数学建模之传染病模型教学内容

1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除第五章微分方程模型如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型.§1传染病模型建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位.一.SI模型假设条件：1. 人群分为易感染者 ( Susceptible ) 和已感染者 ( Infective ) 两类人， 简称为健康人和病人，

2、在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作s t 和 i t .2.每个病人每天有效接触的平均人数是( 常数 ) ，称为日接触率， 当病人与健康人有效接触时，使健康者受感染变为病人.试建立描述 i t 变化的数学模型.解：s ti t1s t Ni t NN由假设2 知，每个病人每天可使s t 个健康者变为病人，又由于病人数为N i t ，每天共有s t N i t 个健康人被感染.于是N si 就是病人数N i 的增加率，即有N diN si(1)dtword 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除disi而 s i1.dt又记初始时刻 ( t0 ) 病人的比例为 i0 ，则diii

3、 1dti0 i 0这就是 Logistic模型，其解为i t1111 e ti0结果分析作出 i t t 和 di i 的图形如下：dtdiidtdi1dt m20t mt01i21.当 i1时， di取到最大值di，此时刻为2dtdtmtm1 ln11i02.当 t时， i1即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.二 .SIS 模型在前面假设1、2 之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型 .假设 1、

4、2 同 SI 模型，增加假设:3.病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为，称为日治愈率. 病人治愈后成为易感染者（健康人）. 显然1是这种传染病的平均传染期.解：在假设1、2、 3 之下，模型（ 1）修正为N diNsiN idtdiii 1 i于是dti 0i0解得1i 0i t11e1t,t,i 0结果分析1.令.注意到和 1的含义，可知是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数 .111i101i1i 011word 可编辑011资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除i00tt2.接触数1是一个阈值 .当1i t 越来越小，最终趋于零 .时，病人比例1时， i t 的增减性取决

5、于 i0 的大小，其极限值 i1当1.3. SI 模型是 SIS 模型中0的情形 .三 .SIR 模型大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者, 也非病人 , 他们已经退出传染系统，此时模型的假设为1. 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为SIR 模型 . 三类人在总人数N 中占的比例分别记作s i 、 i t 和 r t .1.2.病人的日接解率为，日治愈率为（与SIS模型相同） ，传染期接触数为.解：由假设1，有s tdsdidri tr t1dt0dtdtdrN i Ndi由假设 2，得 Nsi Ni Ndtdtword 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除dridt又设 s 0s0, i 0i0 , r 00disiidt于是diisidtds(2)sidti 0i0 , s 0s0我们在相平面上来讨论解的性质.相轨线的定义域