s7第七章--有限冲激响应滤波器的设计3

1、 第7章 有限冲激响应滤波器有限冲激响应滤波器 （FIR）的设计）的设计 n71 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点 n7. 2 窗函数设计法窗函数设计法n7. 3 频率抽样设计法频率抽样设计法n7. 4 应用应用MATLAB设计设计 FIR数字滤波器数字滤波器(1)FIR滤波器可以做成具有严格的线性相滤波器可以做成具有严格的线性相 位，同时又可以具有任意的幅度特性。位，同时又可以具有任意的幅度特性。(2)FIR滤波器的单位抽样响应是有限长滤波器的单位抽样响应是有限长 的，因而的，因而FIR滤波器一定是稳定的。滤波器一定是稳定的。(3)FIR滤波器由于单位冲激响应是有限长滤波器由于

2、单位冲激响应是有限长 的，因而可以用的，因而可以用FFT算法来实现过滤信算法来实现过滤信 号，从而可大大提高运算效率。号，从而可大大提高运算效率。 FIR数字滤波器的优点数字滤波器的优点: FIR数字滤波器的缺点数字滤波器的缺点: （1）因为无极点，要获得好的过渡带）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价特性，需以较高的阶数为代价 （2）无法利用模拟滤波器的设计结果，）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计公式，要借助计算机辅一般无解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。助设计程序完成。 (3)要取得很好的衰减特性，要取得很好的衰减特性，FIR滤波滤波器的阶次比器的阶

3、次比IIR滤波器的要高。滤波器的要高。7. 1 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点7.1.1 线性相位条件线性相位条件 如果一个线性移不变系统的频率响应有如下形式： 则其具有线性相位。这里 是一个实数。因而，线性相位系统有一个恒定的群延时()()()|() |jjjjH eHeH ee 在实际应用中，有两类准确的线性相位，其中一种是要求满足 ( ) 满足偶对称条件的FIR滤波器分别称为I型线性相位滤波器和型线性相位滤波器。 另一种线性相位满足： FIR滤波器具有该线性相位的充分必要条件是：( ) 把满足奇对称条件的FIR滤波器分别称为型线性相位滤波器和型线性相位滤波器 。1I 型线

4、性相位滤波器（型线性相位滤波器（N N为奇数）为奇数） 7.1.2 线性相位滤波器频率响应的特点线性相位滤波器频率响应的特点由于偶对称性，一个I型线性相位滤波器的频率响应可表示为(1)/2(1) /20()( )cos()Njj NkH eea kk11( )2 () 1,2,.,22NNa khkk1(0)()2Nah其中幅度函数为 相位函数为 (1)/20()( )cos()NkHa kk()(1)2N 2型线性相位滤波器型线性相位滤波器 （N N为偶数）为偶数） 型线性相位滤波器，由于N是偶数，所以， 的对称中心在半整数点 。其频率响应可以表示为：( )h n12N/2(1)/20()1

5、( )cos() 2Njj NkH eeb kk( )2 () 1,2,.,22NNb khkk其中幅度函数为 /20()1( )cos() 2NkHb kk型的幅度函数的特点：幅度函数的特点：幅度函数的特点：幅度函数的特点：相位函数为 ()(1)2N 型的相位函数的特点：相位函数的特点： 同同I I型线性相位滤波器。型线性相位滤波器。 3型线性相位滤波器（型线性相位滤波器（N N为奇数）为奇数） 由于型线性相位滤波器关于奇对称，且 为整数，所以其频率响应可以表示为 12N(1)/2(1)/21()( )sin()Njj NkH ejec kk11( )2 () 1,2,.,22NNc khk

6、k其中幅度函数为(1)/21()( )sin()NkHc kk相位函数为 ()(1)22N 4型线性相位滤波器（型线性相位滤波器（N N为偶数）为偶数） 型线性相位滤波器关于 奇对称，且N为偶数，所以 为非整数。其频率响应可以表示为 12N/2(1)/21()1( )sin() 2Njj NkH ejed kk( )2 () 1,2,.,22NNd khkk其中 幅度函数为/21()1( )sin() 2NkHd kk相位函数为 ()(1)22N 型相位函数的特点相位函数的特点： 同型线性相位滤波器。 7.1.3 零点位置零点位置所有的线性相位滤波器的零点具有如下特点：如果 在 处等于零，则在

7、处也一定等于零。所以 的零点呈倒数对出现。另外，若 是实值的，则复零点呈共轭倒数对（共轭镜像）出现。 ( )Hz0z z01/zz( )H z( )h n（1）零点 既不在实轴上，也不在单位圆上， 零点是两组互为倒数的共轭对，其基本因子为 线性相位滤波器零点的约束条件线性相位滤波器零点的约束条件 111112212211( )(1)(1)(1)(1)1 12 (cos)12 (cos)iiiijjjjiiiiiiiiiiiH zz rez rezezerrrzr zrzzrizz,1,0ijiiiizrer线性相位滤波器零点位置示意图线性相位滤波器零点位置示意图 线性相位滤波器零点位置示意图线

8、性相位滤波器零点位置示意图 5N 122N在此情况下， （2）零点 在单位圆上，但不在实轴上，即 ，此时零点的共轭值就是他的倒数。izz1,0,iiir在此情况下， 3N 112N1112( )(1)(1)1 2(cos)iijjiiH zz ez ezz 此时 3N 112N（3）零点 在实轴上，但不在单位圆上，即 ，此时零点是实数，它没有复共轭部分，只有倒数，倒数也在实轴上。 izz1,0 iir或 （4）零点 既在单位圆上，但在实轴上，即 ，此时零点只有两种情况，即 ，这时零点既是自己的复共轭，又是倒数。 izz1,0iir 或在此情况下，有 即有半个抽样的延时。 2N 11/22N注：

9、线性相位滤波器只能由以上这几种因子的组合而成。 11zz 或给出所要求的理想低滤波器频率响应设计一个FIR滤波器频率响应逼近7. 2 窗函数设计法窗函数设计法 7. 2.1 设计方法设计方法 ()jdeH10()( )Njj nneeHh n()jdeH 由于 是矩形频率特性故 一定是无限长的序列，而要设计的是FIR滤波器， 必然是有限长的。所以要用有限长的 来逼近无限长的 ，最有效的方法是截断 ，即用一个有限长度的窗函数序列来截取 ，并将截短后的 移位，得: 窗函数设计法( )jdeH( )dh n( )h n( )h n( )dh n( )dh n( )n( )dh n( )dh n窗函数

10、设计法窗函数设计法11( )()()22dNNh nnh n 窗函数序列的形状及长度的选择很关键。 ( )n窗函数序列。 例例7.1 设计一低通滤波器，所希望的频率响应截止频率在 之间为1，在 之间为0， 分别取N= 11, 21, 41，观察其频谱响应的特点。 ()jdeH00.250.25取矩形窗: 解：解： (1)/2 00.25()0 0.25j NjdeeH1 01( )0 nNn其它 得: 1sin0.25()12( )()12()2dNnNh nh nNn当N=11时，求得 显然 ，满足对称关系。152N根据序列 ，分别求得N=11, 21, 41时的幅频特性 ( )h n|()

11、|jeH 当N取的较小时，通频带较窄，且阻带内波纹较大，过渡带较宽。 当N增大时， 与 的近似程度越来越好。但当N增大时，通带内也会出现波纹。 随着N的继续增大，这些波纹并不消失，只是最大的尖峰处越来越接近于间断点，这种现象称作吉布斯现象吉布斯现象。 ()jeH()jdeH设计效果说明 是因为对 进行截断的结果.在时域加窗,截断等于 与矩形窗频谱的卷积.由于窗函数有很大的旁瓣,所以产生了吉布斯现象. 为了减少吉布斯现象，应选取旁瓣较小的窗函数。 ()jdeH吉布斯现象产生的原因吉布斯现象产生的原因( )dhn1矩形窗矩形窗 7.2.2 各种窗函数各种窗函数 窗函数为 ( )( )NnRn幅度函

12、数为 sin()2( ) |()|sin()2jRRNWW e主瓣宽度 ，过渡带宽 。 4 /2 2 /NN0.9 2 / N7.2.2 各种窗函数各种窗函数 2汉宁（汉宁（Hanning）窗（又称升余弦窗）窗（又称升余弦窗） 窗函数为 2( )0.50.5cos()( )1NnnRnN幅度函数为 22( )0.5( )0.25()()11RRRnnWWWWNN主瓣宽度过渡带宽4 2 /8 /NN3.1 2 / N3海明（海明（Hamming）窗（又窗（又称为改进的升余弦窗）称为改进的升余弦窗）窗函数为 幅度函数为 主瓣宽度 过渡带宽2( )0.540.46cos()( )1NnnRnN22(

13、 )0.54( ) 0.23()()11RRRnnWWWWNN4 2 /8 /NN3.3 2 / N4. 4. 凯泽（凯泽（Kaiser）窗）窗 窗函数为 20021 (1)1( ), 01( )nINnnNI 其中 为第一类变形零阶贝塞尔函数， 是一个可自由选择的参数，改变 值就可对主瓣宽度与旁瓣衰减进行选择，一般选择 。过渡带宽 。 0I495 2 / N 窗口函数的频谱 N=51，A=20lg|W()/W(0)|四种窗函数的比较5 . 051cN 窗函数窗谱性能指标加窗后滤波器性能旁瓣峰值（dB）主瓣宽度( )过渡带宽( )阻带最小衰减（dB）矩形窗汉宁窗海明窗凯泽窗-13-31-41-

14、57244 5-21-44-53-80最小阻带衰减只由窗形决定，不受N的影响，而过渡带宽则随N的增加而减小。 表表7.1 几种窗函数的基本参数比较几种窗函数的基本参数比较2/N2/N1高通数字滤波器的设计高通数字滤波器的设计 7.2.3 其他各型其他各型FIR滤波器的设计方法滤波器的设计方法 令 (1)/2 ()0 0j NjcdceeH则 11()()2211( )22ccNNjnjndeeh ndd求得 11sinsin22( )1()2cdNNnnh nNn2带通数字滤波器的设计带通数字滤波器的设计 令 则 求得 (1)/2 ()0 j NjlhdeeH其它11()()

15、2211( )22lhhlNNjnjndeeh ndd11sinsin22( )1()2hldNNnnh nNn3带阻数字滤波器的设计带阻数字滤波器的设计 令 则 求得 (1)/2 |, | |()0 j NjlhdeeH其它 111()()()222111( )222hllhNNNjnjnjndeeeh nddd111sinsinsin222( )1()2lhdNNNnnnh nNn一个高通滤波器相当于用一个全通滤波器减去一个低通滤波器；一个带通滤波器相当于两个低通滤波器相减，其中一个截止频率在 ，另一个在 ；一个带阻滤波器相当于一个低通滤波器加上一个高通滤波器，低通滤波器的截止频率 ，高通

16、滤波器在 。 hlhl选取一个满意的窗函数，令 ( )( )( ), 0,1,.,1dh nn h nnN则 即为要设计的滤波器的单位抽样响应。 ( )h n 按上述方法设计的滤波器，由于满足了 的对称关系，因此都具有线性相位。 ( )(1)h nh Nn 7. 3 频率抽样设计法频率抽样设计法 频率抽样法是从频域出发频率抽样法是从频域出发，把给定的理想频率响应 加以等间隔采样，即 ()jdeH2()( )jddnkeHHk由DFT定义，得2101( )( ), 0,1,.,1NjnkNdkh nHk ekNN可求得滤波器的系统函数101201( )( )11 ( )1NnnNNdjnkkNH

17、 zh n zzHkNez该系统的频率响应为12011()( )( )1jNNjdjjnkz ekjNeH eH zHkNee在各频率抽样点上，滤波器的实际频率响应严格地和理想频率响应值相等。但是在抽样点之间的频率响应则是由N个离散值 作为权重和插值函数 线性组合的结果。显然 抽样点N取得越大， 对 近似程度越好，N的选取要视 在通带和阻带内的技术要求而定。 ( )dHk( )102()( ) ()NjdkH eHkkN（1）在通带内可令| |=1，阻带内| |=0，且在通带内赋给 一相位函数；（2）指定的 应保证求出的 是实序列； 的指定原则的指定原则( )dHk（3）由 求出的 应具有线性

18、相位。( )dHk( )dHk( )dHk( )h n( )h n()jeH( )dHk频率采样设计法优点： 直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便； 适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非零值。 典型应用：用一串窄带滤波器组成多卜勒雷达接收机，覆盖不同的频段，多卜勒频偏可反映被测目标的运动速度； 缺点：截止频率难以控制。 因频率取样点都局限在2/N的整数倍点上，所以在指定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板。充分加大N，可以接近任何给定的频率，但计算量和复杂性增加。用频率抽样法设计用频率抽样法设计FIR数字滤波器数字滤波器的步骤：的步骤： （1）根据所设计的滤波器的

19、通带与阻带的要求，根据N为偶数还是奇数，指定 ，在阻带内， =0； ( )dHk( )dHk（2）由指定的 构成所设计的滤波器的转移函数，求得频率响应 。 ( )dHk()jeHIIR与与FIR数字滤器的比较数字滤器的比较 FIR IIR设计方法 无解析的设计公式可简单、有效地完成设计设计结果 可得到幅频特性和线性相位得到幅频特性，但相频特性未知稳定性无稳定性问题有稳定性问题阶数高低结构非递归递归系统运算误差 无反馈，运算误差小有反馈，可能产生极限环快速算法 可用FFT实现，减少运算量无快速运算方法例例7.2 用频率抽样法设计一个低通滤波器，其截止频率是抽样频率的1/10，取N=20。 解：解

20、： 此处N为偶数，且在通带内对 抽样时，仅得两个点，所以有 ()jeH(0)1dH19/20(1)jdeH*19/20(19)(20 1)(1)jdddeHHH在其它点处， ( )0dHk 7. 4 应用应用MATLABMATLAB设计设计FIRFIR数字滤波器数字滤波器 1窗函数窗函数 （1）bartlett.m （三角窗）（三角窗） W = BARTLETT(N) N-point三角窗三角窗（2）blackman.m （布莱克曼窗）（布莱克曼窗）（3）boxcar.m （矩形窗）（矩形窗） （4）hamming.m （海明窗）（海明窗）（5）hanning.m （汉宁窗）（汉宁窗）（6）t

21、riang.m （三角窗）（三角窗）（7）chebwin.m （切比雪夫窗）（切比雪夫窗）（8）kaiser.m （凯泽窗）（凯泽窗）（1）fir1.m本文件采用窗函数法设计FIR数字滤波器，其调用格式是1）b=fir1（N,Wn）2）b=fir1（N,Wn,high）3）b=fir1（N,Wn,stop） 2FIR数字滤波器的文件数字滤波器的文件 2FIR数字滤波器的文件数字滤波器的文件 b=fir1(N,Wn,stop) 其中N为滤波器的阶次，因此滤波器的长度为N+1；Wn是通带截止频率，其值在01之间，1对应抽样频率的一半；b是设计好的滤波器系数。 b=fir1(11,.4,stop);

22、fvtool(b)（2）fir2.m本文件采用窗函数法设计具有任意幅频特性的FIR数字滤波器。其调用格式是b=FIR1(N,F,M)其中F是频率向量，其值在01之间，M是与F相对应的所希望的幅频响应。不指定窗函数的类型，则自动选择汉明窗。 （3） FIRPM .m 采用最佳一致逼近FIR数字滤波器。其调用格式是 b=FIRPM（N,F,A） N是给定的滤波器的阶次；b是设计的滤波器的系数，其长度为N+1；F是频率向量，其值在01之间；A是对应F的各频段上的理想幅频响应。 其他其他FIR数字滤波器的文件数字滤波器的文件remez.m：设计采用切比雪夫最佳一致逼近FIR数字 滤波器 remexor

23、d.m：采用切比雪夫一致逼近设计FIR数字滤 波器所需要的滤波器阶数sgolay.m设计savitzky-golay平滑滤波器firls.m：用最小平方法设计线性相位FIR数字滤波器fircls.m：用带约束的最小平方法设计线性相位FIR数 字滤波器Fircls1.m：用带约束的最小平方法设计线性相位FIR 低通和高通滤波器Firrcos.m：用来设计低通线性相位FIR数字滤波器 Example of a filter% Example of a length 31 lowpass filter: h=firpm(30,0 .1 .2 .5*2,1 1 0 0); fvtool(h)% Exa

24、mple of a low-pass differentiator: h=firpm(44,0 .3 .4 1,0 .2 0 0,differentiator); % Example of a type 4 highpass filter: h=firpm(25,0 .4 .5 1,0 0 1 1,h);Example-Design a Lowpass Filter With pmin = 4 and pmax = 12 b=firlpnorm(30,0 0.4 0.45 1,0 0.4 0.45 1,1 1 0 0,1 1 10 10,4 12);H,W,S=freqz(b,1,1024);

25、S.plot = mag;fvtool(b);Example-Return a Minimum Phase Bandstop Filterb=firlpnorm(21, 0 .25 .35 .7 .8 1, 0 .25 .35 .7 .8 1,1 1 0 0 1 1, 1 1 5 5 1 1, 2 4, minphase);fvtool(b) sgolay.m用来设计Savitzky-Golay平滑滤波器。其调用格式是b=sgolay（k,f）式中k是多项式的阶次，f是拟合的双边点数。要求 kf ，且f为奇数。 N = 4;F = 21;b=sgolay(N,F);N = 4;F = 21;b

26、=sgolay(N,F); （4） Savitzky-Golay平滑滤波器 fircls.m用带约束的最小平方法设计线性相位FIR数字滤波器。可设计任意给定的理想幅频特性。 n = 51; f = 0 0.4 0.8 1; a = 0 1 0; up = 0.02 1.02 0.01; lo = -0.02 0.98 -0.01; b = fircls(n,f,a,up,lo);线性相位FIR数字滤波器例例7.3 令N=10，分别用矩形窗和海明窗重复例7.1。 解解 根据要求编制MATLAB程序如下：clear all;N=10;b1=fir1(N,0.25,boxcar(N+1); b2=f

27、ir1(N,0.25,hamming(N+1); M=128;h1=freqz(b1,1,M);h2=freqz(b2,1,M);% 分别求两个滤波器的频率响应；t=0:10;subplot(221)stem(t,b2,.);hold on;plot(t,zeros(1,11);grid;f=0:0.5/M:0.5-0.5/M;M1=M/4; 程序for k=1:M1 hd(k)=1; hd(k+M1)=0; hd(k+2*M1)=0; hd(k+3*M1)=0;endsubplot(222)plot(f,abs(h1),b-,f,abs(h2),g-,f,hd,-);grid; 运行结果运行

28、结果 例例7.4设计一多带滤波器，要求理想幅频响应在归一化频率0.20.3，0.60.8之间为1，其余均为0。解：解： 程序如下：clear all;f=0 0.19 0.2 0.3 0.31 0.59 0.6 0.8 0.81 1; m=0 0 1 1 0 0 1 1 0 0; % 给定频率轴分点；% 给定在这些频率分点上理想的幅频响应N1=30;N2=90;% 取两种不同的滤波器长度；b1=fir2(N1,f,m);b2=fir2(N2,f,m);程序% 得到两个滤波器； subplot(311);stem(b1,.);grid;subplot(312);stem(b2,.);grid;M=128;h1,w=freqz(b1,1,M,1);h2,w=freqz(b2,1,M,1);subplot(313);plot(w,abs(h1),b-,w,abs(h2),g-);grid; 运行结果05101520253035-0.