高中数学：13正弦定理、余弦定理及其运用课件必修五

1、正弦定理、余弦正弦定理、余弦定理及其运用定理及其运用 v一、考纲解读考纲解读v二、正弦定理及其变形二、正弦定理及其变形v三、余弦定理及其变形三、余弦定理及其变形v四、实际应用问题中的基本概念和术语四、实际应用问题中的基本概念和术语v五、例题讲解五、例题讲解v六、高考题再现六、高考题再现v七、小结七、小结本节课内容目录：一、考纲解读：一、考纲解读：在课标及在课标及教学要求教学要求中对正弦定理、余中对正弦定理、余弦定理的要求均为理解弦定理的要求均为理解(b)。在高考试题中。在高考试题中，出现的有关试题大多为容易题，主要考，出现的有关试题大多为容易题，主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进查正弦

2、定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变换的技能及运算能力，以化简、行恒等变换的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形形状为主。求值或判断三角形形状为主。二、正弦定理及其变形：二、正弦定理及其变形：sin,sin,sin222abcabcrrr2sinsinsinabcrabc2 sin,2 sin,2 sinara brb crcabcabc: :sin:sin:sina b cabc111sinsinsin222abcsbcaacbabc( 其中其中 r是是abc外接圆的半径）外接圆的半径）1、已知两角和任一边，求其他两边和一、已知两角和任一边，求其他两边和一角；角；(三角形形状唯一）三角

3、形形状唯一）2、已知两边和其中一边的对角，求另一、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。（三角形形状不一定唯一）边的对角。（三角形形状不一定唯一）解决题型：解决题型：三、余弦定理及其变形：三、余弦定理及其变形：2222222222cos2cos2cosabcbcabacacbcababcabcabc222222222cos;2cos;2cos.2bcaabcacbbacabccab解决题型：解决题型：1、已知三边，求三个角；（只有一解）、已知三边，求三个角；（只有一解）2、已知两边和它们的夹角，求第三边已知两边和它们的夹角，求第三边 和其他两个角。（和其他两个角。（只有一解）只有一解） 四

4、、实际应用问题中的基本概念和术语四、实际应用问题中的基本概念和术语v仰角和俯角是与目标视线在同一铅垂平面内仰角和俯角是与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，其中目标视的水平视线和目标视线的夹角，其中目标视线在水平线上方时叫仰角；目标视线在水平线在水平线上方时叫仰角；目标视线在水平线下方时叫俯角。线下方时叫俯角。v方位角：一般指北方向线顺时针转到目标方方位角：一般指北方向线顺时针转到目标方向线的水平角。向线的水平角。 abc2 ,ccbb则中，若中，若的范围是的范围是 。 例例1.在锐角在锐角sinsin22cossinsinccbbbbb解：由解：由sinsinbcbc得到得到

5、000002900 b45cbc2cos2,2bb则(某学生的解）某学生的解）五、例题讲解五、例题讲解错因分析：错因分析：v因为因为abc是锐角三角形，则要是锐角三角形，则要求求00090 ,a0000090 ,090 .bc前面解法忽视了对前面解法忽视了对a的讨论。的讨论。正确解答正确解答sinsin22cossinsinccbbbbb0000002900 b45a+b+c=180b又000a=180 -b-c=180 -3b90解：由解：由sinsinbcbc得到得到c2cos2, 3bb则0030 b45即即0abc,2,45 ,ax bb在中，x若这个三角形有两解，求若这个三角形有两解

6、，求的取值范围。的取值范围。例例2.xbcb22xba1a2d则以则以c为圆心，为圆心，2为半径画弧应与射线为半径画弧应与射线bd有两有两22,22 22xxx即解：如图作解：如图作2,2cdab cdx个交点，则要求个交点，则要求若合题意若合题意 的三角形有两个，的三角形有两个，,aabca b在中，已知和 时，解得情况如下：解得情况如下：a为锐角为锐角a为钝角或直为钝角或直角角图形图形 关系关系式式a=bsinabsinaab解的解的个数个数一解一解两解两解一解一解一解一解无解无解abababcbaabbc12abccba上表中上表中a为锐角时，为锐角时，sinabaa为直角时，为直角时，

7、,ab ab均无解。均无解。时，无解；时，无解；例例3.在在中中, ,已知已知, ,判定判定的形状。的形状。abc22()sin()abab22()sin()abababc解法一：原式可化为解法一：原式可化为 2222()sin()(sincoscossin)abcababab即：即： 2222222222()()22a acbb bcaababcaccbc整理得：整理得：222222222222(),1abababababcc即（） （）=0a b得：得：或或222abcabc即即是等腰三角形或是直角三角形。是等腰三角形或是直角三角形。解法二：原式可化为解法二：原式可化为 22(sinsin

8、)(sincossincos)ababba22(sinsin)(sincoscossin)ababab化简得：化简得：22sincossinsinsincos0aababbsinsin(sincossincos)0abaabb也即也即(0, ),(0, )sin0,sin0abab0sin2sin2 ,a=ba+b=90ab则即，或abc即即是等腰三角形或是直角三角形。是等腰三角形或是直角三角形。 判断三角形形状时，可以将边化到角也可以判断三角形形状时，可以将边化到角也可以将角化到边，或边角同时互化。在转化过程将角化到边，或边角同时互化。在转化过程 中，三角形边角具有的基本性质不能忘记。中，三

9、角形边角具有的基本性质不能忘记。0180如内角和为如内角和为，每个内角大于，每个内角大于000180小于等。等。点评：点评：03b 2bac. 且满足且满足 求证：求证：例四：例四：abca b c,a b c, ,内角内角的对边分别是的对边分别是22222cos222122acbacacbacacacacac(0, )b又03b 证明：证明：abc在中点评点评:本题通过基本不等式的运用构造不等关本题通过基本不等式的运用构造不等关系，再利用三角形的内角具有的范围，得到系，再利用三角形的内角具有的范围，得到结论结论.060例五、例五、如图所示，某海岛上一观察哨如图所示，某海岛上一观察哨a上午上午

10、12时时20分测得船在海岛北偏西分测得船在海岛北偏西12时时40分轮船到达位于海岛正西方且距海分轮船到达位于海岛正西方且距海如果轮船始终匀速直线前如果轮船始终匀速直线前的的b处，处， 11时测得一轮船在海岛北偏东时测得一轮船在海岛北偏东 的的c处，处， 0605km岛的的e港口，港口， 进，问船速多少？进，问船速多少？ 分析：分析：已知从已知从c到到b及及b到到e的时间，要知船速度，的时间，要知船速度，只需知道只需知道cb,be或或ce中的任一长度即可。中的任一长度即可。题中只知题中只知ae=5km，那么只要将已知长度的，那么只要将已知长度的边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三边长和需要计算

11、的那个边长纳入到同一个三角形中，或是通过间接的途径纳入到同一个角形中，或是通过间接的途径纳入到同一个三角形中，再通过正弦定理或余弦定理进行三角形中，再通过正弦定理或余弦定理进行计算即可。计算即可。解：轮船从解：轮船从c到到b用时用时80分钟分钟， 从从b到到e用时用时20 分钟，分钟， 而船始终匀速前进，由此而船始终匀速前进，由此 可见：可见： 4bceb，ebx4bcx0030 ,150baeeac设设，则，则，由已知得，由已知得 在在aec中，由正弦定理中，由正弦定理 sinsinsinsinecaeaeeacceaccec05sin150152xxabc0014sin4 32sin3si

12、n120sin12032xbcabbccxabc 在在中，由正弦定理得：中，由正弦定理得：abe22202cos30beabaeab ae在在中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：164 333131252 5,33233be 故所以船速所以船速3139313bevt 六、高考题再现：六、高考题再现： coscossin ,ab ba cc( 3, 1),(cos,sin),mnaa, ,abca b c为 ,mn1.（2008山东理）已知已知的对边，向量的对边，向量若若且且则角则角b= 三个内角三个内角,m0.mnn 得到分析：由分析：由转化为三角问题。转化为三角问题。2.（2009全国理）在在abc中，内角中，内角a、b、c的对边的对边 长分别为长分别为, , .abc已知已知222 ,sincos3cossin,acbacac且求求b.分析：求边长，考虑将角向边转化。分析：求边长，考虑将角向边转化。3.（2009浙江理）在在abc中，三个内角中，三个内角, ,a b c所对的边分别为所对的边分别为, , .abc且满足且满足cos2a2 5,3.5ab ac (1)求求abc的面积；的面积；（2