机械制图之立体的投影

1、第二章第二章 立体的投影立体的投影本章内容：本章内容：第一节 基本立体的投影第二节 平面与立体相交第三节 两曲面立体相交第一节第一节 基本立体的投影基本立体的投影 任何立体都可以看作是由任何立体都可以看作是由平面、曲面平面、曲面所围成的。按其表面的几何性质不同，立体所围成的。按其表面的几何性质不同，立体可分为可分为平面立体平面立体和和曲面立体曲面立体两类。两类。概述概述 棱锥棱锥圆柱圆柱圆锥圆锥圆球圆球圆环圆环常见的平面立体：常见的平面立体：常见的曲面立体：常见的曲面立体：棱柱棱柱一、平面立体一、平面立体 平面立体的平面立体的投影投影是平面立体各是平面立体各表面表面投影投影的的集合集合-由直线

2、段组成的封闭图由直线段组成的封闭图形。形。1.1.平面立体的投影平面立体的投影（1 1）三棱锥的投影）三棱锥的投影sVHXYWZABSCsaabO(c)bacsabcXYYZs(c)abOs bacsabcXYYZs(c)abOs cbaabcs(c)absy1 2yy2y1s 从本章开始，在投影图中将省略投影轴，省略投影轴后三面投影之间的投影关系不变。利用各点之间的相对距离来确定立体上各点的位置。 （2 2）正五棱柱的投影）正五棱柱的投影ABEDCabcedA1E1B1C1a1e1b1a(a1)b(b1)c(c1)e(e1)e(d)a(c)be1a1b1(d1)(e1)YXaebdce(d)

3、a(c)be(e1)a(a1)b(b1)c(c1)d(d1)a1 e1b1d1 c1e1(d1)b1a1 (c1)2yy1y1y 2 作图时，先画出反映顶面、底面实形的水平投影，再画它们的正面和侧面投影，最后画出各侧棱的正面和侧面投影。 2.2.平面立体投影的可见性判别平面立体投影的可见性判别1) 在平面立体的每一投影中，其外形轮廓线都是 可见的。2) 在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内的交叉直线，可利用重影点来判别可见性。3)在平面立体的每一投影中，若外形轮廓线内的两可见表面相交，其交线为可见(其中有一个表面可见则交线可见)，两不可见表面的交线为不可见。 点的可见性规定： 若点所在的平面的

4、投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也认为是可见的。 由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。(1)棱柱表面上取点 a a a (b ) b b 3.3.平面立体表面上的点、线平面立体表面上的点、线(2)(2)棱锥表面上取点棱锥表面上取点分析：同样采用平面上取点法。ASBCKsabskab(k)abkc(c)c11(1)skkk 例1 已知三棱锥S-ABC及属于其表面上的点K的正面投影求其水平投影 和侧面投影 不可见lk 例2 已知三棱锥S-ABC及属于其表面上的线段KL的正面投影求其他两面投影。sabskab(k)abkc(c)c11(1

5、)sll(l) 圆柱面的水平投影积聚成一个圆，在另两个投影上分别以两个方向的转向轮廓线的投影表示。二、曲面立体二、曲面立体1.圆柱体 圆柱体的投影 转向轮廓线线的投影与曲面的 可见性的判断 圆柱体的组成由圆柱面和两底面组成。( (一一) )曲面立体的投影曲面立体的投影 在图示位置，水平投影为一圆。另两个投影为等腰三角形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条转向轮廓线的投影。 圆锥体的组成2.圆锥体 圆锥体的投影 轮廓线素线的投影与 曲面的可见性的判断s由圆锥面和底面组成。 s s 三个投影分别为三个和圆球的直径相等的圆，它们分别是圆球三个方向转向轮廓线的投影。3.圆球

6、圆母线以它的直径为轴旋转而成。 圆球的投影 轮廓线的投影与曲 面可见性的判断 圆球的形成1)圆环的形成 圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。 3.圆环 对于正面投影和侧面投影而言，由于内半环面被外半环面所挡，内半环的半个母线圆的投影应画成虚线。 首先用细点画线画出轴线及母线圆中心轨迹圆的投影和中心线。 其水平投影应画出圆环面的水平投影转向线的投影。其正面投影和侧面投影，应分别画出正面投影和侧面投影转向线的投影。2）圆环的画法1.圆柱表面上的点、线 a aA1AOO1利用投影的积聚性( (一一) )曲面立体表面上的点、线曲面立体表面上的点、线 a adcef

7、 badcefb(b)(f )(e)cda例3：已知圆柱面上曲线的正面投影，求曲线的其它 两面投影。 O1O s s k辅助直线法辅助直线法辅助圆法辅助圆法 (n)sn k(n) kSA过锥顶作一条素线。圆的半径？2.圆锥表面上的点、线adcebadcebbec(d)(a)例4：已知圆锥面上曲线的正面投影，求曲线的其它 两面投影。 3.3.圆球表面上的点、线圆球表面上的点、线(c)(c)A AB B(C)(C) (b) cbbaaa方法：辅助圆法注意：可见性的判断第二节第二节 平面与立体相交平面与立体相交截切：用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。截切：用一个平面与立体相交，截去立体的一部分

8、。截平面 截切物体的平面截交线 截平面与物体表 面的交线截断面 截交线所围成的图形讨论的问题：截交线的分析和作图一、概述一、概述SABCPIIIIII截断面截平面截交线截交线的性质：截交线的性质：截交线是截平面与立体表面的交集，是共有线。截交线上的点、线，属于两者的共有点、线。截交线所围成的为封闭的平面图形。 求截交线的问题，实质上就是求平面与立体表面的共有点、线的问题。可用求线面交点的方法，或用求两面交线的方法来解题。二、二、 平面与平面立体相交平面与平面立体相交1.平面截切的基本形式 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面立体的形状及截平面对平面立体的 截切位置。 截

9、交线的每条边是截平面与棱面的交线。 求截交线的实质是求两平面的交线，或者说是求棱 线与截平面的交点。2. 平面截切立体的画图关键是正确地画出截交线的投影。ijfghf jgihijf gh例例1 1 画出截切五棱柱的三面投影画出截切五棱柱的三面投影 例例2 2 补全三棱锥截切后的水平投影和侧面投影补全三棱锥截切后的水平投影和侧面投影yyyy三、三、 平面与回转体相交平面与回转体相交1.回转体截切的基本形式截交线的性质： 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面 与回转体轴线的相对位置。 截交线都是封闭的平面图形。2.求平面与回转体的截交线的一般步骤 （1

10、） 空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相 位置，以便确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的 投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交线的 已知投影，预见未知投影。（2） 画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。 先找特殊点，补充中间点。（3）补全轮廓线的投影。特殊点指的是：特殊点指的是：（1）曲线上的特征点，比如椭圆的四个顶点，双曲 线的顶点和端点。（2）转向轮廓线上的点，这个点常常是截交线可见 与不可见的分界点，或者是轮廓线有和没有的 分界点。（3）极限位置点，这是确定截交线范围的点。

11、（一）（一） 平面与圆柱相交平面与圆柱相交 截平面与圆柱的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置垂直圆椭圆平行矩形倾斜P PV VPP PV VP PP PV VP P例例3 3：求圆柱被截切后的侧面投影：求圆柱被截切后的侧面投影1.找特殊点2.补充中间点3.光滑连接各点4.分析轮廓素线的投影思考：截交线的已知投影？ 截交线的侧面投影是什么形状？例例3 3：求圆柱被截切后的侧面投影：求圆柱被截切后的侧面投影例例4 4：完成缺口圆柱的投影图：完成缺口圆柱的投影图64(5)12345665421(3)(1)2解题步骤1.图形分析2.绘制圆柱轮廓3.求截交线4.整理加深图线ACEBD3例例4

12、4：完成缺口圆柱的投影图：完成缺口圆柱的投影图例例5 5： 求空心圆柱截交线求空心圆柱截交线解题步骤1.图形分析2.绘制圆柱轮廓3.求截交线4.整理加深图线例例5 5： 求圆柱截交线求圆柱截交线解题步骤1.图形分析2.绘制圆柱轮廓3.求截交线4.整理加深图线QVPV21aba(b)1(2)a12bIII21(2)4213IIIII43(3)(4)IIV1 当圆柱被两个或多个平面截切时，截交线的求当圆柱被两个或多个平面截切时，截交线的求法与上述方法一致，只需分别求出即可。应注意截法与上述方法一致，只需分别求出即可。应注意截平面之间的交线的投影。平面之间的交线的投影。（二）（二） 平面与圆锥相交平

13、面与圆锥相交 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。过锥顶过锥顶三角形P PV V圆P PV V= 90= 90P PV V椭圆抛物线和直线段P PV V=双曲线和直线段P PV V= 0= 0例例6: 6: 圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三面投影。截交线，并完成三面投影。截交线的空间形状？截交线的投影特性？1.找特殊点如何找椭圆另一根轴的端点？2.补充中间点3.光滑连接各点4.分析轮廓线的投影解题步骤：例例6: 6: 圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三面投影。截交线，并完成三面投影。完成例例7: 7: 完成缺口圆锥的三面投影。完成

14、缺口圆锥的三面投影。1.找特殊点2.补充中间点3.光滑连接各点解题步骤：例例7: 7: 完成缺口圆锥的三面投影。完成缺口圆锥的三面投影。1.找特殊点3.光滑连接各点解题步骤：2.补充中间点（三）平面与圆球相交 平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。例例8 8：完成截切圆球的三面投影：完成截切圆球的三面投影abecg(f )(d)(h)afebdchgabcdef gh2.补充中间点3.光滑连接各点解题步骤：1.找特殊点4.分析转向轮廓线例例9 9：求半球体截切后的水平投影和侧面投影：求半球体截切后的水平投影和侧面投

15、影分析：两个侧平面截圆球的截交线 的投影，在侧面投影上为部 分圆弧，在水平投影上积聚 为直线。例例9 9：求半球体截切后的水平投影和侧面投影：求半球体截切后的水平投影和侧面投影第三节第三节 两曲面立体相交两曲面立体相交平面体与回转体相贯回转体与回转体相贯复合相贯一、概述一、概述1.相贯的形式 两立体相交称作相贯，其表面产生的交线称作相贯线。 本节主要讨论常用不同立体相交时其表面相贯线的投影特性及画法。平面体与平面体相贯2.相贯线的主要性质 其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。1) 共有性2) 分界性相贯线两立体表面的分界线；相贯线是两立体表面的共有线；3) 封闭性 相贯线一般是

16、封闭的空间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线。3.作图方法 表面取点法。 辅助平面法。4. 求相贯线的步骤 空间及投影分析 画出相贯线的投影 分析、补全轮廓线的投影1） 求特殊点 极限位置点、转向点、特征点和结合点2） 求中间点3） 光滑连线，判断可见性连线原则： 在两立体表面上都处于相邻素线（纬线圆）间的点才能相连。 判断可见性的原则： 只有当相贯线所属两立体表面对于某一投影面的投影同时为可见时，其投影才为可见，否则为不可见。 各投影的连线顺序应一致。二、表面取点法求相贯线二、表面取点法求相贯线 表面取点法求相贯线主要是利用投影的积聚性直接找点，经常用于相交的两曲面立体中有圆柱的情况。解题步骤

17、1)求相贯线的特殊点A、B、C 、D ；abcd1(2)acd b1212bacd例：求轴线正交两圆柱的相贯线例：求轴线正交两圆柱的相贯线 2) 求出若干个一般点、 等；3)光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；4)整理轮廓线。完成 相贯线的水平投影相贯线的侧面投影曲面立体相贯的三种基本形式两外表面相交外表面与内表面相交两内表面相交 以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、圆柱以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。内表面与圆柱内表面相贯的情况。三、辅助平面法三、辅助平面法 根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线

18、的投影。作图原理： 假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点。辅助平面的选择原则： 使辅助平面与两回转体表面的截交线的投影简单易画，例如截交线为直线或圆。 大多数情况下选择投影面平行面，也有一些情况下选择投影面垂直面。例例2 2 半圆柱和圆锥台轴线正交，求其相贯线半圆柱和圆锥台轴线正交，求其相贯线 7(8)12123(4)431(2)5(6)3456SWPW875(7)6(8)TVTHPVSH解题步骤1 分析 相贯线的侧面投影已知；2利用辅助平面法求出相贯线上的特殊点 、 、 、 ；3 求出若干个一般点 、；4 光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；5 整