2018版高中数学苏教版必修二学案：2.1.4两条直线的交点

1、2.1.4 两条直线的交点【学习目标】1会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标2 会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3会求过两直线交点的直线方程，并能解决一些简单的直线过定点问 题ET问题导学-知识点直线的交点与直线的方程组解的关系思考 1 直线上的点与其方程 Ax + By+ C = 0 的解有什么样的关系?思考 2 已知两条直线“与 12相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标?思考 3 由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系?梳理两直线的交点几何兀素及关系代数表示点 AA(a, b)直线 1ili: Aix+ Biy + Ci= 0点 A 在直线 li

2、上直线 li与 12的交点是 A(2)两直线的位置关系A1x+ By + C1= 0,方程组丫的解A2x+ B2y + C2= 0一组无数组直线 l1, l2的公共点个数一个零个直线 l1, l2的位置关系重合题型探究-类型一两直线的交点问题命题角度 1 代数法判断两直线的位置关系例 1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点(1) li： 2x y= 7 和 12： 3x+ 2y 7 = 0;(2) |仁 2x 6y+ 4= 0 和 l2: 4x 12y+ 8= 0;(3) |1: 4x + 2y+ 4= 0 和 l2: y= 2x+ 3.反思与感悟两条直线相交的判定方法方法一联立

3、直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法二两直线斜率都存在且斜率不相等方法三两直线的斜率一个存在，另一个不存在跟踪训练 1 直线 y= 2x 与直线 x+ y= 3 的交点坐标是 _ .命题角度 2 根据交点求参数的值或其范围引申探究若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a 的取值范围又如何？例 2 已知直线 5x+ 4y= 2a+ 1 与直线 2x+ 3y= a 的交点位于第四象限，则 a 的取值范围是 _.反思与感悟 求解此类问题关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围跟踪训练 2 若直线 l1：

4、 y= kx+ k+ 2 与 y = 2x+ 4 的交点在第一象限，则实数 k 的取 值范围是.类型二求过两条直线交点的直线方程例 3 求过两直线 2x 3y 3 = 0 和 x+ y+ 2 = 0 的交点且与直线 3x+ y 1 = 0 平行的直线方程引申探究本例中若将平行”改为垂直”，又如何求解反思与感悟求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可用过两条直线 I 仁 Aix+ Biy+ Ci= 0 与b：A2X+ B2y + C2= 0 的交点的 直线系方程Aix+ Biy+ Ci+02x + B2y+ C2)= 0(不包括 l2的方程)，再

5、根据其他条件求出待 定系数，写出直线方程.跟踪训练 3 直线 I 经过原点，且经过另外两条直线2x+ 3y+ 8= 0, x y i = 0 的交点，则直线 I 的方程为_ .类型三直线恒过定点问题例 4 求证：不论 m 取什么实数，直线(2m i)x+ (m + 3)y (m ii)= 0 都经过一定点，并 求出这个定点坐标.反思与感悟解含有参数的直线恒过定点的问题(i)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解含有一个参数的二元一次方程若能整理为Aix+ Biy+ Ci+“2x+ B2y+ C2)= 0，其中入是

6、Aix+ Biy + Ci= 0,参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得.I.A2X+ B2y + C2= 0若整理成 y y0= k(x X0)的形式，则表示所有直线必过定点(x, y。).跟踪训练 4 不论 m 为何实数，直线(m i)x+ (2m i)y= m 5 恒过的定点坐标是 _ .当堂训练1已知直线 li： 3x+ 4y 5 = 0 与 I?： 3x+ 5y 6= 0 相交，则它们的交点是 _.2已知直线 y= 2x+ 10, y = x+ 1, y= ax 2 交于一点，贝Ua 的值为_.3._不论 m 取什么实数， 直线 mx+ y m= 0 都过定点的坐

7、标为 _ .4下列各组直线中，两直线相交的为 _ .（填序号）1y= x+ 2 和 y= 1;2x y+ 1 = 0 和 y= x+ 5;3x+ my 1 = 0（m 2）和 x+ 2y 1 = 0;42x + 3y+ 1= 0 和 4x+ 6y 1 = 0.5直线 I 过直线 2x y+ 4= 0 与 x 3y+ 5 = 0 的交点，且垂直于直线x 2y= 0，则直线 I 的方程是_ p规律与方法-11方程组A1X+ B1y + C1= 0,A2x+ B2y + C2= 0 有惟一解的等价条件是A1B2 A2B1* 0亦即两条直线相交的等价条件是A1B2 A2B1工 0.2直线 A1X+ B

8、1y+ C1+XA2x + B2y+ C2）= 0（入 R）是过直线 A1X+ B1y+ C1= 0 与 A2x + B2y+ C2=0 交点的直线答案精析问题导学知识点思考 1 直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的 解.反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标.思考 2 只需写出这两条直线的方程，然后联立求解.思考 3若方程组无解，则 1,12；(2) 若方程组有且只有一个解，则11与 12相交；(3) 若方程组有无数解，则 11与 12重合.梳理(1)Aia + Bib+ Ci= 0A1a+ B1b+ C1= 0,A2a+ B2b+ C2=0(2)无

9、解无数个相交平行题型探究2x y 7 = 0,x= 3,例 1 解(1)方程组的解为l3x+ 2y 7= 0y= 1.因此直线 11和 12相交，交点坐标为(3, 1).I2x 6y+ 4 = 0,(2) 方程组有无数个解，4x 12y + 8= 0这表明直线丨1和 12重合.4x+ 2y+ 4 = 0,(3) 方程组无解，|_2x+ y 3= 0这表明直线丨1和 12没有公共点，故 11 12.跟踪训练 1(1,2)例 2( 2, 2)引申探究2a+ 3 a 2解由例 2 得交点坐标为(卡，力2a + 3跟踪训练 2 3, |例 3 解解方程组2x 3y 3= 0,$x+ y+ 2 = 0,

10、37所以两直线的交点坐标为（一 5, 5）-又所求直线与直线 3x+ y 1 = 0 平行,所以所求直线的斜率为3.故所求直线方程为73y+5=3（x+ 5），即 15x+ 5y+ 16= 0.引申探究解设所求直线方程为(2x3y3)+ Xx+y+2)=0,即(2+ Xx+(X3)y+(2X3)=0,由于所求直线与直线3x+ y 1 = 0 垂直，所以 3(2 +X+(X3)X1 = 0,3解得X= 4,所以所求直线方程为5x 15y18= 0.跟踪训练 3 2x y= 0例 4 证明对于方程(2m 1)x+ (m+ 3)y (m 11)= 0，令 m= 0,得 x 3y 11 = 0;则由a 20，得 a |.3x=5,y=-7,令 m = 1 得 x+ 4y + 10= 0.x-3y 11 = 0,解方程组/x+ 4y+ 1