极限的运算法则

1、§? 5 极限运算法则课 题：§ 1.5 极限运算法则教学内容：极限运算法则教学目的：通过学习，使学生会应用极限运算法则进行计算教学重点：应用极限运算法则进行计算教学难点：应用极限运算法则（除法）进行计算教学过程：注意无穷小性质与无穷大性质的比较对比，极限运算法则成立的条件。定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小.例如 . 当 x >0 时 x 与 sin x 都是无穷小x sin x 也是无穷小 ，简要证明 ：设： ?及是当 x >x o 时的两个无穷小. 则- ；0.0 及辺 0.使当0：|x 现: 、1 时 . 有 I 计： :; ?当0 ： :|X-Xo

2、| ： : 2 时. 有i-l.； .取 J. =min ； i，: 辽 . 则当 O<|x-xo|c5 时 . 有|a+P |勻 ot|FpK 2g .这说明 a+P 也是无穷小 .证明：考虑两个无穷小的和 设及是当xX 0 时的两个无穷小 . 而 二工 ,任意给定的； 0 ,因为是当x > X 0 时的无穷小 . 对于 2 0 存在着、： 1 o ?当 0 ： :|x %| ；： <i时. 不等式网兮成立 因为一：是当x ） X0 时的无穷小 . 对于 - 0 存在着 2 0 . 当 O： |x-X 0| ：、； 2 时. 不等式成立 . 取、打 i n y . 边 .

3、则当 0 ： |x-X0| ： y 时|十：2及1%同时成立 . 从而 |冃沙： | , 十： 2 右这就证时了也是当 X >X 0 时的无穷小 .定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小，简要证明 ：设函数 u 在 xo 的某一去心邻域 x|O ： |x_X o| ： i内有界 . 即 M .0. 使当0 ： :|x 现： : ：、 1 时. 有u_M, 又设： . 是当 X ； Xo 时的无穷小 . 即-； 0 ,存在、 2 0. 使当0 ： :|x 现：、： 时 . 有 ：:；,取、； =min 门 . 则当 0 ： x_X0 # 时. 有u ： ： :M ;, 这说明 u 二;

4、也是无穷小 ，例如 . 当 时 . 丄是无穷小 .arctan x 是有界函数 . 所以丄 arctan x 也是无穷小 ，xx思考：有界函数与无穷大的乘积仍是无穷大吗？推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小，定理3 如果 lim f (x)A . lim g (x)=B.那么(1) lim f (x) ig(x) 二 lim f (x) _lim g (x) S _B(2)lim f (x) g(x)= lim f (x) - lim g (x)=A B(3)1.f(x) lim f(x) A lim(B=0) ,g(x) limg(x)B'丿证

5、明 ( 1):因为 lim f (x)=A . lim g (x) 田 . 根据极限与无穷小的关系. 有f( X) # 妆 .g (x)=B+P.其中及 为无穷小 .于是f (x) _g (x)=(A 出義 ) -(B：:) =(A _B) ( 、：二 l ).即 f (x) _g (x) 可表示为常数 ( A _B) 与无穷小 ( ?二 I)之和 . 因此lim f (x) ±g (x) = lim f (x)±lim g (x) = A±B , 推论 1 如果 lim f (x) 存在 . 而 c 为常数 . 则lim c f (x) =c lim f (x)

6、.推论 2 如果 lim f (x) 存在 . 而 n 是正整数 . 则nnlim f (x) =lim f (x).定理 4 设有数列 xn 和yn. 如果lim =A . lim y n =B .nn )那么(1) ,im ( xn _y n)二 A _B - Jim (X n yn)二 A B当ynH0(n=1 . 2 .) 且B#0时 .lim,Mpc yn B定理 5 如果用 x)工取 x).而 lim 申 (x)=a . lim 屮 (x)=b . 那么 a 戲,例 1 求 lim (2 x _1)x _1解 : lim (2x _1)=lim 2x- lim 1 = 2 lim

7、x -1=21_1=1.x_1x_1x_讨论：若P(x) 二 a°xn ex" 丄：卜0 必 4 则 lim P(x) 二？提示：lim P(x) =lim (a0xn) Tim (an ) 亠亠lim (anx) Tim anx_Qx _o0 0x_ o二 a。lim (x n ) a 1 lim (x n ) 亠亠 an j lim x lim a nJXoJXoJXojxo=a0( lim x) n a1( lim x) n亠亠 an) =a oxon a 1Xo n，an= P(x o),x jx ox=xo若 P(x) =a 0xn a n 亠亠 an 则 lim

8、 P(x) =P(x 0),xo例 2 求 x 嗖去昙 解： xxTlimy Sx+S)lim(x 3-1)x 迄3-(1)3-1lim x 3 -lim 1-523二 23-1X (lim x) 2_22-1o 3lim x 2 -5lim x lim 3X 2 2x .2提问：如下写法是否正确?x3 -123 -1 =_7x2 -5x+3 xm x2 -5322斗03_3'代(x 3-1)5xlim(2 3-1)322x_1 x 5x 3 lim(xx_ 2 _limlim(2 2 -10 3)x_ 2 3)X-?x_ 2例 3，求 lim x2 3x 3 x -9xx-3lim

9、1解：！哩兴 =凹（ 沪迥丘二 xT3例 4?求須是民 解： x 乌冷貯 巴 02x_3根据无穷大与无穷小的关系得四x2 -5x 4提问：如下写法是否正确?lim2xlim (2x 23)2312X，x-5x 4 Jim (x-5x 4) 0讨论有理函数的极限lim 殛二 ?x0 Q(x)提示当 Q(x oT 时? xmiQS-QSt当 Q(X o ) =0 且 P(X o ) =0 时 lim 少 "X TX) Q(x)当Q(x o)=P(X0) =0时 . 先将分子分母的公因式(X-X0) 约去3x 3 4x 2 2例 5 求 吧；： 7 乂 3 5x 2- 3解：先用 x3 去

10、除分子及分母 . 然后取极限3+4 +23x3 4x 2 2x x3lim32lim x j ： ：7x5x -3 x j ： ：7 , 5 3x x3例 6 求 xim；S 害解：先用 x3 去除分子及分母 . 然后取极限3_2_ 丄=limx! =Q =0-x2 5 x_* 2 丄2x x 3例 7 求 xim；S 害，3x 2 2x解：因为 xim ：_：1 2xt= 0 ?所以lim 2X-5 =X=. . 3x 2 _2x _1讨论lim agxa 1xn . .+a n xim ：有理函数的极限boxm b1xm - bm提示n ：a0xn +玄必 2 + +%：mxim ；:b0

11、xm 亠 Ex m亠bon =m亠 boO例 8 ,求 lim .xC x解：当 Xr ： : 时 . 分子及分母的极限都不存在. 故关于商的极限的运算法则不能应用?因为沁J sinx . 是无穷小与有界函数的乘积x x所以 lim 沁 =0 .x定理 8( 复合函数的极限运算法则) 设函数 y=fg(x) 是由函数 y=f(u) 与函数 u=g(x) 复合而成 fg(x) 在点 xo 的某去心邻域内有定义. 若 lim g(x) 二 u0 . lim f(u)=A . 且在 xo 的某xou_ji 0去心邻域内 g(x)u 0. 贝 Vlim fg(x) = lim f(u) =A .xx)

12、u0定理 8( 复合函数的极限运算法则) 设函数 y=fg(x) 是由函数 y=f(u) 与函数 u=g(x) 复 合而成fg(x) 在点 X的某去心邻域内有定义，若 g(x) > u (x ；X) . f(u) ；A(u ； u).且在 X0的某0°00去心邻域内 g(x)=u 0.则lim fg(x) = lim f(u) =A ,X:X 0u u 0简要证明 设在x|0 ： |x%| ： 0内 g(xp-u0要证0- >0当0： |x 夕 0 卜：有 |fg(x ) -A| : ：:时因为 f(u) A(ur u ) 所以 -0 0 当 0 巾 70 卜： 时 有|f(u)-A| ：°又 g(x)ru (x >X). 所以对上述当0：°0取 n|x-1° 则当 0”： |x%| ： 时 0<|g(x)-u |：X0|：1 时有 |g(x)-u°|：从而把定理中lim g(x) =比 换成 lim g(x)= ：: 或 lim g(x) mxX Qx jxox _,而把 lim f(u) =A 换成 lim f(u) =A