并，由于N是偶是偶数，故数，故H(w)无单独项。无单独项。120)21(cos)(2)(NnwnNnhwH合并后，可得：21)21cos()()(NnwnnbwH120)21cos)(2)(NnwnNnhwH（由：,2mnN令21)21cos()2(2)(NmwmmNhwH式中：式中：2, 2 , 1),2(2)(NnnNhnb 2/1)21cos()()(NnnnbH，（时，）当（0)21(cos1nww0)(H即此种情况不能此种情况不能设计高通和带阻滤波器设计高通和带阻滤波器。是奇对称，对由于wnw)21(cos)2(呈奇对称；对所以)(wH特点：特点：3）N为奇数

11、，为奇数，h(n)=-h(N-1-n)10)21(sin)()(NnwnNnhwH)1()(nNhnh)21()211()21(NhNNhNh0)21(Nh零。呈奇对称，且中间项为对即2/ ) 1()(Nnh)1(21sin(wnNN呈奇对称）正弦项也对（2/1N)21sin()21sinwNnwnN（H()中各项之间满足：第中各项之间满足：第n项第项第N-1-n项，两两相等的项，两两相等的项合并项合并，合并后为，合并后为(N-1)/2(N-1)/2项项230)21(sin)(2)(NnwnNnhwHnNm21令211)sin()21(2NmmwmNh21, 2 , 1),21(2)( Nnn

12、Nhnc211)sin()()(NnnwnCwH其中：其中：(1) sin(n)对于对于w=0, ,2 处皆为处皆为0， 即即H()在在 =0, ,2 处必为零。处必为零。此种情况此种情况不能设不能设计低通、高通和带阻滤波器。计低通、高通和带阻滤波器。特点：特点：(2) 点呈奇点呈奇对称，所以对称，所以 对这些点也对这些点也奇对称。奇对称。2 , 0sin对n H4）N为偶数，为偶数， h(n)=-h(N-1-n)种情况：类似第310)21(sin)()(NnwnNnhwH12/0)21(sin)(2NnwnNnhmNn2令2/1)21(sin)2(2NmwmmNh2/1)21(sin)()(

13、NnwnndwH2, 3 , 2 , 1)2(2)(NnnNhnd其中： (1)由于由于 在在=0,处为零，所以处为零，所以H()在在=0, 2处为零处为零wn)21(sin(2)(2)由于由于 在在 处呈奇对称，处呈奇对称， 在处呈偶在处呈偶对称，对称，故故H()在在 处呈奇对称，在处呈奇对称，在 处呈偶对处呈偶对称。称。 0,2ww0,2wwwn)21(sin这四种线性相位这四种线性相位FIR filter的特性归纳在下表中的特性归纳在下表中 了解了线性相位了解了线性相位FIR滤波器的各种特性，便可根滤波器的各种特性，便可根据据实际需要选择合适的实际需要选择合适的FIR滤波器滤波器，同时设

14、计时要遵，同时设计时要遵循有关约束条件。循有关约束条件。如：如：第第3、4种情况种情况，对于任何频率都有一固定的，对于任何频率都有一固定的 相移，一般相移，一般微分器及微分器及 相移器相移器采用这两种情况，采用这两种情况，而而选频性滤波器选频性滤波器则用则用第第1、2种情况种情况。注意第。注意第2种不适种不适合做高通和带阻滤波器合做高通和带阻滤波器2/90偶对称单位冲激响应h(n) h(N1 n)相位响应21)(N情况1()o( N1)情况2N为奇数h(n)0N1nna(n)21NN为偶数h(n)0nN1b(n)01 22Nn2/ )1(0cos)()(NnnnaHH()o2/1 21 cos

15、)()(NnnnbHH()2o0N为奇数h(n)0nN1C(n)0121NnN为偶数h(n)0N1nd(n)012Nn221)(N相位响应情况3()2o 23 N情况42/ )1(1)sin()()(NnnncHH()o22/121sin)()(NnnndHH()o2奇对称单位冲击响应 h(n)=-h(N-1-n)三、线性相位三、线性相位FIR滤波器零点分布特点滤波器零点分布特点 )()(1)1(zHzzHN( )0iH z*, 1/iizz即 也是零点1）若）若 z = zi 是是H(z)的零点，则的零点，则 z = zi-1 也是零点也是零点2）h(n)为实数，则零点共轭成对为实数，则零点

16、共轭成对线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对(1)1()( )0NiiiH zzH z 这样这样H(z)的零点有的零点有4种情况种情况(1) 既不在实轴上，也不既不在实轴上，也不在单位圆上在单位圆上,则零点是互为倒则零点是互为倒数的两组数的两组共轭对共轭对,如图如图z1iz(2) 不在实轴上不在实轴上,但在单位但在单位圆上圆上,共轭对的倒数就是它们共轭对的倒数就是它们本身本身,如图如图z3iz1z*1z11z1*)(1z2z12z3z*3z4z)Re( z)Im( zj (3) 在实轴上在实轴上,不在单位圆上不在单位圆上,只有倒数。如图只有倒数。如图z2

17、iz(4) 既在实轴上也在单位圆上。此时，只有一个零既在实轴上也在单位圆上。此时，只有一个零点，且有两种可能，或位于点，且有两种可能，或位于z=1，或位于，或位于z=-1。如图。如图z4iz四、线性相位四、线性相位FIR滤波器网络结构滤波器网络结构 1）N为偶数为偶数1112002( )( )( )( )NNNnnnNnnnH zh n zh n zh n z1mNn1122(1)00( )( )(1)NNnN mnmH zh n zh N mz ( )(1)h nh Nn 12(1)0( )( )NnN nnH zh n zz 12(1)0( )( )NnNnnH zh nzz 个延迟单元第

18、12N个延迟单元第2N)0(h) 1 (h)2(h) 12(Nh1z1z1z1z1z1z11111z)(nx)(ny2)N为奇数，则将中间项单独列出为奇数，则将中间项单独列出 1112(1)201( )( )()2NNnN nnNH zh n zzhz 个延迟单元第21N)0(h) 1 (h)2(h)23(Nh)21(Nh1z1z1z1z1z1z1111)(nx)(ny 先给定理想先给定理想filter的频响的频响 ,设计一个设计一个FIR filter的频响为的频响为 ,使使 逼近逼近 设计是在时域进行的设计是在时域进行的,先用傅氏反变换求出理先用傅氏反变换求出理想想filter的单位抽样响

19、应的单位抽样响应 ,然后加时间窗然后加时间窗对对 截断截断,以求得以求得FIR filter的单位抽样响应的单位抽样响应h(n)。7.2 窗函数设计法窗函数设计法)e (Hjd)e (Hj)e (Hj)e (Hjd)n(hd)(nw)n(hd)()()()(21)(nhnwnhdeeHnhdnjjdd2、设计过程、设计过程 1、设计思想、设计思想一、设计方法一、设计方法因而窗的因而窗的形形状和长度状和长度的的选择很关键。选择很关键。 10)(jdeHcc0以低通滤波器为例讨论：以低通滤波器为例讨论：ccjjdeeH, 0,)()(deeHnhnjjdd21)()()(sin(21nndeecn

20、jjcc这是一个以为这是一个以为 中心的偶对称的无限长非因果序列，中心的偶对称的无限长非因果序列， 如果截取一段如果截取一段n=0N-1的的hd(n)作为作为h(n)，则为，则为 保证所得到的是保证所得到的是线性相位线性相位FIR滤波器，必须使滤波器，必须使 ，即使关于，即使关于 对称，故必须使对称，故必须使)1()(nNhnh21N 21N为其它值nNnonhnwnhnhdRd01)()()()(即：即：其中其中)()(nRnwNR)21N( ,e )(We2/sin2/Nsine)e (WjR1N0n)21N(jnjjR 现在考虑，对理想的现在考虑，对理想的 用矩形窗简单地截断后，用矩形窗

21、简单地截断后，对其频响的影响，即对其频响的影响，即 去逼近去逼近 的质量如何？的质量如何？)n(hd)e (Hj )e (Hjd 矩形窗矩形窗N1,0nN1R (n)0n ，其其它它其频谱其频谱具有线性相位具有线性相位N2N2)(RW2/sin2/Nsin)(WR 其中：其中：其在其在 内有一主瓣内有一主瓣N2 理想滤波器频率响应：理想滤波器频率响应：cc)(dH jdjde )(H)e (H ccd, 0, 1)(H其中：其中：)(*)()(jRjdjeWeHeHdeWeHjRjd)()()(21)()()(nwnhnhNddeWeHjRjd)(21)(dWHeRdj)()(21dWHHRd

22、)()(21)(实际实际FIR滤波器的幅度函数滤波器的幅度函数H()为为N2N2)(RWcc)(dH(1)=0时时, H(0)等于等于 在在-c, c内的积分面积内的积分面积,因一般因一般 ,故故H(0)近似为近似为 在在-, 内的积内的积分面积分面积)(RWNc2)(RW(2)=c时，一半重叠，时，一半重叠，H(c)=0.5 H(0);(3) =c 2/N时，第一旁瓣时，第一旁瓣(负数负数)在通带外，出现正在通带外，出现正肩峰；肩峰；( )(0)HH随，绕波动2cNn (4) =c +2/N 时时,第一旁瓣第一旁瓣(负数负数)在通带内在通带内,出现负肩出现负肩峰。峰。( )H随，绕零值波动2

23、cNn 加矩形窗处理后，对理想频率响应产生了两点加矩形窗处理后，对理想频率响应产生了两点影响：影响：1 1）使理想频率特性不连续点）使理想频率特性不连续点=cc 处，形成一个处，形成一个过渡带过渡带, , 过渡带宽等于矩形窗的过渡带宽等于矩形窗的W WR R()()的主瓣宽的主瓣宽度度=4=4/N/N ；2) 2) 在截止频率在截止频率cc的两边的两边=cc 2 2/N/N 处，处，H()H()出现最大的出现最大的肩峰值肩峰值，肩峰的两侧形成起伏，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡，其振荡幅度振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而取决于旁瓣的相对幅度，而振振荡快慢荡快慢则取决于则取决于W WR R()(

24、)波动的快慢。波动的快慢。在主瓣附近在主瓣附近xxNNNNNWRsin2/)2/sin()2/sin()2/sin()(该函数的性质：随着该函数的性质：随着x x加大（即加大（即N N加大时），函数曲加大时），函数曲线波动的频率加快，主瓣幅度加高，旁瓣线波动的频率加快，主瓣幅度加高，旁瓣幅度也同样加高，主瓣与旁瓣的相对比例幅度也同样加高，主瓣与旁瓣的相对比例保持不变。保持不变。2Nx 其中：其中： 在在矩形窗矩形窗情况下情况下, ,最大相对肩峰值为最大相对肩峰值为8.95%8.95%，N N增加增加时时, ,过渡带宽过渡带宽4 4/N/N减小减小, ,起伏振荡变密起伏振荡变密, ,但最大肩峰则

25、但最大肩峰则总是总是8.95%,8.95%,这就是这就是吉布斯吉布斯(Gibbs)(Gibbs)效应效应。 由于肩峰的存在，影响到由于肩峰的存在，影响到H()H()通带的平坦和阻通带的平坦和阻带的衰减，使阻带最小衰减只有带的衰减，使阻带最小衰减只有21dB21dB左右，因此在左右，因此在实际中，矩形窗很少采用。实际中，矩形窗很少采用。 怎样才能改善阻带的衰减特性呢？只能从改善怎样才能改善阻带的衰减特性呢？只能从改善窗函数的形状窗函数的形状上找出路。上找出路。要求：要求：主瓣宽度要窄主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；，以获得较陡的过渡带；相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能

26、小，使能量尽，使能量尽量集中在主瓣中，这样就量集中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。，以提高阻带衰减和通带平稳性。但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。 二、几种常用的窗函数：二、几种常用的窗函数：1. 矩形窗矩形窗时域表达式：时域表达式：)()()(nwnRnwRN频域表达式（频谱）：频域表达式（频谱）：)21N( jRjRe )(W)e (W幅度函数：幅度函数：)2sin(/ )2Nsin()(WR4N主瓣宽度最窄：主瓣宽度最窄：旁瓣幅度大旁瓣

27、幅度大2.2.三角窗（三角窗（BartlettBartlett）窗）窗时域表达式：时域表达式：)(nw21Nn0 ,1Nn21Nn21N,1Nn22频谱：频谱：)21()()(NjjeWeW1,)2sin()4sin(2)(2NNNW幅度函数：幅度函数：主瓣宽度主瓣宽度 ,比矩形宽一倍。旁瓣幅度较小比矩形宽一倍。旁瓣幅度较小N/83、汉宁、汉宁(Hanning)窗窗(又称升余弦窗又称升余弦窗)()12cos(1 21)(nRnNnwN)12()12(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWRRR频谱：频谱：)21()()(NjjeWeW时域：时域：幅度函数：幅度函数： 由于汉宁窗的频谱是这三部

28、分矩形窗频谱的组由于汉宁窗的频谱是这三部分矩形窗频谱的组合，故使旁瓣大大抵消，使能量相当有效地集中合，故使旁瓣大大抵消，使能量相当有效地集中在主瓣内，代价是主瓣加宽了一倍，即为在主瓣内，代价是主瓣加宽了一倍，即为 。N84、哈明（、哈明（Hamming）窗）窗(又称改进升余弦窗又称改进升余弦窗)()12cos(46. 054. 0)(nRNnnWN22( )0.54( )0.23RRRWWWWNN幅度函数幅度函数： 1N 它是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度相同的情况下，它是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在窗谱的的能量集中在窗谱

29、的主瓣内。主瓣内。5、布拉克曼（、布拉克曼（Blackman）窗）窗(又称二阶余弦窗又称二阶余弦窗)()14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(nRNnNnnwN)12()12(25. 0)(42. 0)(NWNWWWRRR)14()14(04. 0NWNWRR幅度函数为幅度函数为为进一步抑制旁瓣，对海宁窗再加一个二次谐波为进一步抑制旁瓣，对海宁窗再加一个二次谐波的余弦分量，得到上述的余弦分量，得到上述BlackmanBlackman窗，但其主瓣宽窗，但其主瓣宽度加到矩形窗的三倍度加到矩形窗的三倍,即为即为 。N12下图是下图是N=31时矩形窗、三角窗、汉宁窗、汉明窗时矩形

30、窗、三角窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼这及布莱克曼这5种窗口函数的包络曲线种窗口函数的包络曲线下图是下图是N=51时矩形窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克时矩形窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼曼4种窗口函数的幅度响应种窗口函数的幅度响应下图是用矩形窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼设计下图是用矩形窗、汉宁窗、汉明窗及布莱克曼设计的低通滤波器的幅度响应的低通滤波器的幅度响应6.凯塞（凯塞（Kaiser）窗）窗 以上五种窗函数，都是以增加主瓣宽度为代价来以上五种窗函数，都是以增加主瓣宽度为代价来降低旁瓣。凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。降低旁瓣。凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。10 ,)()()(00Nn

31、IInWk2)1121Nn（式中式中2/ )1(1202!11)NnkxkxI（I0(x)是零阶修正贝塞尔函数，参数是零阶修正贝塞尔函数，参数可控制窗的形状。一般可控制窗的形状。一般 加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小。一般取加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小。一般取 4 9。(1)/21( )(0)2( )cosNkkknWnn凯塞窗的幅度谱函数为：凯塞窗的幅度谱函数为：凯塞窗参数对滤波器的性能影响凯塞窗参数对滤波器的性能影响 六种窗函数的基本参数六种窗函数的基本参数 三、窗函数法的设计步骤三、窗函数法的设计步骤n给定理想的频率响应函数给定理想的频率响应函数 及技术指标及技术指标()jdHe2,n求出理

32、想的单位抽样响应求出理想的单位抽样响应( )dh nn根据阻带衰减选择窗函数根据阻带衰减选择窗函数( )w nn计算频率响应计算频率响应 ，验算指标是否满足要求，验算指标是否满足要求()jH en根据过渡带宽度确定根据过渡带宽度确定N值值( )( )( )dh nh nw nn求所设计的求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应滤波器的单位抽样响应1( )2jj nddh nHeed可选择汉宁窗可选择汉宁窗例：设计一线性相位例：设计一线性相位FIR数字低通滤波器数字低通滤波器,截止频率截止频率 ，过渡带宽度，过渡带宽度 ，阻带衰减，阻带衰减 dB2 . 0c4 . 0402解：解：1)()(sin2

33、1)(nndeenhcjnjdcc)(nw4022)选择窗函数选择窗函数，计算阶数，计算阶数N4 .08N20N也可取也可取N=21N=211021N)(nwh)()()(nwnhnhhd)12cos(1 21Nn)()(sinnnc)(nRN)10(2)10(2 . 0sin)1 . 0cos(1 nnn)(21nRjnNnjenheH)()(103 3）确定延时值）确定延时值 4 4）采用汉宁窗）采用汉宁窗，求得，求得 5）求频率响应）求频率响应 其幅频响应和相频响应见下图其幅频响应和相频响应见下图 可见在通带范围内其相位是线性相位的。可见在通带范围内其相位是线性相位的。 在阻带，滤波器满

34、足了所要求的衰减特性。在阻带，滤波器满足了所要求的衰减特性。 通带截止频率为通带截止频率为 ，/2/0.2ppspsf /2/0.4ststsstsf 250dB解解：1）求数字频率）求数字频率例例2：设计一个线性相位：设计一个线性相位FIR低通滤波器，低通滤波器，给定抽样频率为给定抽样频率为 ，421.5 10 (/sec)srad 321.5 10 (/sec)prad 323 10 (/sec)strad 阻带起始频率为阻带起始频率为 ，阻带衰减不小于阻带衰减不小于-50dB，幅度特性如图所示，幅度特性如图所示2）求）求hd(n)()0,jjccdcceHe ccsf1/220.3pst

35、s )()(sin21)(nndeenhcjnjdcc21N3）选择窗函数：由）选择窗函数：由 确定哈明窗（确定哈明窗（-53dB）2( )0.540.46cos( )1Nnw nRnN20.2stps 4）确定）确定N 值值250dBN8哈明窗带宽：402 . 088N23921N5）确定）确定FIR滤波器的滤波器的h(n)( )( ) ( )dh nh n w n6）求）求 ，验证，验证()jH e若不满足，则改变若不满足，则改变N或窗形状重新设计或窗形状重新设计)()(sinnnc)(nRN)12cos(46. 054. 0Nn7.3 频率取样设计法频率取样设计法一、设计思想一、设计思想

36、 窗函数设计法是从时域出发，把理想的窗函数设计法是从时域出发，把理想的 用用一定形状的窗函数截取成有限长的一定形状的窗函数截取成有限长的 ，以，以 来近来近似似 ,从而使频响从而使频响 近似理想频响近似理想频响 。)(nhd)(nhd)(nh)(nh)(jdeH)(jeH 频率取样法是从频率取样法是从频域频域出发，对理想的频响出发，对理想的频响 进行等间隔取样，以有限个频响采样去近似理想频进行等间隔取样，以有限个频响采样去近似理想频响响 ，即：，即：)(jdeH)(jdeH)()(2kHeHdkNjd1,.,1 , 0),()(NkkHkHd将将 代入代入 表达式可得表达式可得对对 H(k)进

37、行进行IDFT,得到得到h(n)1,.,1 , 0,)(1)(10/2NnekHNnhNkNnkj1101011)(1)()(ZWZkHNZnhZHkNNNkNnn其系统函数其系统函数插值公式插值公式频率响应：频率响应：jeZ )(ZH)(jeH二、线性相位的约束条件二、线性相位的约束条件1）h(n)偶对称，偶对称，N为奇数为奇数)21()()(NjjeHeH幅度函数幅度函数H()应具有偶对称性：应具有偶对称性：)2()( HH令令kjkeHkH)()11 (22121NkkNNNk1, 1 , 0Nk其中：其中：2）h(n)偶对称，偶对称，N为偶数为偶数)21()()(NjjeHeH幅度特性

38、奇对称幅度特性奇对称 2HH因此，因此，Hk 也必须满足奇对称性：也必须满足奇对称性：kNkHH1, 1 , 0Nk则则 必须满足偶对称性：必须满足偶对称性：kNkHHkH1, 1 , 0Nk相位关系同上相位关系同上)11 (221NkkNNk 其它两种线性相位其它两种线性相位FIR数字滤波器的设计，同样数字滤波器的设计，同样也要满足幅度与相位的约束条件。也要满足幅度与相位的约束条件。三、逼近误差三、逼近误差 频率采样法是比较简单的，但是我们还应该进一频率采样法是比较简单的，但是我们还应该进一步考察，步考察， 用这种频率采样所得到的系统函数究竟逼近用这种频率采样所得到的系统函数究竟逼近效果如何

39、？如此设计所得到的频响效果如何？如此设计所得到的频响H(ej)与要求的理与要求的理想频响想频响Hd(ej)会有怎样的差别？会有怎样的差别？)2()()()(10kNkHzHeHNkezjj21)2/sin()2/sin(1)(NjeNN其中其中12101)(1)(zekHNzzHNkjNkN(1)(1)各频率采样点各频率采样点=2=2k k/ /N N，k k=0,1,2, =0,1,2, N N-1-1上上, , ( (-2-2k k/ /N N)=1)=1，因此，因此，采样点上采样点上滤波器的实际频滤波器的实际频率响应是严格地和理想频率响应数值相等的。率响应是严格地和理想频率响应数值相等的。说明：说明：在在采样点之间采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸，频响由各采样点的内插函数延伸迭加而形成，因而迭加而形成，因而有一定的逼近误差有一定的逼近误差，误差大小与，误差大小与理想频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则理想频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小；反之，误差大。误差小；反之，误差大。 N增大，则采样点变密，逼近误差减小。增大，则采样点变密，逼近误差减小。)(ejHN2H(k)(a)(b)oo)(ejdH)(ejH)(ejH为提高阻带衰减