数字butterworth滤波器的设计与实现

1、课程设计任务书学生姓名： 专业班级： 指导教师： 工作单位： 题 目: 数字Butterworth滤波器的设计 初始条件：1. Matlab软件；2. 课程设计辅导资料：“Matlab语言基础及使用入门”、“信号与系统”、“数字信号处理原理与实现”、“Matlab及在电子信息课程中的应用”等；3. 先修课程：信号与系统、数字信号处理、Matlab应用实践及信号处理类课程等。 要求完成的主要任务：（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1. 课程设计时间：1周；2. 课程设计内容：数字Butterworth滤波器的设计，具体包括：基本Butterworth滤波器的设计，数字高

2、通、带通滤波器的设计，冲激响应不变法和双线性变换法的应用等；3. 本课程设计统一技术要求：研读辅导资料对应章节，对选定的设计题目进行理论分析，针对具体设计部分的原理分析、建模、必要的推导和可行性分析，画出程序设计框图，编写程序代码（含注释），上机调试运行程序，记录实验结果（含计算结果和图表），并对实验结果进行分析和总结，按要求进行实验演示和答辩等；4. 课程设计说明书按学校“课程设计工作规范”中的“统一书写格式”撰写，具体包括： 目录； 与设计题目相关的理论分析、归纳和总结； 与设计内容相关的原理分析、建模、推导、可行性分析； 程序设计框图、程序代码（含注释）、程序运行结果和图表、实验结果分析

3、和总结； 课程设计的心得体会（至少500字）； 参考文献（近5年的、不少于5篇）； 其它必要内容等。时间安排：1周附具体设计内容：1. 低通巴特沃斯模拟滤波器设计。设计一个低通巴特沃斯模拟滤波器：指标如下：通带截止频率：=3400HZ, 通带最大衰减：=3dB 阻带截至频率：=4000HZ，阻带最小衰减：=40dB2. 模拟低通转换为数字低通滤波器已知一模拟滤波器的系数函数为 分别用冲激响应不变法和双线性变换法将转换成数字滤波器系统函数，并图示和 的幅度相应曲线。分别取采样频率1000Hz和500Hz，分析冲激响应法中存在的频率混叠失真和双线性变换法存在的非线性频率失真等。3.设计一个10阶的

4、Butterworth滤波器，通带为100250Hz，采样频率为1000Hz，绘出滤波器的单位脉冲响应。指导教师签名： 年 月 日系主任（或责任教师）签名： 年 月 日 目 录1 设计总体思路12 低通巴特沃斯模拟滤波器设计22.1 MATLAB提供的设计函数22.1.1巴特沃斯滤波器阶数选择函数22.1.2 完整的巴特沃斯滤波器滤波器设计函数22.2 设计步骤32.3 MATLAB程序及运行结果32.4 结果分析43 模拟低通转换为数字低通滤波器设计63.1冲激响应不变法63.2 双线性变换法63.3 MATLAB提供的设计函数73.4 MATLAB程序及运行结果73.5 结果分析94 设计

5、10阶巴特沃斯滤波器104.1设计原理分析104.2 matlab 设计程序及运行结果104.3 结果分析115 心得体会126 参考文献131 设计总体思路IIR数字滤波器的设计，主要采用间接法，即：首先设计出低通模拟滤波器H(S)；进行频率变换，将其转换为高通、带通、带阻滤波器；再用脉冲响应不变法或双线性变换法从模拟滤波器转换为数字滤波器。对单极点的N阶H(S)用部分展开式： 冲激响应不变法取H(S)的单阶极点Sk的指数函数作为H（Z）的极点双线性变换法是用代换H（S）中的S得到H(Z),双线性变换法可完全消除频率混叠失真但存在非线性频率失真，而冲激响应不变法存在混叠失真。在不同的设计阶段

6、MATLAB的信号处理工具箱都给出了相应的滤波器设计函数，这些函数代表了不同类型的逼近函数的滤波器，常用的有巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器类型。数字高通带通带阻滤波器归一化模拟低通原型模拟高通带通带阻滤波器 模拟域 冲激响应不变法 频率变换 双线性变换法图1.1 设计整体思路2 低通巴特沃斯模拟滤波器设计2.1 MATLAB提供的设计函数2.1.1巴特沃斯滤波器阶数选择函数（1）求最小阶数N的函数buttord调用格式1：N, Wn = BUTTORD(Wp, Ws, Rp, Rs, 's') 功能：求出巴特沃斯模拟滤波器的最小阶数N和频率参数Wn 说明：Wp, W

7、s,为通带截止频率和阻带截止频率如式所示；，Rp, Rs为通带最大衰减 Apass(dB)和阻带最小衰减Astop(dB)如式's'对应模拟滤波器。（2）模拟低通滤波器设计函数buttap 调用格式：Z,P,K = BUTTAP(N) 功能：按给定的阶数N设计出巴特沃斯模拟低通滤波器 说明：Z,P,K为返回的N阶模拟滤波器的零、极点和增益系数。如：其中k为增益常数，zj和pi为系统函数H(Z)的N个零点和N个极点。2.1.2 完整的巴特沃斯滤波器滤波器设计函数（1）合为一步的数字滤波器设计函数butter调用格式1：B,A = BUTTER(N,Wn)功能：设计N阶低通数字滤波

8、器，系数矢量B，A按Z的降幂排列，当Wn为二元矢量时，Wn = W1 W2，返回一个2N阶带通滤波器，通带范围：W1 < W < W2。调用格式2：B,A = BUTTER(N, Wn, 'high') 设计高通数字滤波器.调用格式3：B,A = BUTTER(N, Wn, 'stop') 设计带阻滤波器 Wn = W1,W2.调用格式4：Z,P,K = BUTTER(N,Wn) 返回低通数字滤波器的N阶零、极点矢量.（2）幅频响应FREQS 调用格式： H,W = FREQS(B,A,M) 功能：此函数可以求出系统频率响应的数值解，并列出此系统的幅

9、 频及相频响应曲线。2.2 设计步骤（1） 确定滤波器设计指标通带内截止频率wp、阻带内截止频率 ws、通带内最大衰减 rp、阻带内最大衰减 rs。（2） 运用函数buttord计算巴特沃斯滤波器的阶数N和归一化3db截止频率。（3） 运用函数butter求得低通滤波器的系统函数的分子分母多项式形式。（4） 作图显示滤波器的幅频特性和相频特性。2.3 MATLAB程序及运行结果巴特沃兹滤波器的幅频响应图subplot(1,2,1)； 分两个窗口，幅频图在第一个窗口wp=1000;ws=2000;rp=3;rs=40; 设置指标N,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,'s

10、9;) 计算巴特沃斯低通滤波器的阶数和3dB截止频率B,A=butter(N,wn,'s'); 代入N和Wn设计巴特沃斯模拟低通滤波器Z,P,K=buttap(N); 计算滤波器的零、极点 h,w=freqs(B,A,1024); 计算1024点模拟滤波器频率响应h，和对应的频率点wplot(w,20*log10(abs(h)/abs(h(1) 画频率响应幅度图grid;xlabel('频率Hz');ylabel('幅度（dB）');给x轴和y轴加标注title('巴特沃斯幅频响应') 给图形加标题axis(0,3000, -40

11、,3);line(0,2000,-3,-3); %为方便观察加上线条line(1000,1000,-40,3);图2.1 低通巴特沃斯模拟滤波器2.4 结果分析巴特沃斯低通滤波器的特点是具有通带内最大平坦的幅度特性，而且随着频率的升高而单调地下降。它的平方幅度响应为其 中 ， n为整数，称为滤波器的阶数，n值越大通带和阻带的近似性越好，过渡带也越陡。为低通滤波器的截止频率。该滤波器具有一些特殊的性质 ： 对所有的 n ， 都有 当 =0时 ，=1 ； 对所有的 n ， 都有 当 =时 ，=，即在处有3dB的衰减； 是的单调递减函数 ，即不会出现幅度响应的起伏； 当 n时 ， 巴特沃斯滤波器趋向

12、于理想的低通滤波器 ； 在 =0处平方幅度响应的各级导数均存在且等于0， 因此在该点上取得最大值， 且具有最大平坦特性。3 模拟低通转换为数字低通滤波器设计3.1冲激响应不变法 冲激响应不变法是使数字滤波器的单位冲激响应序列模仿模拟滤波器的单位冲激响应，将模拟滤波器的单位冲激响应加以等间隔抽样，使正好等于的抽样值，即满足：式中：T为抽样周期。 冲激不变法把稳定的转换为稳定的。由此方法可得到一阶系统的最基本的转换关系为：3.2 双线性变换法双线性变换法式使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法，为了克服多值映射这一缺点，先将s平面压缩成s1平面上一个宽度为2/T的水平带状区

13、域，然后通过将这个带状区域映射到整个z平面，实现s平面到z平面的单值映射。图3.1 S平面到Z平面映射关系 其S平面到Z平面的单值映射关系如下：3.3 MATLAB提供的设计函数模拟数字变换函数双线性变换函数bilinear或脉冲响应不变法函数impinvar调用格式：NUMd,DENd = BILINEAR(NUM,DEN,Fs)² 功能： 把模拟滤波器系数为NUM,DEN变为近似等价的数字滤波器系数为NUMd,DENd调用格式：BZ,AZ = IMPINVAR(B,A,Fs)² 功能：设计出数字滤波器其单位抽样响应h(n)为模拟滤波器的单位冲激响应h(t)的采样值，采样

14、频率为Fs² 说明：B,A为模拟滤波器的系统函数H(S)的分子和分母多项式的系数，如下所示：B=b1,b2,bm,bm+1,A=a1,a2,an,an+13.4 MATLAB程序及运行结果b=1;a=1,1000;w=0:1000*2*pi;%模拟频率为2f，其中f取01000Hzh,w=freqs(b,a,w);%计算模拟滤波器的频率响应subplot(2,2,1)plot(w/2/pi,abs(h)/abs(h(1);grid;%画模拟滤波器幅频特性title('模拟频率响应');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度'

15、;); fs0=1000,500;for m=1:2;Fs=fs0(m);bz,az=impinvar(b,a,Fs); %冲激响应不变法设计数字滤波器 bzl,azl=bilinear(b,a,Fs); %双线性变换法设计数字滤波器wz=0:pi/512:pi;hz1=freqz(bz,az,wz);hz2=freqz(bzl,azl,wz);subplot(2,2,2);plot(wz/pi,abs(hz1)/hz1(1);grid;%画出冲激响应不变法滤波器的幅频图，hold on;axis(0,1,0,1) %数字频率wz归一化为01title('冲激响应不变法数字频率响应&#

16、39;) subplot(2,2,3);plot(wz/pi,abs(hz2)/hz2(1);grid; %画出双线性变换法滤波器的幅频图，hold on;axis(0,1,0,1) %数字频率wz归一化为01title('双线性变换法数字频率响应');end;图3.1 模拟滤波器转换为数字滤波器3.5 结果分析冲激响应不变法使得数字滤波器的h(n)能完全模仿模拟滤波器的h(t)，即时域逼近良好；而且模拟频率和数字频率之间呈线性关系，因此频率之间不存在失真。但是由于映射简单的代数映射，根据奈奎斯特抽样定理，只有当模拟滤波器的频率响应是严格限带的，且带限于折叠频率以内时，才能使数

17、字滤波器的频率响应在折叠频率以内，重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失真。但是，任何一个实际的模拟滤波器响应都不是严格限带的，变换后都会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，因此模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上衰减越大、越快，变换后频率响应混叠失真就越小。冲激响应不变法的主要优点是h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好；线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器。缺点为对时域的采样会造成频域的“混叠效应”，故有可能使所设计数字滤波器的频率响应与原来模拟滤波器的频率响应相差很大，故不能用来设计高通和带阻滤波器。只适用于限带的低通、带通滤波器。双线性变换法最大的优

18、点是避免了频率响应的混叠失真。如仿真波形图可知，在零频率附近，的频率变换关系接近线性关系外，当增加到高频段时，变换关系就是非线性的了，也就是说，与之间存在严重的非线性关系。这就是双线性变换法存在的非线性频率失真。它的主要优点是避免了频率响应的混迭失真现象，在特定数字滤波器和特定模拟滤波器处，频率响应是严格相等的，它可以较准确地控制截止频率的位置。此外，由于它是一种简单的代数关系，故设计十分方便。但缺点在于，在高频段，与之间严重非线性，即线性相位模拟滤波器变为非线性相位数字滤波器；其次这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变，对于分段常数型AF滤波器，经双线性变换后，仍

19、得到幅频特性为分段常数的DF.但在各个分段边缘的临界频率点产生畸变，这种频率的畸变，可通过频率预畸变加以校正。4 设计10阶巴特沃斯滤波器4.1设计原理分析由题目可知，要求设计一个10阶的带通的巴特沃斯滤波器，理论上所用的方法可以是先设计出模拟低通滤波器，再转变成数字带通滤波器。然而，这里我们可以直接利用butter函数直接设计IIR数字带通滤波器。用于设计高通、带通或带阻滤波器，并由参数ftype确定滤波器的形式。当ftype（2）=band (默认值) 时，为带通滤波器，此时Wn=wl wh，则返回的b，a 所构成的滤波器是阶次为2N的带通滤波器，带通范围为：。4.2 matlab 设计程序及运行结果 n=10;Wn=100 250/1000;b,a=butter(n,Wn);y,t=impz(b,a,101);stem(t,y)图4.1 十阶巴特沃斯数字滤波器4.3 结