基于人口增长模型的数学建模

1、数学建模论文 题 目：人口增长模型的确定 专业、姓名： 专业、姓名： 专业、姓名： 人口增长模型 摘 要 随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。问题给出了17901980年间美国的人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每10年的人口数的变化。预测美国未来的人口。对于问题我们选择建立Logistic模型(模型2)现实中，影响人口的因素很多，人口也不能无限的增长下去，Logistic 模型引进常数N 表示自然资源和环境所能承受的最大人口数，因而得到了一个贝努利方程的初值问题公式，从实际效果来看，这个公式较好

2、的符合实际情况的发展，随着时间的递增，人口不是无限增长的，而是趋近于一个数，这个即为最大承受数。我们还同时对数据作了深入的探讨，作数据分析预测，通过观测比较选择一个比较好的拟合模型（模型3）进行预测。预测接下来的每隔十年五次人口数量，分别为251.4949， 273.5988 ， 293.4904 ， 310.9222 325.8466。关键词：人口预测 Logistic模型 指数模型1、 问题重述1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。表1 人口记录表年份1790180018101820183018401850186018701880人口(´106)3.95.37

3、.29.612.917.123.231.438.650.2年份1890190019101920193019401950196019701980人口(´106)62.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。2、 问题分析人口预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长除了人口数与可利用资源外，还与医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因素有关. 可以采取

4、几套不同的假设，做出不同的预测方案，进行比较。人口预测可按预测期长短分为短期预测 (5年以下)、中期预测(520年)和长期预测(2050年)。在参数的确定和结果讨论方面，必须对中短期和长期预测这两种情况分开讨论。中短期预测中所用的各项参数以实际调查所得数据为基础，根据以往变动趋势可较准确加以估计，推算结果容易接近实际，现实意义较大。3、 问题假设1.在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害、突发事故或战争等而受到大的影响；2. 假设美国人口的增长遵循马尔萨斯人口指数增长的规则3. 假设人口增长不受环境最大承受量的限制4、 变量说明： 数据的起始时间，即1790年t： 时间r： 人口增长

5、率x¥：人口常数最大值5、 模型建立模型一 图一由图1可以发现美国人口的变化规律曲线近似为一条指数函数曲线，因此我们假设美国的人口满足函数关系x=f(t), f(t)=ea+bt，a,b为待定常数，根据最小二乘拟合的原理，a,b是函数的最小值点。其中xi是ti时刻美国的人口数。利用MATLAB软件中的曲线拟合程序“lsqcurvefit”。模型二上述模型对过去的统计数据吻合得较好，但也存在问题，即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小这是

6、因为，自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。而且人口最终会饱和，趋于某一个常数x¥，我们假设人口的静增长率为r(1-x(t)/x¥)，即人口的静增长率随着人口的增长而不断减小，当t®¥时，静增长率趋于零。按照这个假设，得到 (1)这便是荷兰数学家Verhulst于19世纪中叶提出的阻滞增长模型（logistic模型）。 利用分离变量法，人口的变化规律为： (2)利用MATLAB软件中的“lsqcurvefit”命令和函数(2) 来拟合所给的人口统计数据，从而确定出(2)中的待定

7、参数r和x¥。模型三从图5 看出，在前一段吻合得比较好，但在最上面，若拟合曲线更接近原始数据，对将来人口的预测应该更好。因此，把用函数(2)来拟合所给人口统计数据的评价准则略加修改，看效果如何。将拟合准则改为： 其中w为右端几个点的误差权重，在此处应该取为大于1的数，这样会使右边的拟合误差减小，相应的，其他点的误差会有所增加。如何才能使这些误差的增减恰当呢？可以通过调整w和n的具体取值，比较他们取各种不同值时的拟合效果，从而确定出一个合适的数值。6、 模型求解模型一图二a =0.0154 -25.1080x1 =279.0104x2 =325.6156x3 =380.0056x4 =

8、443.4808X5=517.5587模型二图三a =285.8931 0.0286x1=230.9149x2 =242.5078x3 =252.0148x4 =259.6639x5 =265.7242模型三图四a =388.7178 0.0260x1 =251.4949x2 =273.5988x3 =293.4904x4 =310.9222x5 =325.84667、 结果分析从图二可以看出，模型一对过去的统计数据吻合得较好，但也存在问题，即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量

9、以后，增长就会慢下来，即增长率变小这是因为，自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。而且人口最终会饱和，趋于某一个常数。这时模型二比较符合。从图三看，在前一段吻合得比较好，但在最上面，若拟合曲线更接近原始数据，对将来人口的预测应该更好。因而用将模型二进行改进后的模型三拟合，此时后面的值更为拟合，预测结果更为准确。所以，1990-2030年的人口预测数目为251.4949，273.5988，293.4904，310.9222，325.8466（百万），经过与1990,2000,2010的实际查找数据（251.4，281.

10、4,308.7）比较，误差较小，可以作为预测数据。8、 参考文献【1】姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出20039、 附录一function f=fun1(a,t)f=exp(a(1)*t+a(2);t=1790:10:1980;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 . 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5;plot(t,x,'-*');a0=0.001,1;a=lsqcurvefit('fun1',a0,t,x)ti

11、=1790:5:2040;xi=fun1(a,ti);hold onplot(ti,xi,.);t1=1990;x1=fun1(a,t1)t2=2000;x2=fun1(a,t2)t3=2010;x3=fun1(a,t3)t4=2020;x4=fun1(a,t4)t5=2030;x5=fun1(a,t5)hold off二x=1790:10:1980;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 . 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5;plot(x,y,'-*')

12、;a0=0.001,1;a=lsqcurvefit('fun3',a0,x,y)xi=1790:5:2040;yi=fun3(a,xi);hold onplot(xi,yi);t1=1990;x1=fun3(a,t1)t2=2000;x2=fun3(a,t2)t3=2010;x3=fun3(a,t3)t4=2020;x4=fun3(a,t4)t5=2030;x5=fun3(a,t5)hold off三function f=fun4(a)n=16;w=30;x=1790:10:1980;x1=x(1:n);x2=x(n+1:20);y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 . 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5;y1=y(1:n);y2=y(n+1:20);f=fun3(a,x1)-y1,w*fun3(a,x2)-w*y2;t=1790:10:1980;x=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 . 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5;plot(t,x,'-*');a0=300,0.03;a=ls