极化恒等式学生版教学资料

1、极化恒等式（学生版）精品资料课题：极化恒等式在向量问题中的应用学习目标目标1通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义；目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值；目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围; 目标2-3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。重点掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题难点根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式目标达成途径学习自我评价目标1:阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒 阅读以下材料：等于两条邻边平方和的 两倍证明：不妨设ABF*厦a,AD=- -+b,则AC

2、a b,DBab,22Tf 2T2* 2aCACabai 2ab ID(1)22 f 2Tm2*Is-十2DBDBabai 2ab ID(2)221 -I2(1)（2）两式相加得：ACDB2間引例：平行四边形是表 你能用向量方法证明：示向量加法和减法的几 何模型。 平行四边形的对角线的平方和D图1结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍 思考1:如果将上面（1）（ 2）两式相减，能得到什么结论呢？a b二1 a b a b极化恒等式4对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引 例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平

3、行四边形 1的“和对角线”与“差对角线”平方差的'.41 2 2即：a b 1 |ac|db| (平行四边形模式)4思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何 表示呢？亠 “ 2 1 2因为AC 2AM，所以a b AM - DB （三角形模式）4幽川标2-1：掌握用极化恒等式求数量积的值例1.（2012年浙江文15）在 ABC中，M是BC的中点AM 3,BC 10，则 AB AC.解：因为M是BC的中点，由极化恒等式得：6弓、，A._ -二 .|2 12 1 /AB AC |AM |BC =9-100 = -16 bMC【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在

4、于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。目标检测（2012北京文13改编）已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，贝V DE DA的值为目标2-2:掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围例2.（自编）已知正三角形 ABC内接于半径为2勺圆0,点P是圆0上的一个动点，则PA PB的取值范围是<解：取AB的中点D，连结CD,因为三角形ABC为Z7正三角形，所以 0为三角形ABC的重心，0在CD 上,（人且 OC 2OD 2，所以 CD 3，AB 2 J3（也可用正弦定理求 AB）A7 B又由极化恒等式得：- -| 2 1 2 2PA PB PD- ABPD3因为P在圆

5、O上，所以当P在点C处时，| PD |max 3当P在CO的延长线与圆O的交点处时，| PD |min 1所以 PA PB 2,6【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。目标检测（2010福建文11）若点O和点F分别为椭圆 午 弋 1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，贝VOP FP的最大值为（）A.2B.3C.6D.8问题、疑惑、错解汇集能力提升目标2-3:会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题恒有 PB PC P0B "PC。J o例3.（ 2013浙江理7）在 ABC中,Po是边AB上一定点，

6、满足1PoB ' AB，且对于边AB上任一点P， 4()A. ABC 90： B. BAC 90；C. AB ACD. AC BC目标检测（2008浙江理9）已知a,b是平面内2个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a c） （b c）0,则c的最大值是（）L 占A.1B.2 C. 2 D.2问题、疑惑汇集知识、方法总结本课的主要学习内容是什么？极化恒等式：平行四边形模型：三角形模型：极化恒等式在处理与 关问题时，显得较有优越性。课后检测1.在 ABC中， BAC 60：若AB 2， BC *3，D在线段AC上运动，DB DA的最仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢8小值为2.已知

7、AB是圆O的直径，AB长为2, C是圆O上异于A,B的一点，P是圆O所在平面上 任意一点，则pA pb PC的最小值为(111A.1B.1C.1432D.3 3，AC；'的最大值为60，若P是 ABC所在平面内一点，且3. 在 ABC 中 ABAP 2，则 PB PC 的4. 若点O和点F( 2,0)分别是双曲线X2 右支上任意一点则 oP fP5. 在Rt ABC，AC BC 2，已知点P是 ABC内一点，贝U PC (PA PB)的最小 值是6. 已知A、B是单位圆上的两点，点C在圆内，且满足OC OAABC边长等于3，点P在其外接圆上运动，贝U3 32,2BACy2 1(a 0)的中心和左焦点，点P为双曲线O为圆心，且(1)OB(0AOB 120&#