材料力学-弯曲应力1

1、第7章弯曲应力弯曲应力回顾与比较内力内力NFA应力应力xpMIFAyFQM?1、纯弯曲 梁段CD上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲7.1 梁弯曲时的正应力梁弯曲时的正应力1）纯弯曲及横力弯曲2）纯弯曲时的现象b ) 纵向线弯曲成弧线并有伸缩, 只有一层纤维不发生伸缩。中性层:纵向纤维不发生伸缩的面.中性轴:中性层与横截面的交线.a ) 横向直线仍然保持为直线,绕 某轴转动,仍然与纵向线垂直。 3）根据上述现象，可提出如下假设： a. 平面假设：变形前横截面是平面，变形后仍是平面，只平面假设：变形前横截面是平面，变形后仍是平面，只是转过一个角度，仍垂是转过

2、一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。直于变形后梁的轴线。 b. 各纵向纤维间无正应力假设：梁由无数纵向纤维组成，各各纵向纤维间无正应力假设：梁由无数纵向纤维组成，各纤维只受拉伸或压缩，不存在相互挤压纤维只受拉伸或压缩，不存在相互挤压。 为了研究纯弯曲梁横截面上的正应力分布规律及计算，为了研究纯弯曲梁横截面上的正应力分布规律及计算，要综合考虑变形的几何关系，物理关系及静力平衡关系。要综合考虑变形的几何关系，物理关系及静力平衡关系。 dx1）变形几何关系）变形几何关系2、正应力推导正应力推导oo2）物理关系）物理关系胡克定理胡克定理EyEdxdxdxb bbb 1）变形几何关系）变形几何关系3）静力

3、学条件）静力学条件yE结论:中性轴通过形心,与形心轴重合.对z轴静矩为零yEz1MEI结论: y、z轴为形心主轴惯性积为零正应力公式：正应力公式：变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系yEyE静力学关系静力学关系Z1EIMZIMy为梁弯曲变形后的曲率为梁弯曲变形后的曲率1为曲率半径为曲率半径正应力分布正应力分布ZIMymaxmaxzMyImaxzMWzzmaxIWyminzMWmaxminMzyCxy- - 抗弯截面模量抗弯截面模量常见截面的常见截面的 Iz 和和Wz矩形截面矩形截面:空心矩形截面空心矩形截面:2zAIy dAzzmaxIWy3z12bhI 2z6bhW 3300z1212b

4、 hbhI 3300z0()/(/2)1212b hbhWh常见截面的常见截面的 Iz 和和Wz圆截面：圆截面：空心圆截面：空心圆截面：2zAIy dAzzmaxIWy4z64dI3z32dW44z(1)64DI34z(1)32DW常见型钢截面：常见型钢截面：见 P.264274 各类型钢表各类型钢表7.2 弯曲正应力强度计算1、横力弯曲时的正应力1）横力弯曲2）横力弯曲正应力公式z( )M x yI 弹性力学精确分析表明，弹性力学精确分析表明，当跨度当跨度 l 与横截面高度与横截面高度 h 之之比比 l / h 5 （细长梁）时，（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力纯弯曲正应力公式对于横力

5、弯曲近似成立，有：弯曲近似成立，有：适用范围：适用范围： （1）细长梁的纯弯曲或横力弯曲；（2）横截面惯性积 Iyz = 0；（3）弹性变形阶段2、梁弯曲的最大正应力任一横截面上的最大正应力全梁的最大正应力1) 等直梁zIMymaxmaxzIyMmaxmaxmaxzWMmaxmaxmaxyIWzz3) 无水平对称轴的梁max1,maxtzMyImax2,maxczMyI最大弯曲拉应力最大弯曲压应力y2y1yz拉压 2) 变截面梁:综合考虑M 和 确定zIymax3、弯曲强度条件maxmaxzWMmax1,maxttzMyImax2,maxcczMyI（2）特殊截面且材料抗拉压强度不等的构件：（

6、1）常用弯曲强度条件：BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K1 1）C 截面上截面上K点正应力点正应力2 2）C 截面上截面上最大最大正应力正应力3 3）全梁全梁上上最大最大正应力正应力4 4）已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径 FQx90kN90kNmkN605 . 0160190CM1) 求支反力求支反力90kNAyByFF3354z0.12 0.185.832 10 m1212bhI33CKK5z618060 10(30) 1025.832 1061.7 10 Pa61.7MPaMyI 解：解：例题例题 图示矩

7、形截面梁，试确定：图示矩形截面梁，试确定：BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FQx90kN90kN2) C 截面最大正应力C 截面弯矩mkN60CMC 截面惯性矩54z5.832 10 mImaxmaxz335618060 101025.832 1092.55 10 Pa92.55MPaCCMyIBAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FQx90kN90kN3) 全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩mkN5 .67maxM截面惯性矩截面惯性矩45m10832. 5zImax

8、maxmaxz335618067.5 101025.832 10104.17 10 Pa104.17MPaMyIMxm67.5kN8/2ql FQx90kN90kN4）C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩mkN60CMC 截面惯性矩截面惯性矩54z5.832 10 mI95ZC3C200 105.832 1060 10194.4mEIMEIM1由由BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K例题例题 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知,kN5 .62,m16. 0,m267. 0,1302Fbammd材料的许用

9、应力材料的许用应力.MPa60mm1601d1 1）计算简图）计算简图解：解： zIyMmaxmaxmax（a a）（b b）弯矩）弯矩 最大的截面最大的截面M（c c）抗弯截面系数）抗弯截面系数 最最 小的截面小的截面zW zWMmaxmax2 2）绘弯矩图）绘弯矩图FaFb3 3）分析危险截面分析危险截面B截面，截面，C右右截面需校核截面需校核4 4）强度校核）强度校核B截面：截面： max331662.5 267 320.163241.5 10 Pa41.5MPaBzBMFadW 6max33262.5 160 3246.4 10 Pa46.4MPa0.1332CzCMFbdWC截面：截

10、面：5 5）结论）结论: :满足强度条件满足强度条件FaFb分析分析, ,计算计算 。（1 1）确定危险截面）确定危险截面maxM（3 3）计算）计算 ，选择工，选择工 字钢型号字钢型号zW例题例题 某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重自重材料的许用应力材料的许用应力MPa,140kN,7 . 61F,kN502F 起重量起重量跨度跨度m,5 . 9l试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。 zWMmaxmax（2 2）（4 4）选择工字钢型号）选择工字钢型号（3 3）根据）根据 zWMmaxmax计算计算 3max6633(6.

11、750) 109.54140 10962 10 m962cmzMW（1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图解：解：36c36c工字钢工字钢3cm962zW作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面ccttmax,max,要同时满足要同时满足分析：分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置例题例题 T T型截面梁，截面尺寸如图示；型截面梁，截面尺寸如图示；试校核梁的强度。试校核梁的强度。 MPa,60,MPa30ct80 20120 208080 20 120 2052mmcy （-10）（-）（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯

12、性矩的惯性矩462323m1064. 728120201212020422080122080zI（1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：（4 4）B 截面校核截面校核 ttMPa2 .27Pa102 .271064. 710521046633max, ccMPa1 .46Pa101 .461064. 710881046633max,（3 3）作弯矩图）作弯矩图kN.m5 .2kN.m4（5 5）C 截面计算截面计算 ttMPa8 .28Pa108 .281064. 71088105 . 26633max,B 截面校核结果：截面校核结果： ttMPa2 .27max, ccMPa1

13、.46max,kN.m5 .2kN.m4 C 截面要不要校核？截面要不要校核？ 结论：满足强度条件结论：满足强度条件 简要分析危险位置？简要分析危险位置？Mmax=Fa =12kNm2）选择截面尺寸解出：h = 2b = 244mm由强度条件62maxmaxmaxbhMWMz及2bh例题 已知: F =10kN, a =1.2m, =10MPa，h:b =2；试确定:梁的截面尺寸。mmMb122233选用125250mm2 的矩形截面解:1）作弯曲图，确定最大弯矩：FF3FABEChbaaaaDM 图FaFa(+)(-)2Fa(-)(66222bdbMbhMWMzzzz03)(dddd2232

14、bdbbdbbWzd33b222232dbdh2bh * *例题 将直径为d的圆木锯成矩形截面梁，受力及尺寸如图所示；试求下列两种情形下h 与b 的比值。1）横截面上的最大正应力尽可能小；2）曲率半径尽可能大。 （正应力尽可能小）解：解：1） 正应力尽可能小MMzzzEIM112123223hhdbhIz0ddhIz2243dh222241dhdb3bh ，得 （曲率半径尽可能大）2）曲率半径尽可能大7.4 梁弯曲时的剪应力梁弯曲时的剪应力 a) 在有剪应力存在的情形下，弯曲正应在有剪应力存在的情形下，弯曲正应力公式依然适用；力公式依然适用；b) 剪应力方向与剪力的方向相同，并沿截剪应力方向与

15、剪力的方向相同，并沿截面宽度方向剪应力均匀分布面宽度方向剪应力均匀分布（对于狭长的矩（对于狭长的矩形截面适用）。形截面适用）。 在上述前提下，由平衡直接确定横截面在上述前提下，由平衡直接确定横截面上的剪应力，而无须应用上的剪应力，而无须应用“变形、物理及平衡变形、物理及平衡关系关系”推导。推导。1、矩形截面剪应力矩形截面剪应力lABF(+)(-)QF图bh分析方法（截面法）：分析方法（截面法）：1) 1) 沿沿 mm，nn 截面截开，截面截开， 取微段取微段dx。mmnndxmmnnQFQFMM+dMmmnn12kl图M(+)mn12kl2) 2) 沿沿kl 截面截开，根据剪应力的互等定理：截

16、面截开，根据剪应力的互等定理： dx 很小，在很小，在 kl 面上面上 可认为均布。可认为均布。 1NF2NFQF120NQNFFF3) 列平衡方程，由列平衡方程，由 ：0 xF即即0)(2121AAdAbdxdA( )a而而,11zIMyzIydMM12)(代入得式代入得式( (a) )得：得：01111AzAzdAyIdMMbdxdAyIM11AzdAyIdMbdx*zSzzbISdxdM*QF*QzzF SbI式中：式中： Q 横截面上剪力横截面上剪力 需求剪应力处，水平线以下（或以上）部分需求剪应力处，水平线以下（或以上）部分 面积对面积对中性轴的静矩。中性轴的静矩。 *zS*A整个横

17、截面对中性轴的惯性矩。整个横截面对中性轴的惯性矩。 zIb 需求剪应力处横截面宽度。需求剪应力处横截面宽度。 *zzQSI b 在在 处，处， 在在 处，剪应力最大，即：处，剪应力最大，即： 2hy 0; 0y max3322QQbhA 最大剪应力是平均剪应力最大剪应力是平均剪应力 的的 1.5倍。倍。 QA 平平从上式可知，剪应力分布是沿从上式可知，剪应力分布是沿梁的高度按抛物线规律分布梁的高度按抛物线规律分布.2233(4)2Qhybh 2、工字形工字形截面梁的弯曲剪应力截面梁的弯曲剪应力翼缘翼缘1）腹板）腹板*( )QzzF SyI)(yz腹板腹板式中式中: (y)：截面上距中性轴：截面

18、上距中性轴 y 处的剪应力处的剪应力 ： y 处横线一侧的部分面积对中性轴的静矩处横线一侧的部分面积对中性轴的静矩*zS ：整个截面对中性轴的惯性矩：整个截面对中性轴的惯性矩zI ：y 处的宽度处的宽度 y 腹板上的剪应力呈抛物线变化，腹板部分的腹板上的剪应力呈抛物线变化，腹板部分的剪应力合力占总剪力的剪应力合力占总剪力的9597%。,maxmaxQzzF SI,max(/)QzzFIS2）最大剪应力）最大剪应力3、其它形状其它形状截面梁的最大剪应力截面梁的最大剪应力1）圆截面）圆截面max43QFA2) 圆环截面圆环截面zyQFmaxmax2QFA21K环形圆形工字形矩形 截面系数34233

19、）各种截面的最大剪应力 统一表达式：mKmax4、剪应力强度条件剪应力强度条件,maxmaxmax() QzzF SI在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：1 1）对于细长梁的弯曲变形，正应力）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应力的强度的强度条件是主要的，剪应力的强度条件是次要的。但对于较粗短的梁，条件是次要的。但对于较粗短的梁，当集中力较大时，截面上的剪力较大当集中力较大时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁及胶合而弯矩较小，或是薄壁截面梁及胶合梁等等时，则需同时校核正应力强度梁等等时，则需同时校核正应力强度及剪应力强度。及剪应

20、力强度。在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：例题 图示梁，已知:F、 l 、b 、h；求:1） max= ? 2） max:max = ?2）计算最大剪应力FABl/2l/2C2FFmaxQ4FlMmaxmaxmax3324QFFAbhhb(-)(+)FQ图2F2F解: 1）作剪力图和弯矩图，确定最大剪力和最大弯矩：(+)M图4Fl4）比值22zmaxmaxbh2Fl36bh4FlWM3）计算最大正应力l2hFl3bh2bh4F32maxmax%10101522maxmaxhhlh示例：l = 5h4FlMmaxmax34FbhFABl/2l/2Chb(

21、-)(+)FQ图2F2F(+)M图4Fl例题例题 悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可剪。胶合面的许可剪应力为应力为0.34MPa，木材的，木材的= 10 MPa，=1MPa，求其许可，求其许可载荷。载荷。 21maxmax6bhlFWMz1) 1) 画梁的剪力图画梁的剪力图 和弯矩图和弯矩图2) 2) 按正应力强度条件按正应力强度条件 计算许可载荷计算许可载荷 QF FM Fl 27291101003.75kNbhFl max23/23/2QFAFbh3) 3) 按剪应力强度条件计算许可载荷按剪应力强度条件计算许可载荷

22、kN01N100003/101501001023/2662 bhF Fl100505050z解：解： 2*33g343312QZgzhFbF SFbhI bbhb4）按胶合面强度条件计算许可载荷按胶合面强度条件计算许可载荷 3.825kNN382541034. 010150100343663 gbhF 5 5）梁的许可载荷为）梁的许可载荷为 3.75kNkN825. 3kN10kN75. 3minmin iFFFl100505050M FlzQF F解：1)计算支反力，作剪力图和弯矩图2）根据最大弯矩选择工字钢型号查型钢表，选用22a工字钢试选择适用的工字钢型号例题* * 简支梁AB如图示。l =2m，a=0.2m；梁上的