数学教材分析(三)

1、中学数学教材分析（三）中学数学教材分析（三） （一）数学教学重点的含义（一）数学教学重点的含义 数学教学重点数学教学重点指数学教材中贯穿全局，带动全指数学教材中贯穿全局，带动全面，起核心作用的内容。面，起核心作用的内容。 “突出重点突出重点”是数学教学的基本要求。课堂教学应把主要时是数学教学的基本要求。课堂教学应把主要时间和精力放在重点内容的教学上，而不是放在多题组、大题间和精力放在重点内容的教学上，而不是放在多题组、大题量的强化训练上。题型教学和题海战术不能取代新授课重点量的强化训练上。题型教学和题海战术不能取代新授课重点和难点的教学。更有甚者，和难点的教学。更有甚者，“眉毛胡子一把抓眉毛胡

2、子一把抓”，根本看不，根本看不出其重点所在，这些做法，无论是对知识的领会，思维的训出其重点所在，这些做法，无论是对知识的领会，思维的训练，还是能力的培养，都是非常不利的。练，还是能力的培养，都是非常不利的。 (2)“(2)“换元法换元法”因其特殊的转化功能和广泛的应用而因其特殊的转化功能和广泛的应用而成为重要的数学方法之一；成为重要的数学方法之一；“数形结合数形结合”的思想方的思想方法由于其工具作用和直观化、形象化的转化功能而法由于其工具作用和直观化、形象化的转化功能而成为重要的数学思想。成为重要的数学思想。 (3)“(3)“集合集合”这一节包括以下内容：集合与元素的概这一节包括以下内容：集合

3、与元素的概念；常用数集及其符号；元素与集合的从属关系；念；常用数集及其符号；元素与集合的从属关系；元素的三个基本特征；集合的分类与表示方法。本元素的三个基本特征；集合的分类与表示方法。本节的教学重点之一是集合的表示方法节的教学重点之一是集合的表示方法. .因为学习本节因为学习本节的重要原因就是要利用集合语言表示不等式解集，的重要原因就是要利用集合语言表示不等式解集，函数的定义域和值域等。函数的定义域和值域等。 （4 4）“函数的单调性函数的单调性”这一节包括以下内容：这一节包括以下内容：增函数、减函数、单调性的概念；单调性的增函数、减函数、单调性的概念；单调性的判定。本讲的教学重点是单调性的概

4、念。因判定。本讲的教学重点是单调性的概念。因为单调性是函数的重要性质，是对数函数、为单调性是函数的重要性质，是对数函数、指数函数、三角函数研究的重要内容。同时指数函数、三角函数研究的重要内容。同时单调性在比较数的大小、证明不等式、作图、单调性在比较数的大小、证明不等式、作图、求函数值域、判定方程根的情况等方面都有求函数值域、判定方程根的情况等方面都有广泛的作用。广泛的作用。2.地位的独特性地位的独特性 在教材中贯穿全局，起纽带作用。如三角函数的定义在教材中贯穿全局，起纽带作用。如三角函数的定义 （ ）是整个三角函数一章的根基，同角三角函）是整个三角函数一章的根基，同角三角函数的关系，余弦和角公

5、式的推导等都以它为基础，甚至圆的数的关系，余弦和角公式的推导等都以它为基础，甚至圆的参数方程，极坐标与指教坐标系的互化都以它为依据。参数方程，极坐标与指教坐标系的互化都以它为依据。 3.3.蕴涵重要的数学思想方法蕴涵重要的数学思想方法 本节内容包含重要的数学思想方法，后续内容应用广泛。例本节内容包含重要的数学思想方法，后续内容应用广泛。例如三角函数诱导公式的推导，蕴含有数形结合、化归，转化如三角函数诱导公式的推导，蕴含有数形结合、化归，转化等数学思想方法。等数学思想方法。 4.4.培养学生能力方面能起到独特作用培养学生能力方面能起到独特作用 如空间图形画法是学生树立空间想象能力的重要技能如空间

6、图形画法是学生树立空间想象能力的重要技能,sinry （三）突出重点的基本方法（三）突出重点的基本方法 现代教学理论认为现代教学理论认为, ,为了使学生掌握数学学科的基本为了使学生掌握数学学科的基本结构和发展数学能力结构和发展数学能力, ,培养良好的个性品质培养良好的个性品质, ,数学课数学课堂必须遵循展现思维过程的原则堂必须遵循展现思维过程的原则, ,其中包括概念的发其中包括概念的发生、发展过程，命题的形成过程，解题思路的探索生、发展过程，命题的形成过程，解题思路的探索过程和解题方法的概括过程。因此数学教学要突出过程和解题方法的概括过程。因此数学教学要突出的重点就必须通过思维过程的充分暴露加

7、以实现。的重点就必须通过思维过程的充分暴露加以实现。即实施过程教学，追求过程与结果统一。即实施过程教学，追求过程与结果统一。 1.1.让学生充分的参与让学生充分的参与 设计合理的产生形成过程，让学生参与归纳与概括，设计合理的产生形成过程，让学生参与归纳与概括，参与发现与探索，做知识的研究者和发现者，通过再参与发现与探索，做知识的研究者和发现者，通过再创造，让学生获得知识和能力。正如荷兰数学教育家创造，让学生获得知识和能力。正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说弗赖登塔尔所说:“:“科学的顶峰总是创造性的发现科学的顶峰总是创造性的发现. .学学习的过程也必须含有直接创造的侧面习的过程也必须含有直接创造

8、的侧面, ,即从学生的观即从学生的观点看是创造点看是创造, ,通过再创造获得的知识与能力通过再创造获得的知识与能力, ,要比以被要比以被动方式获得的动方式获得的, ,理解得更好理解得更好, ,也更容易保持也更容易保持.”.” 案例：案例：“虚数虚数i i开方运算开方运算”教学课例教学课例 师：我们对师：我们对-1-1进行开平方运算时，引入了新数进行开平方运算时，引入了新数i i，从而将实，从而将实数集扩充到复数集。现在要对虚数数集扩充到复数集。现在要对虚数i i开平方，开平方，是否又会出是否又会出现别的新数呢？现别的新数呢？如何对如何对i i开方呢？开方呢？ 我们先解决问题我们先解决问题，如何

9、对，如何对i i开方？回到定义去，求开方？回到定义去，求i i的的平方根的意义是什么？平方根的意义是什么？ 生：在复数范围内求平方为生：在复数范围内求平方为i i的数的数 师：请把这个问题用一个数学式表达出来（数学化）师：请把这个问题用一个数学式表达出来（数学化） 生：设生：设z=x+iyz=x+iy为为i i的平方根，其中的平方根，其中x+iyx+iyC，那么有，那么有iiyx2 师：这就回到我们熟悉的问题了，这是用代数形式的表述，如果用复数的三角形式又该如何表达这个问题呢？ 注意：让学生充分参与，就不应是老师包办，教师要通过精心设计的问题链来实现。2.有步骤的引入有步骤的引入 在体现必要性

10、的前提下，逐步引入新知识，揭示引入的合理性，使之在体现必要性的前提下，逐步引入新知识，揭示引入的合理性，使之与学生的认知水平同步进行。即与学生的认知水平同步进行。即“知其然，知其所以然知其然，知其所以然”。注入式教。注入式教学正是忽视了这一环节，缩减了由感性到理性的过程学正是忽视了这一环节，缩减了由感性到理性的过程如：如：“反正弦函数的引入反正弦函数的引入” 若上课一开始就讲反函数的定义，并引入若上课一开始就讲反函数的定义，并引入“arcsin”，学生会毫无心，学生会毫无心理准备，感觉太突然，理解也不会透彻。理准备，感觉太突然，理解也不会透彻。参考设计：参考设计：1、函数、函数 有反函数吗？能

11、否缩小其定义域使其具有反有反函数吗？能否缩小其定义域使其具有反函数？函数？ 2、函数、函数 在其定义域内有反函数吗？在怎样的区在其定义域内有反函数吗？在怎样的区间上可使其有反函数？间上可使其有反函数？ 3、正弦函数、正弦函数 在在 的反函数叫反正弦函数的反函数叫反正弦函数 2xyxysinxysin2,2若记反正弦函数为若记反正弦函数为 ，则，则 问：它们存在吗？等于多少，在此基础上自然引出问：它们存在吗？等于多少，在此基础上自然引出记号记号“ ”3.全方位的审视全方位的审视要使学生深刻理解，掌握重点知识，就必须引导学要使学生深刻理解，掌握重点知识，就必须引导学生从各个侧面对其进行深入认识。生

12、从各个侧面对其进行深入认识。 xf1_211f_231f_311f _01f_211farcsin案例：案例：“反函数反函数”审视审视1：反函数是函数，应满足函数的定义与特征要素：反函数是函数，应满足函数的定义与特征要素审视审视2：反函数中的：反函数中的“反反”如何体现：表达式；定义域；如何体现：表达式；定义域；值域值域审视审视3：如何求一个函数的反函数？：如何求一个函数的反函数？审视审视4：两个都是函数，函数有图象，图象有什么关系？：两个都是函数，函数有图象，图象有什么关系？审视审视5：两个都是函数，函数有性质，性质有什么关系？：两个都是函数，函数有性质，性质有什么关系？案例案例2 2：函数

13、的单调性：函数的单调性审视审视1：增函数与减函数的定义差别？：增函数与减函数的定义差别？审视审视2：增函数与减函数的定义中关键字：任意、区：增函数与减函数的定义中关键字：任意、区间间审视审视3：增函数与减函数的图象特点？：增函数与减函数的图象特点？审视审视4：如何判断一个函数是增函数还是减函数？：如何判断一个函数是增函数还是减函数？审视审视5：如何证明一个函数是增函数还是减函数？：如何证明一个函数是增函数还是减函数？（4 4）多层次的练习）多层次的练习 对既是重点又是难点的概念、定理等教学内容，对既是重点又是难点的概念、定理等教学内容，不仅要重视其形成、发现过程的教学，也要通过循环不仅要重视其

14、形成、发现过程的教学，也要通过循环反复的螺旋递进的方式进行练习，使学生充分地领会，反复的螺旋递进的方式进行练习，使学生充分地领会，并学会应用。并学会应用。 案例：案例：“反函数反函数” 当看似孤立的问题运用当看似孤立的问题运用“知识的重点知识的重点”加以串联以后，就加以串联以后，就形成了具有密切联系的问题链，随着逐层深入的思考，对重点形成了具有密切联系的问题链，随着逐层深入的思考，对重点知识的认识就越加透彻，对知识的运用就更加灵活。知识的认识就越加透彻，对知识的运用就更加灵活。（5 5）变式运用）变式运用 重要公式的教学，可以通过公式的正用、逆用、重要公式的教学，可以通过公式的正用、逆用、变用

15、、连用等方式，在加强记忆同时增强思维的变用、连用等方式，在加强记忆同时增强思维的灵活性。灵活性。案例：案例：“两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式” 重要例题的讲授，可以通过对例题条件增减、或重要例题的讲授，可以通过对例题条件增减、或条件与结论的交换、或特殊到一般的推广、或几条件与结论的交换、或特殊到一般的推广、或几个例题的共性分析，促进思维的深刻性。个例题的共性分析，促进思维的深刻性。 （6 6）多角度的联系）多角度的联系 通过知识内在联系的揭示，在拓展思维空间的同时进通过知识内在联系的揭示，在拓展思维空间的同时进一步强化对新知识的认识。一步强化对新知识的认识。 如：数列通项的理解如：数

16、列通项的理解函数理解函数理解 对概率古典概型的理解对概率古典概型的理解集合理解集合理解 指数与对数关系的理解指数与对数关系的理解加与减、乘与除加与减、乘与除 直线与圆的关系理解直线与圆的关系理解几何（距离）、代数（方程组的解）几何（距离）、代数（方程组的解） 数学知识的内在联系广泛存在于数学知识结构之中，数学知识的内在联系广泛存在于数学知识结构之中，重视其挖掘，在促进数学理解的同时，有利于培养思重视其挖掘，在促进数学理解的同时，有利于培养思维的广阔性。维的广阔性。 （7 7）适度的引申）适度的引申 引申作为一种教学手段，能有效促进对重点知识的理引申作为一种教学手段，能有效促进对重点知识的理解。

17、解。 例如正弦、余弦函数的奇偶性是该界教学的重点，如例如正弦、余弦函数的奇偶性是该界教学的重点，如果蜻蜓点水般的得到结果，难以对三角函数图象形成果蜻蜓点水般的得到结果，难以对三角函数图象形成充分的认识，应更深入揭示其一般规律：充分的认识，应更深入揭示其一般规律： 函数奇偶性的实质是反映函数图象的对称性。函数奇偶性的实质是反映函数图象的对称性。 正弦、余弦函数的奇偶性分别说明它们是中心对称正弦、余弦函数的奇偶性分别说明它们是中心对称图形和轴对称图形。图形和轴对称图形。 可设置以下问题：可设置以下问题： 正弦还有别的对称中心吗？正弦还有别的对称中心吗？ 余弦函数还有别的对称轴吗？余弦函数还有别的对

18、称轴吗？ 正弦函数的图形是轴对称图形吗？正弦函数的图形是轴对称图形吗？ 余弦函数的图形中心对称图形吗？余弦函数的图形中心对称图形吗？ 需要指出的是：重点内容的挖掘不是越深越好，需要指出的是：重点内容的挖掘不是越深越好，要弄清教学要求的层次，有时挖掘得过深学生难要弄清教学要求的层次，有时挖掘得过深学生难以理解，反而削弱或淡化了重点。以理解，反而削弱或淡化了重点。 （8 8）分阶段巩固）分阶段巩固 对于重点的教学内容，不能对于重点的教学内容，不能“毕其功于一役毕其功于一役”，应该，应该分阶段完成。如立体几何公理分阶段完成。如立体几何公理2 2（如果两个面有一个（如果两个面有一个公共点公共点）就可以

19、分成）就可以分成4 4个阶段完成：个阶段完成： 首先用它指导作面面的交线和证明点共线首先用它指导作面面的交线和证明点共线 在讲空间直线位置关系时指导画线面的交点问题在讲空间直线位置关系时指导画线面的交点问题 在讲面面位置关系时介绍证明线共点问题在讲面面位置关系时介绍证明线共点问题 在讲多面体时用它指导作多面体的截面在讲多面体时用它指导作多面体的截面 分阶段巩固还表现为对重点内容的一种定期检测、训分阶段巩固还表现为对重点内容的一种定期检测、训练。练。二、关于教学难点二、关于教学难点 (一一)对教学难点的认识对教学难点的认识 1.教学难点的含义教学难点的含义 难点是指学生接受起来比较困难的知识和方

20、法难点是指学生接受起来比较困难的知识和方法,它是它是造成学生学习成绩差距的分化点造成学生学习成绩差距的分化点. 难点具有相对性，相对于不同层次的学生而言。难点具有相对性，相对于不同层次的学生而言。 2.突破难点的双重意义突破难点的双重意义 消极意义：学生对教师讲授的内容体会不深，理解消极意义：学生对教师讲授的内容体会不深，理解不透，思维受阻，随着时间的推移，会使学生逐渐不透，思维受阻，随着时间的推移，会使学生逐渐失去信心，造成学习困难。失去信心，造成学习困难。 积极意义：教学难点常出现在数学思想迅速丰富、积极意义：教学难点常出现在数学思想迅速丰富、大步跳跃或较为深刻的地方，出现在数学方法较为大

21、步跳跃或较为深刻的地方，出现在数学方法较为抽象更为综合的地方。教学难点的积极意义是发展抽象更为综合的地方。教学难点的积极意义是发展学生思维能力和提高学生数学素质的契机。现代教学生思维能力和提高学生数学素质的契机。现代教学理论认为，数学教学的根本任务是发展学生的思学理论认为，数学教学的根本任务是发展学生的思维能力。新课标强调：要培养学生克服困难的信心维能力。新课标强调：要培养学生克服困难的信心和意志力；要向学生提供挑战性的问题，使他们经和意志力；要向学生提供挑战性的问题，使他们经历克服困难的活动，要让他们从这些活动中获取成历克服困难的活动，要让他们从这些活动中获取成功体验。因此，正确有效的利用与

22、化解难点，是数功体验。因此，正确有效的利用与化解难点，是数学教学的必然结果。学教学的必然结果。（二）正确的估计难点（二）正确的估计难点 教学难点因人而异，教师必须在研究教学对象的基教学难点因人而异，教师必须在研究教学对象的基础上正确估计难点。一般可以从以下几个方面去认识础上正确估计难点。一般可以从以下几个方面去认识与估计难点：与估计难点：1.1.教学内容的抽象性与学生思维形象性之间的矛盾产生教学内容的抽象性与学生思维形象性之间的矛盾产生难点难点案例案例1 1：初二代数：初二代数“无理数无理数”一节一节 无理数的概念是本节教学难点。主要原因是：无无理数的概念是本节教学难点。主要原因是：无理数的概

23、念十分抽象，需要有一定的抽象思维能力和理数的概念十分抽象，需要有一定的抽象思维能力和初步的极限思想。而初中学生的抽象思维能力弱，主初步的极限思想。而初中学生的抽象思维能力弱，主 要还是以经验型的形象思维为主。要还是以经验型的形象思维为主。 案例案例2 2：高中：高中“函数函数”一节。一节。 本节的教学难点是函数的概念。主要原因是：由于函本节的教学难点是函数的概念。主要原因是：由于函数的概念涉及集合语言，其实质是集合之间元素的对数的概念涉及集合语言，其实质是集合之间元素的对应。教材采用了映射语言进行叙述，但在本节之前却应。教材采用了映射语言进行叙述，但在本节之前却没有先讲映射作为铺垫。因此需要学

24、生具备一定的抽没有先讲映射作为铺垫。因此需要学生具备一定的抽象思维与辨证思维能力。同时学生还要注意初高中函象思维与辨证思维能力。同时学生还要注意初高中函数概念的整合，这些特点对抽象思维能力较弱的高一数概念的整合，这些特点对抽象思维能力较弱的高一学生而言确实较难理解。学生而言确实较难理解。 案例案例3 3：高中：高中“双曲线的几何性质双曲线的几何性质”一节。一节。 本节教学难点是双曲线的渐进线。主要原因：双曲线本节教学难点是双曲线的渐进线。主要原因：双曲线的渐进线看似形，却难以用形来描述，同时渐进线概的渐进线看似形，却难以用形来描述，同时渐进线概念包含着极限思想。念包含着极限思想。 案例案例4

25、4：高中：高中“极限的定义极限的定义”一节。一节。 本节教学难点是极限的定义。主要原因：极限概念中本节教学难点是极限的定义。主要原因：极限概念中N的辨证关系难以让人理解，其次有限与无限的的辨证关系难以让人理解，其次有限与无限的关系让人难以捉摸。关系让人难以捉摸。 2.教学内容的深化和学生思维定势之间的矛盾教学内容的深化和学生思维定势之间的矛盾 案例案例1 1：初中：初中“一元一次方程的应用一元一次方程的应用”一节。一节。 受小学受小学定势思维定势思维算术法解方程的影响，因而常想算术法解方程的影响，因而常想到列算式而忽视建立等量关系，从而成为教学难点。到列算式而忽视建立等量关系，从而成为教学难点

26、。 案例案例2 2：初中：初中“不等式的性质不等式的性质”一节。一节。 受方程解法的影响，忽视不等号的变向而成为教学难受方程解法的影响，忽视不等号的变向而成为教学难点。点。 案例案例3 3：高中：高中“逻辑连接词逻辑连接词”一节。一节。 难点为：对难点为：对“或或”的含义的理解。主要是容易与日常的含义的理解。主要是容易与日常用语中用语中“或或”的含义混淆。的含义混淆。 3.3.教学内容之间的关系复杂教学内容之间的关系复杂 案例案例1 1：“交集并集交集并集”一节。一节。 本节教学难点是交集并集的概念及它们之间的区别本节教学难点是交集并集的概念及它们之间的区别与联系。因为逻辑中的与联系。因为逻辑

27、中的“且且”与与“或或”只是一字之只是一字之差，关系却很复杂。而且这种理解与日常理解有别。差，关系却很复杂。而且这种理解与日常理解有别。 案例案例2 2：“一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法”一节。一节。 本节教学难点是三个二次之间的关系。三个二次紧本节教学难点是三个二次之间的关系。三个二次紧密联系，相辅相成，而且运用中又需要灵活处理密联系，相辅相成，而且运用中又需要灵活处理 4.4.问题的解决途径难以探索问题的解决途径难以探索 案例案例1:“1:“函数的单调性函数的单调性”. . 本节的教学难点是利用单调性的概念证明或判断函本节的教学难点是利用单调性的概念证明或判断函数的单调性数的单调

28、性. .因为证明中需要通分、提取公因式等因为证明中需要通分、提取公因式等变形技巧，还需要分类讨论等思想方法，灵活性强。变形技巧，还需要分类讨论等思想方法，灵活性强。 案例案例2:“2:“四种命题四种命题”. . 本节的教学难点是反证法的理解与应用。因为反证本节的教学难点是反证法的理解与应用。因为反证法的理解虽说与逆否命题有密切联系，但也仅仅是法的理解虽说与逆否命题有密切联系，但也仅仅是浅层理解，而且推导矛盾的方式、方法多种多样，浅层理解，而且推导矛盾的方式、方法多种多样，灵活性强。灵活性强。 案例案例3:“3:“两角和与差的余弦两角和与差的余弦”. . 本节教学难点有本节教学难点有2 2：其一

29、是余弦和角公式的推导：其一是余弦和角公式的推导证明思路难以探索；其二是和与差余弦公式的证明思路难以探索；其二是和与差余弦公式的灵活应用灵活应用应用的方法、技巧很多。应用的方法、技巧很多。 案例案例4:“4:“正弦定理正弦定理”. . 本节教学难点有本节教学难点有2 2：其一是正弦定理的推导：其一是正弦定理的推导证证明思路难以探索；其二是正弦定理公式的灵活应明思路难以探索；其二是正弦定理公式的灵活应用。用。（三）突破难点的策略（三）突破难点的策略 1.1.发现性策略发现性策略 即将克服难点的过程组织成教师引导下的学生即将克服难点的过程组织成教师引导下的学生独立发现的过程独立发现的过程, ,这样能

30、较好发挥难点促进学生思这样能较好发挥难点促进学生思维发展的作用。使用这一策略的条件是学生具备较维发展的作用。使用这一策略的条件是学生具备较好的基础知识、能力准备和较充裕的时间。好的基础知识、能力准备和较充裕的时间。 案例案例1:“1:“圆的切线的作法圆的切线的作法”. .教学难点：切点的确教学难点：切点的确定定 解决该问题可以设置以下启发问题：解决该问题可以设置以下启发问题： 问题问题1 1：过：过P P点的直线无数条，任作一条可以吗？点的直线无数条，任作一条可以吗？ 问题问题2 2：设：设PAPA为切线，为切线，A A为切点，则为切点，则OAOA与与APAP有何关系？有何关系？ 问题问题3：

31、本题转化为在圆上找一点：本题转化为在圆上找一点A，使，使OA PA，怎，怎样确定样确定A点？点？ 问题问题4：在：在OOAP中，中，OP是已知的，要使是已知的，要使OAP为直为直角，怎么办？角，怎么办？ 评注：上述问题设置：学生不但掌握了切线的作法，评注：上述问题设置：学生不但掌握了切线的作法，而且培养了分析、归纳、综合等逻辑思维能力。从技而且培养了分析、归纳、综合等逻辑思维能力。从技术层面而言，可归结为递推假设发现突破难点。术层面而言，可归结为递推假设发现突破难点。 O A P 案例案例2：“等差数列前等差数列前n项和项和” 教学难点：求和公式的推导；教学难点：求和公式的推导； 解决方法：高

32、斯故事，钢管堆放解决方法：高斯故事，钢管堆放 从技术层面可归结为特殊到一般的归纳突破从技术层面可归结为特殊到一般的归纳突破 案例案例3：“圆周角定理圆周角定理” 教学难点：定理的发现；教学难点：定理的发现； 解决方法：教师设置问题：解决方法：教师设置问题： 一个圆周角所对应的弧有几条？一个圆周角所对应的弧有几条？ 一段弧所对应的圆周角有几个？圆心角有几个？一段弧所对应的圆周角有几个？圆心角有几个？ （启发学生认识二者有某种关系）（启发学生认识二者有某种关系） 学生操作：自己画图，自己测量学生操作：自己画图，自己测量 教师利用几何画板拖动教师利用几何画板拖动A点，让学生观察圆心角点，让学生观察圆

33、心角和圆周角的变化情况和圆周角的变化情况 （得到结论：同弧所对的圆周角等于对应圆心角（得到结论：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半）的一半） A O B C 教师启发：由于有限次的实验得到的结论不一定可教师启发：由于有限次的实验得到的结论不一定可靠，更不能作为定理。我们不能逐一验证，有无办靠，更不能作为定理。我们不能逐一验证，有无办法证明？请大家观察演示，注意圆周角与圆心角有法证明？请大家观察演示，注意圆周角与圆心角有几种位置关系。几种位置关系。 从技术层面可归结为实验操作演示的观察突破从技术层面可归结为实验操作演示的观察突破 A A A A A A O O O B B B C C C 案例

34、案例4 4：“一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法” 教学难点：三个二次之间的关系教学难点：三个二次之间的关系 解决方法：与三个一次关系类比，借助于图形解决方法：与三个一次关系类比，借助于图形 从技术层面可归结为类比突破、图形直观突破、特殊从技术层面可归结为类比突破、图形直观突破、特殊到一般归纳突破。到一般归纳突破。 2.2.层层铺垫策略层层铺垫策略 层层铺垫策略并不是等难点充分暴露时才设法破解，层层铺垫策略并不是等难点充分暴露时才设法破解，而是采取有目的、有计划地进行分化、铺垫、分解等而是采取有目的、有计划地进行分化、铺垫、分解等措施缓解问题的难度，使学生有序地度过思维障碍。措施缓解问题

35、的难度，使学生有序地度过思维障碍。 采用这种方式，有时需要有意设计递进式教学环采用这种方式，有时需要有意设计递进式教学环节；有时需要因势利导，旁敲侧击。节；有时需要因势利导，旁敲侧击。 案例案例1 1： 再将上述推广到一般再将上述推广到一般 从技术层面可归结特殊到一般归纳突破。从技术层面可归结特殊到一般归纳突破。 从本质上将单调性的定义、等差数列、等比数列从本质上将单调性的定义、等差数列、等比数列的定义也是一种铺垫的定义也是一种铺垫教学教学)sin(cossin22xbaxbxa的的求解求解 铺垫铺垫 1：求证求证：)sin(2cossin36xxx 铺垫铺垫 2：求证求证：xxcossin2

36、222化化为为)sin(xA形式形式 案例案例2： 铺垫铺垫1：问题：已知：问题：已知A（1，1）和）和B（2，3），试），试在在X轴上求一点轴上求一点P，使，使|PA|+|PB|最小最小. 几何意义几何意义 从技术层面可归结为图形直观突破从技术层面可归结为图形直观突破 3.提示性策略提示性策略 即在解决问题的过程，教师适当提示解决问题的即在解决问题的过程，教师适当提示解决问题的思考原则，逐步缩小学生的探索范围，求得问题思考原则，逐步缩小学生的探索范围，求得问题求求函数函数1342222xxxxy的的最小值最小值 铺垫铺垫 2：变形：变形：2222302101）（）（）（）（xxy 的解决。这

37、种策略多用于例题与习题的教学之中。的解决。这种策略多用于例题与习题的教学之中。提示的范围包括相关数学知识、常见数学思想（数提示的范围包括相关数学知识、常见数学思想（数形结合、转化思想、构造思想、整体思想形结合、转化思想、构造思想、整体思想 ）、）、常用的数学方法（如配方法、换元法、待定系数法、常用的数学方法（如配方法、换元法、待定系数法、间接法间接法 ）等。提示的类型一般有三种：）等。提示的类型一般有三种： 一般性提示一般性提示即方法论水平上的提示，提升学生即方法论水平上的提示，提升学生一般性的思考方法与原则。一般性的思考方法与原则。 功能性提示功能性提示间于一般性与特殊性之间，他提醒间于一般

38、性与特殊性之间，他提醒学生应用针对某一类问题的解决方法与策略学生应用针对某一类问题的解决方法与策略 特殊性提示特殊性提示即具体的提示，针对解决的问题，即具体的提示，针对解决的问题，提醒学生解决问题的具体方法与步骤提醒学生解决问题的具体方法与步骤 案例：证明案例：证明“三角形内角平分线性质定理三角形内角平分线性质定理 提示问题提示问题1：要证明线段成比例有哪些方法？：要证明线段成比例有哪些方法？ 提示问题提示问题2：要使用平行线分线段：要使用平行线分线段 线段成比例？该怎样作？线段成比例？该怎样作？ 提示问题提示问题3：如何使：如何使AB、BD、AC、 DC在两条直线上？在两条直线上？ 提示问题

39、提示问题4：现在：现在BD、DC在同一在同一 直直线上，如何将线上，如何将AB、AC转化到同一转化到同一 直线上？直线上？ E A B C 4.分散性策略分散性策略 实际情况不允许采用发现性策略或提示性策略，实际情况不允许采用发现性策略或提示性策略，如学生的知识水平达不到或时间有限，教师可以如学生的知识水平达不到或时间有限，教师可以对难点问题直接讲授或通过学生阅读课本，绕过对难点问题直接讲授或通过学生阅读课本，绕过知识被探索发现的过程。由于这种做法越过了重知识被探索发现的过程。由于这种做法越过了重要的思维环节，应该在上述环节之后，加强反思要的思维环节，应该在上述环节之后，加强反思环节。环节。

40、反思性策略一般有两种：反思性策略一般有两种： 一是具体性反思，即对某一数学方法或解题过程一是具体性反思，即对某一数学方法或解题过程回头看，对具体解决问题的过程加深理解和认识。回头看，对具体解决问题的过程加深理解和认识。 如等比数列前如等比数列前n项的和的公式推导，教师可以回头再项的和的公式推导，教师可以回头再讨论错位相减法。讨论错位相减法。 二是整体性反思，即在某一章节之后，对解决问题二是整体性反思，即在某一章节之后，对解决问题的思想方法进行归纳总结。例如学生在学习了一次的思想方法进行归纳总结。例如学生在学习了一次方程组之后对消元的思想方法这个教学难点进行进方程组之后对消元的思想方法这个教学难

41、点进行进行整体回顾。行整体回顾。 5.躲避性策略躲避性策略 即学生即使在教师的指导下也不具备解决难点所即学生即使在教师的指导下也不具备解决难点所需要的知识和能力时，或着对于非重点的难点内容，需要的知识和能力时，或着对于非重点的难点内容， 学生在掌握过程中受阻而影响重点内容的学习 时，可以采用这种策略。如教学双曲线的几何性质时，可以采用这种策略。如教学双曲线的几何性质时，直线的不同位置与其相交交点的个数就可以采时，直线的不同位置与其相交交点的个数就可以采用这一策略，侧重与基本性质掌握；在教学几何入用这一策略，侧重与基本性质掌握；在教学几何入门公理时也可以依据实际情况，只稍带一提，不作门公理时也可

42、以依据实际情况，只稍带一提，不作过多讲解，不投入过多精力。过多讲解，不投入过多精力。 躲避性策略是一种消极策略，但运用较好，仍可躲避性策略是一种消极策略，但运用较好，仍可以取得积极效果，即放弃非重点内容，力图取得全以取得积极效果，即放弃非重点内容，力图取得全局胜利。局胜利。三、数学教学的关键点三、数学教学的关键点 教材分析还需找准教材中对教学质量和教学效果起着教材分析还需找准教材中对教学质量和教学效果起着重要作用的关键点重要作用的关键点 1.从教学体系中找准教学的衔接点从教学体系中找准教学的衔接点 教材中的知识总是前后联系又相互独立的教材中的知识总是前后联系又相互独立的.在分析在分析教材时不能把着眼点只放在教材的局部、具体问题的教材时不能把着眼点只放在教材的局部、具体问题的分析上，而忽视对教材整体的把握，应该从整体和局分析上，而忽视对教材整体的把握，应该从整体和局部两个方面入手，找准教材的衔接点，从而明确教材部两个方面入手，找准教材的衔接点，从而明确教材编写的来龙去脉以及各知识点在教材中的地位和作用。编写的来龙去脉以及各知识点在教材中的地位和作用。 案例案例1：如初一：如初一“负数负数”应放在整个初中去分析，应放在整个初中去分析，既是小学既是小学“非负数非负数”的衔接，也把数系扩充到整的衔接，也把数系扩