线性方程组解的判定

1、3.3 线性方程组解的判定在上一节中,我们利用实例讨论了线性方程组解的各种情况,分析以上解方程组的过程,可以得到用消元法解线性方程组的一般步骤：写出线性方程组（1）的增广矩阵.（一）设,否则,将的第1行与另一行交换,使第一行第一列的元素不为0.(二) 第一行乘以()再加到第行上(),使化成如下形式对这个矩阵的第二行到第行,再按以上步骤进行,最后可以得到如下形状的阶梯型矩阵其中注意到增广矩阵去掉最后一列就是系数矩阵，此时系数矩阵也经过同样初等行变换化为阶梯型矩阵.容易看出, 增广矩阵的秩与系数矩阵的秩.以下分析与之间的关系,确定方程组有解的充分条件.方程组(1)相应的阶梯型方程组为（2）其中从上

2、节讨论可知,方程组(2)与原方程组(1)是同解方程组.由(2)可见,化为“”形式的方程是多余的方程，去掉它们不影响方程组的解.我们只需讨论阶梯型方程组(2)的解的各种情形,便可知道原方程组(1)的解的情形.根据初等变换不改变矩阵秩的性质,有显然,当方程组(2)中,则(2)中的第个方程 “”是矛盾方程，所以方程组(2)无解，从而原方程组(1)也无解.如果方程组(2)中,又有以下两种情况：1. 当时，方程组（2）可以写成 （3）因为，则满足：依据克莱姆法则，方程组有唯一解.对于上述等价方程组（3）的解，除了利用克莱姆法则求解外，我们还可以从方程组(3)的最后一个方程中解出,再回代到第个方程,求出.

3、如此继续下去,则可求出未知量.(2)当时,方程组(2)可改写成(4)同样对它进行回代过程,则可求出含有个未知量的表达式(5)由此可见,任给个未知量的一组值,就可定出的值,从而得到(4)或(1)的一个解.如果取,其中为任意常数,则方程组(4)有如下无穷多组解：（6）这是（4）的无穷多解的一般形式，也是（1）的无穷多解的一般形式. 个未知量可称为自由未知量.以上解还可以表达为向量形式：=+(5)也称(5)式为方程组(1)的解向量.综上所述,可得线性方程组解的判定理论.定理1 以为系数矩阵的元线性方程组,若记增广矩阵为,则(1) 若,则线性方程组有唯一一组解;(2) 若,则线性方程组有无穷多组解;且

4、有个自由未知量;(3) 若,则线性方程组有无解.例1 已知线性方程组1. 求增广矩阵与系数矩阵的秩； 2. 判别线性方程组解的情况，如果有解，则求出其解. 解 1) 对增广矩阵作初等行变换,化成阶梯型矩阵,可以同时得到增广矩阵与系数矩阵的秩.解法如下:           则 秩.2) 因为,所以此线性方程组有唯一一组解.对所得阶梯型矩阵再作初等行变换化成行最简型,有              所以此方程组的唯一解为1. 求解

5、线性方程组 解 对增广矩阵作初等行变换,化成行最简型.            因为,所以,方程组有无穷组解.与原方程组同解的线性方程组为:将含未知量的项移到等式的右端,得设未知量,得方程组得通解为(为任意常数)方程组得解也可以表示为向量形式:例3 求解线性方程组解 对增广矩阵作初等行变换,化成行最简型       因为 所以,方程组无解.例4 取何值时,线性方程组有解,并求其解.解  当时,方程组有唯一解当时, ,方程组有无穷多解.设(为任意常数),于是得

6、到方程组得通解为也可表示为向量得形式:例5 为何值时线性方程组1) 有唯一组解; 2) 有无穷组解; 3) 无解.解 对增广矩阵施以初等行变换                       =1) 当且时, ,线性方程组有唯一一组解;2) 当时, ,线性方程组有无穷多组解;3) 当时, 线性方程组解.1. 齐次线性方程组 当线性方程组(1)的常数项均为零时,这样的方程组称为与线性方程组(1)对应的齐次方程组.

7、其一般形式为（6）其中 为系数矩阵，为常数项矩阵.则（6）式可写成向量方程（7）当然,增广矩阵由于增广矩阵的最后一列元素全为零,显而易见恒有依据定理1,齐次线性方程组有解.若,则方程组(7)有唯一一组解,即有且只有零解；若，则方程组（7）有无穷组解，也就是除了零解外，还有非零解.上述结果可以叙述为如下定理定理2 对于个方程个未知量的齐次线性方程组,则有1）若秩,则齐次线性方程组有非零解；2）若秩,则齐次线性方程组只有零解.推论 当方程的个数小于未知量的个数,即时,则齐次线性方程组有非零解.对于个未知量个方程构成的齐次线性方程组(7),根据克莱姆法则,当系数行列式值等于零时,也就是系数矩阵经过初

8、等行变换化为阶梯型矩阵必有零行,从而系数矩阵的秩因此此齐次线性方程组(7)有非零解,这一结论与第一章第四节的推论是一致的.那么,如何求解齐次线性方程组 方法与非齐次线性方程组相同,对方程组的增广矩阵进行初等行变换,化成简化的阶梯型矩阵,再判断有无非零解,若有非零解,再还原成同解的线性方程组后,即得方程组得解.例6 已知齐次线性方程组判断有无非零解；1. 若有非零解，求解的一般解. 解 对增广矩阵作初等行变换,化成简化的阶梯型矩阵,有         则 系数矩阵的秩, 所以方程组有非零解;得原方程组的同解方程组为即(为自由变量)令,得

9、方程组得解为方程组的解可写成向量形式=1. 求齐次线性方程组的解 解 对增广矩阵作初等行变换,化成简化的阶梯型矩阵,有                              容易看出,系数矩阵的秩,所以原方程组有非零组解.原方程组的同解方程组为若选择为自由未知量,并设得(为任意实数)也可表示为向量形式=视图就是观看工作的一种方式。为了便于设计者从不同的方式观看自己设计的幻灯片，PowerP