第3章 晶体中的原子热振动

1、固体物理基础固体物理基础东南大学东南大学 电子科学与工程学院电子科学与工程学院第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动3.1 3.1 原子间的相互作用原子间的相互作用3.2 3.2 一维单原子晶格的振动一维单原子晶格的振动3.3 3.3 一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动3.4 3.4 晶格振动的量子化及声子晶格振动的量子化及声子3.5 3.5 晶格的热容晶格的热容3.7 3.7 晶格振动的应用举例晶格振动的应用举例3.6 3.6 晶体的热传导晶体的热传导第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动3.1 3.1 原子间的

2、相互作用原子间的相互作用n原子间的相互作用原子间的相互作用n晶体的分类晶体的分类第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.1 原子间的相互作用原子间的相互作用l离子晶体离子晶体特点：特点：晶体结合很稳定，熔点高、硬度高。晶体结合很稳定，熔点高、硬度高。 导电性导热性差。导电性导热性差。晶体类型：晶体类型：离子晶体离子晶体 共价晶体共价晶体 金属晶体金属晶体 分子晶体分子晶体第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.1 原子间的相互作用原子间的相互作用：晶体的分类：晶体的分类n晶体的分类晶体的分类特点：熔点高、硬度高特点：熔点高、硬度高 价电子定域在共价键上，导电

3、性很差。价电子定域在共价键上，导电性很差。共价键结合的基本特征：饱和性和方向性。共价键结合的基本特征：饱和性和方向性。l共价晶体共价晶体第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.1 原子间的相互作用原子间的相互作用：晶体的分类：晶体的分类第第I I、第、第IIII族元素、过渡元素都是典型的金属晶体。族元素、过渡元素都是典型的金属晶体。特点：共有化电子可以在整个晶体中运动。特点：共有化电子可以在整个晶体中运动。 导电性、导热性良好、具有高延展性。导电性、导热性良好、具有高延展性。l金属晶体金属晶体第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.1 原子间的相互作用原子间

4、的相互作用：晶体的分类：晶体的分类惰性元素在低温下结合成的晶体。惰性元素在低温下结合成的晶体。依靠瞬时偶极矩的相互作用依靠瞬时偶极矩的相互作用特点：熔点特低特点：熔点特低( (几十几十 K) K) ，绝缘体。，绝缘体。l分子晶体分子晶体范德瓦耳斯力范德瓦耳斯力第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.1 原子间的相互作用原子间的相互作用：晶体的分类：晶体的分类第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.1 原子间的相互作用原子间的相互作用：原子间的相互作用：原子间的相互作用 互作用力互作用力吸引力：吸引力：排斥力：排斥力：吸引力最大吸引力最大时时,mrr 斥斥引引

5、时时ffrr,00,fr时时斥斥引引时时ffrr,0斥斥引引时时ffrr,0n原子间的相互作用原子间的相互作用两个原子的互作用势：两个原子的互作用势： rU drrdUrf 00rdrrdU第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.1 原子间的相互作用原子间的相互作用：原子间的相互作用：原子间的相互作用当当N个原子相互靠近时个原子相互靠近时,总的互作用势总的互作用势U： NjijNiruU1/21 00rrdrrdUr：最近邻原子的间距：最近邻原子的间距i, j=2, 3, 4, , N NjijruNU1/21若忽略表面效应，则：若忽略表面效应，则： UrU 0rU晶体的晶体

6、的结合能结合能第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.1 原子间的相互作用原子间的相互作用：原子间的相互作用：原子间的相互作用 0rUrU 0rU0rdrdU2220! 21rdrUd drrdUrf0rdrdU022rdrUd恢复力恢复力常数常数第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.1 原子间的相互作用原子间的相互作用：原子间的相互作用：原子间的相互作用第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动3.1 3.1 原子间的相互作用原子间的相互作用3.2 3.2 一维单原子晶格的振动一维单原子晶格的振动

7、3.3 3.3 一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动3.4 3.4 晶格振动的量子化及声子晶格振动的量子化及声子3.5 3.5 晶格的热容晶格的热容3.7 3.7 晶格振动的应用举例晶格振动的应用举例3.6 3.6 晶体的热传导晶体的热传导第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动n振动方程的解振动方程的解n色散关系色散关系n周期性边界条件周期性边界条件n振动方程的建立振动方程的建立3.1 3.1 原子间的相互作用原子间的相互作用3.2 3.2 一维单原子晶格的振动一维单原子晶格的振动第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热

8、振动：3.2 一维单原子晶格的振动：振动方程的建立一维单原子晶格的振动：振动方程的建立n振动方程的建立振动方程的建立只考虑相邻原子的作用只考虑相邻原子的作用简谐近似简谐近似方向：向右为正方向：向右为正11nnnnuuuufnnnuuu211nnnnuuudtudm21122第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.2 一维单原子晶格的振动：振动方程的解一维单原子晶格的振动：振动方程的解n振动方程的解振动方程的解nnnnuuudtudm21122试探解：试探解：tqnainAeu讨论：讨论：1. 单个原子的运动单个原子的运动 ：振动频率振动频率 A：振幅：振幅 qna：初相位：初

9、相位 简谐振动！简谐振动！第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.2 一维单原子晶格的振动：振动方程的解一维单原子晶格的振动：振动方程的解2. 整个晶格中各个原子的运动整个晶格中各个原子的运动各原子振动间存在相互联系，有固定的位相差。各原子振动间存在相互联系，有固定的位相差。相邻原子的位相差为相邻原子的位相差为qa。tqnainAeu当当um=un时时kqnama2整数整数第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.2 一维单原子晶格的振动：振动方程的解一维单原子晶格的振动：振动方程的解格波：格波：整个晶格的振动整个晶格的振动(原子振动的集体行为原子振动的集体行

10、为)，构成了一个波矢为构成了一个波矢为q的前进波。的前进波。第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.2 一维单原子晶格的振动：色散关系一维单原子晶格的振动：色散关系n色散关系色散关系( q)nnnnuuudtudm21122试探解：试探解：tqnainAeu2sin422qam2sin2qam第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.2 一维单原子晶格的振动：色散关系一维单原子晶格的振动：色散关系2sin2qam讨论：讨论：1. 相速度相速度常数常数qvphase,2120qamq长长波波近近似似或或或或常常数数amq。晶格可以近似看作连续晶格可以近似看作连续

11、, a色散色散第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.2 一维单原子晶格的振动：色散关系一维单原子晶格的振动：色散关系2. (q)具有对称性和周期性具有对称性和周期性2sin2qam qq 在区间在区间 之外并不提供新的格波，因此可以之外并不提供新的格波，因此可以将将q限制在限制在 区间区间(第一布里渊区第一布里渊区)内。内。aaaa qaq2第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.2 一维单原子晶格的振动：色散关系一维单原子晶格的振动：色散关系3. (q)的取值范围的取值范围2sin2qammamax2 00 min第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中

12、的原子热振动：3.2 一维单原子晶格的振动：周期性边界条件一维单原子晶格的振动：周期性边界条件n周期性周期性(波恩波恩卡门卡门)边界条件边界条件tqnainAeuNnnuu设晶格由设晶格由N个原胞构成，个原胞构成，则则1iNqaeNlaq222NlN整数整数第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.2 一维单原子晶格的振动：周期性边界条件一维单原子晶格的振动：周期性边界条件Nlaq222NlN q取取N个分立的值，相应地个分立的值，相应地 也取也取N个分立的值。个分立的值。所以：所以：在单原子晶格中可以传播在单原子晶格中可以传播N个格波，或者说有个格波，或者说有N种振动模式。种

13、振动模式。+q：相应与于向右传播的波；：相应与于向右传播的波；q：相应与于向左传播的波。：相应与于向左传播的波。tqnainAeu第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动3.1 3.1 原子间的相互作用原子间的相互作用3.2 3.2 一维单原子晶格的振动一维单原子晶格的振动3.3 3.3 一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动3.4 3.4 晶格振动的量子化及声子晶格振动的量子化及声子3.5 3.5 晶格的热容晶格的热容3.7 3.7 晶格振动的应用举例晶格振动的应用举例3.6 3.6 晶体的热传导晶体的热传导第三章第三章 晶体中的

14、原子热振动晶体中的原子热振动第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动n振动方程的解振动方程的解n色散关系色散关系n周期性边界条件周期性边界条件n振动方程的建立振动方程的建立n声学波与光学波声学波与光学波3.1 3.1 原子间的相互作用原子间的相互作用3.2 3.2 一维单原子晶格的振动一维单原子晶格的振动3.3 3.3 一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.3 一维双原子晶格的振动：振动方程的建立一维双原子晶格的振动：振动方程的建立n振动方程的建立振动方程的建立只考虑相邻原子的作用只考虑相邻原子的作用简谐近似简谐近似方向：向

15、右为正方向：向右为正1222221222nnnnuuudtudMnnnnuuudtudm212122222第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.3 一维双原子晶格的振动：振动方程的解一维双原子晶格的振动：振动方程的解n振动方程的解振动方程的解tanqinBeu1212tanqinAeu22m原子：振幅原子：振幅A；振动频率；振动频率 ；初相位；初相位 q(2n)a1. 单个原子的运动为简谐振动！单个原子的运动为简谐振动！M原子：振幅原子：振幅B；振动频率；振动频率 ；初相位；初相位 q(2n+1)a2. 整个晶格中各个原子的运动整个晶格中各个原子的运动两种原子振动的振幅比和

16、位相差是确定的！两种原子振动的振幅比和位相差是确定的！第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.3 一维双原子晶格的振动：色散关系一维双原子晶格的振动：色散关系n色散关系色散关系( q)1222221222nnnnuuudtudMnnnnuuudtudm212122222tanqinBeu1212tanqinAeu220cos222BqaAm02cos22BMAqa02cos2cos2222BAMqaqam第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.3 一维双原子晶格的振动：色散关系一维双原子晶格的振动：色散关系02cos2cos2222Mqaqam0sin422

17、224qaMmmM21222sin411aqMmmMmMMm讨论：讨论：1. 双原子晶格振动存在两种色散关系双原子晶格振动存在两种色散关系 q q也可以说双原子晶格具有两支格波也可以说双原子晶格具有两支格波第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.3 一维双原子晶格的振动：色散关系一维双原子晶格的振动：色散关系 21222sin411aqMmmMmMMmq时时当当0q2242111aqMmmMmMMm222aqMmmMmMMm22aqMm aqMmq2连续介质连续介质的弹性波的弹性波第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.3 一维双原子晶格的振动：色散关系一维

18、双原子晶格的振动：色散关系2. (q)具有对称性和周期性具有对称性和周期性21222sin411aqMmmMmMMm qq qaqaqa22 在区间在区间 之外并不提供新的格波，因此可以之外并不提供新的格波，因此可以将将q限制在限制在 区间区间(第一布里渊区第一布里渊区)内。内。aa22aa222122sin411aqMmmMmMMm第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.3 一维双原子晶格的振动：色散关系一维双原子晶格的振动：色散关系3. (q)的取值范围的取值范围2122sin411aqMmmMmMMm 2122sin411aqMmmMmMMmq 2122sin411aq

19、MmmMmMMmq 00minq Maq22max maq22min 20maxqMmmM第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.3 一维双原子晶格的振动：声学波与光学波一维双原子晶格的振动：声学波与光学波n声学波与光学波声学波与光学波0cos222qaMBA光学波：光学波：表明基元中原子表明基元中原子相对相对运动！运动！声学波：声学波：02cos22mqaBA表明基元中原子表明基元中原子同向同向运动！运动！02cos2cos2222BAMqaqam10BAq，02BAaq，mMBAq，0BAaq，2第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.3 一维双原子晶格

20、的振动：声学波与光学波一维双原子晶格的振动：声学波与光学波大大原原子子不不动动即即：小小原原子子不不动动即即：0002BBABAABABAaqmMBABAq10长波近似长波近似短波近似短波近似第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.3 一维双原子晶格的振动：周期性边界条件一维双原子晶格的振动：周期性边界条件n周期性周期性(波恩波恩卡门卡门)边界条件边界条件设晶体由设晶体由N个原胞构成，则周期性边界条件为：个原胞构成，则周期性边界条件为：Nnnuu2212Naqie在一维双原子晶格中可以传播在一维双原子晶格中可以传播2N个格波，或者个格波，或者说有说有2N种振动模式。其中种振动

21、模式。其中N个声学支格波，个声学支格波，N个光学支格波。个光学支格波。tanqinAeu22NlalNaq22对于双原子晶格，在第一布里渊区内，对于双原子晶格，在第一布里渊区内，q取取N个个分立的值，而每一个分立的值，而每一个q又对应两个又对应两个 值。值。整数整数第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.3 一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动推广结论：推广结论：波矢数波矢数( (q取值数取值数)=)=晶体中的原胞数晶体中的原胞数 格波的支数格波的支数= =原胞的自由度数原胞的自由度数 格波的个数格波的个数 ( (q) )取值数取值数=晶体的自由度数晶体的自由度数 声学支

22、格波的支数声学支格波的支数= =晶体维度晶体维度 原胞中原胞中原子数原子数原胞自原胞自由度数由度数晶体中晶体中原胞数原胞数晶体自晶体自由度数由度数格波格波支数支数q数数 数数一维单原子一维单原子一维双原子一维双原子三维多原子三维多原子NNN12l123lN2N3lNN2N3lNNNN123l第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.3 一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动例：设有一长度为例：设有一长度为L L的一价正负离子构成的一维晶的一价正负离子构成的一维晶格，正负离子间距为格，正负离子间距为a，正负离子的质量分别，正负离子的质量分别为为m+ +和和m- -，近邻两离子的

23、互作用势为，近邻两离子的互作用势为nrbrerU2)(式中式中e为电子电荷，为电子电荷，b和和n为参量常数，求为参量常数，求(1)参数参数b与与e，n及及a的关系，的关系，(2)恢复力系数恢复力系数 ，(3)q0时的光学波频率时的光学波频率 ，(4)长声学波的速度长声学波的速度 。oAv第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.2 一维单原子晶格的振动：振动方程的建立一维单原子晶格的振动：振动方程的建立2112nnnnnxxxxx2112nnnnnuuuuu22111122nnnnnnnnnnuxuxuxuxuxnnnnuuauua11nnnnuuuu1111nnnnnuuuu

24、f第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动3.1 3.1 原子间的相互作用原子间的相互作用3.2 3.2 一维单原子晶格的振动一维单原子晶格的振动3.3 3.3 一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动3.4 3.4 晶格振动的量子化及声子晶格振动的量子化及声子3.5 3.5 晶格的热容晶格的热容3.7 3.7 晶格振动的应用举例晶格振动的应用举例3.6 3.6 晶体的热传导晶体的热传导第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动n声子的概念声子的概念n格波能量的量子化格波能量的

25、量子化3.1 3.1 原子间的相互作用原子间的相互作用3.2 3.2 一维单原子晶格的振动一维单原子晶格的振动3.3 3.3 一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动3.4 3.4 晶格振动的量子化及声子晶格振动的量子化及声子第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.4 晶格振动的量子化及声子：格波能量的量子化晶格振动的量子化及声子：格波能量的量子化n格波能量的量子化格波能量的量子化UTH2122121nnnnnuuumnnnnnnnuuuuum1221222121 qtqnaiqneAtuqiqnaetqQN,1tiqeANtqQ, qtqQqmtqQmH222,21,21第

26、三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.4 晶格振动的量子化及声子：格波能量的量子化晶格振动的量子化及声子：格波能量的量子化 ！代表一个谐振子的能量代表一个谐振子的能量：222,21,21tqQqmtqQm 2, 1, 021qnqqnq NqNqqqnqE1121一维单原子系统：一维单原子系统：三维多原子系统：三维多原子系统： NlqjjjNqljjqqnqE3113121 qtqQqmtqQmH222,21,21第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.4 晶格振动的量子化及声子：声子的概念晶格振动的量子化及声子：声子的概念n声子的概念声子的概念意义：意义：

27、生动的反映了晶格振动能量量子化的特点。生动的反映了晶格振动能量量子化的特点。处理晶格振动有关的问题时，可以更加方便和形象。处理晶格振动有关的问题时，可以更加方便和形象。（例：晶格振动对电子波、光波的散射等。）（例：晶格振动对电子波、光波的散射等。）声子：声子： qj共有共有3lN种不同的振动模式种不同的振动模式, 即有即有3lN个不同的个不同的 值。值。 qj晶格振动能量的增减必须是晶格振动能量的增减必须是 的整数倍。的整数倍。 qj一个振动模一个振动模(格波格波) ，由，由 个声子所组成。个声子所组成。 qj qnj整个系统则是由众多声子组成的声子气体。整个系统则是由众多声子组成的声子气体。

28、第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.4 晶格振动的量子化及声子：声子的概念晶格振动的量子化及声子：声子的概念1. 声子是准粒子：声子是准粒子：2. 声子是玻色子：声子是玻色子： nGqq特点：特点：声子不可区分、不受泡利原理的限制。声子不可区分、不受泡利原理的限制。不能离开晶格而独立存在。不能离开晶格而独立存在。q：准动量准动量3. 粒子数目不守恒粒子数目不守恒当温度变化时，系统中的声子数将发生变化。当温度变化时，系统中的声子数将发生变化。 110Tkqjjeqn4. 声子具有零点能：声子具有零点能： qj21小结：小结：1. .晶格振动的集体行为可看作一行波在晶格中传播

29、，称格波。晶格振动的集体行为可看作一行波在晶格中传播，称格波。2. .单原子晶格振动，只有声学波，多原子晶格振动可产生声学单原子晶格振动，只有声学波，多原子晶格振动可产生声学波和光学波。对于一维以上的情况声学波和光学波又可分为波和光学波。对于一维以上的情况声学波和光学波又可分为纵波和横波。纵波和横波。3. .周期性边界条件使波矢周期性边界条件使波矢q只能取只能取N个分立值。相应的个分立值。相应的 也取也取分立值。分立值。q4. .q的数目由晶格的原胞数确定，的数目由晶格的原胞数确定， 的数目由晶格的自由度确定。的数目由晶格的自由度确定。q5. .三维晶格，若原胞数为三维晶格，若原胞数为N，每个

30、原胞含有，每个原胞含有l 个原子，则晶格振个原子，则晶格振动的自由度为动的自由度为3lN。即可产生的格波有即可产生的格波有3lN个个。每一个每一个q对应对应3l个个 ，其中声学波有，其中声学波有3支、光学波有支、光学波有(3l-3)支。也就是说，支。也就是说，3lN个格波中有个格波中有3N个声学波，个声学波，(3l-3)N 个光学波。个光学波。第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动6. .晶格振动的能量是量子化的。晶格振动的能量是量子化的。 是晶格振动能量的是晶格振动能量的增减单位。该能量量子称增减单位。该能量量子称声子声子。 qj7. .在简谐近似中，各振动模都是相互独立的。系统

31、为无相互在简谐近似中，各振动模都是相互独立的。系统为无相互作用的声子系统。若考虑非简谐效应，声子和声子之间就作用的声子系统。若考虑非简谐效应，声子和声子之间就存在相互作用。存在相互作用。用声子语言来描述晶格振动问题：晶格振动时产生声子，用声子语言来描述晶格振动问题：晶格振动时产生声子，声子的能量是声子的能量是 ， 是声子频率，共有是声子频率，共有 3lN 种不同种不同模式。一个格波，也就是一种振动模，称为一种声子。如果振模式。一个格波，也就是一种振动模，称为一种声子。如果振动模从基态动模从基态 (能量为能量为 ) 激发到能量为激发到能量为 的激发态，那么就产生了能量为的激发态，那么就产生了能量

32、为 的的 个声子。个声子。共有共有 3 支声学声子支声学声子, 3l-3 支光学声子。支光学声子。 qj qj qj21 qqnjj)(21 qj qnj第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动3.1 3.1 原子间的相互作用原子间的相互作用3.2 3.2 一维单原子晶格的振动一维单原子晶格的振动3.3 3.3 一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动3.4 3.4 晶格振动的量子化及声子晶格振动的量子化及声子3.5 3.5 晶格的热容晶格的热容3.7 3.7 晶格振动的应用举例晶格振

33、动的应用举例3.6 3.6 晶体的热传导晶体的热传导第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动n晶格热容的一般表示式晶格热容的一般表示式n爱因斯坦模型爱因斯坦模型n金属的热容金属的热容n经典理论的困难经典理论的困难n德拜模型德拜模型3.4 3.4 晶格振动的量子化及声子晶格振动的量子化及声子3.5 3.5 晶格的热容晶格的热容第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.5 晶格的热容：经典理论的困难晶格的热容：经典理论的困难n经典理论的困难经典理论的困难以以N个原子构成的三维单原子晶格为例：个原子构成的三维单原子晶格为例：

34、每个自由度平均能量每个自由度平均能量k0T，系统总能量系统总能量=3Nk0T。03NkTECVV 结论：经典理论的结果在低温段与实际不符。结论：经典理论的结果在低温段与实际不符。定容热容：定容热容：第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.5 晶格的热容：晶格热容的一般表示式晶格的热容：晶格热容的一般表示式n晶格热容的一般表示式晶格热容的一般表示式 110Tkqjjeqn频率为频率为 的格波的平均声子数为：的格波的平均声子数为： qj qeqqnqjTkqjjjj2111210平均能量：平均能量：系统总能量：系统总能量： qjjTkqqjjqeqEj,21110第三章第三章 晶

35、体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.5 晶格的热容：晶格热容的一般表示式晶格的热容：晶格热容的一般表示式如果如果 非常密集，近似连续：非常密集，近似连续： qj deeTkkCmTkTkV02200100系统定容热容：系统定容热容： 2,200100TkqTkqqjjVVjjeeTkqkTEC qjjTkqqjjqeqEj,21110模密度模密度第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.5 晶格的热容：爱因斯坦模型晶格的热容：爱因斯坦模型n爱因斯坦模型爱因斯坦模型爱因斯坦模型假设：爱因斯坦模型假设： Ejq假定晶体中共有假定晶体中共有N个原子，总的自由度为个原子，总的自由

36、度为3N。 231,200100TkqTkqNqjjVVjjeeTkqkTEC22001300TkTkEEEeeTkkN0kEE22013TTEEEeeTNk爱因斯爱因斯坦温度坦温度22013TTEVEEeeTNkC第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.5 晶格的热容：爱因斯坦模型晶格的热容：爱因斯坦模型0kEEET：高温时高温时03NkCVT-EVEeTNkC203ET：低温时低温时T0时时, CV以指数方式趋于以指数方式趋于0。原因原因?爱因斯坦假定只有一个振动频率，因而忽略爱因斯坦假定只有一个振动频率，因而忽略了格波的色散关系。了格波的色散关系。第三章第三章 晶体中的

37、原子热振动：晶体中的原子热振动：3.5 晶格的热容：爱因斯坦模型晶格的热容：爱因斯坦模型第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.5 晶格的热容：德拜模型晶格的热容：德拜模型n德拜模型德拜模型可以将晶格近似为连续介质可以将晶格近似为连续介质, 纵波横波具有相同的速度纵波横波具有相同的速度vp： (q)= vpq假定晶体中共有假定晶体中共有N个原子，总的自由度为个原子，总的自由度为3N。德拜模型假设：德拜模型假设：为了保证振动模式数总自由度数，为了保证振动模式数总自由度数，引入频率上限引入频率上限 D： NdD30 32223pvV模密度：模密度：pDvn3126德拜频率德拜频率

38、第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.5 晶格的热容：德拜模型晶格的热容：德拜模型 deeTkkCDTkTkV02200100dvVeeTkkDpTkTk03222200231000kDDTkx0dxexeTNkCTDxxDV0243019德拜温度德拜温度 32223pvV第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.5 晶格的热容：德拜模型晶格的热容：德拜模型dxexeTNkCTDxxDV0243019DT：高温时高温时03NkCVDT：低温时低温时304512DVTNkCT0时时, CV以以T3趋于趋于0。局限性：局限性：.的范围的范围一般只适用于一般只适用

39、于DT30301 1原因原因?第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.5 晶格的热容：金属的热容晶格的热容：金属的热容n金属的热容金属的热容若电子气有若电子气有N个自由电子个自由电子, 则每个电子的平均能量为则每个电子的平均能量为NEdNE00)()(1dEEEEfNdEEEfNC230)()(85522/12022/5FFETkENC金属的热容量金属的热容量=电子热容电子热容+晶格热容晶格热容电子热容：电子热容： 2132234E2mVE第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.5 晶格的热容：金属的热容晶格的热容：金属的热容20020121FFFETkEE

40、2/12022/58552FFETkENCEFETk0200201251FETkEE00022FVVETkkTEC第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.5 晶格的热容：金属的热容晶格的热容：金属的热容304512DVTNkCN个电子构成的系统，电子热容：个电子构成的系统，电子热容：00022FeVETkNkCN个原子构成的系统，晶格热容：个原子构成的系统，晶格热容：304512DaTNkCV00022FVETkkC低温金属的热容量低温金属的热容量=电子热容电子热容+晶格热容晶格热容第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子

41、热振动3.1 3.1 原子间的相互作用原子间的相互作用3.2 3.2 一维单原子晶格的振动一维单原子晶格的振动3.3 3.3 一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动3.4 3.4 晶格振动的量子化及声子晶格振动的量子化及声子3.5 3.5 晶格的热容晶格的热容3.7 3.7 晶格振动的应用举例晶格振动的应用举例3.6 3.6 晶体的热传导晶体的热传导第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动3.1 3.1 原子间的相互作用原子间的相互作用3.2 3.2 一维单原子晶格的振动一维单原子晶格的振动3.3 3.3 一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动3.4 3.4 晶格振动的量子化及声

42、子晶格振动的量子化及声子3.5 3.5 晶格的热容晶格的热容3.6 3.6 晶体的热传导晶体的热传导n热导率热导率n声子的散射机制声子的散射机制n非简谐效应非简谐效应第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.6 晶体的热传导：非简谐效应晶体的热传导：非简谐效应n非简谐效应非简谐效应 222! 21aadrUddrdUaU aUrUdrdUF在简谐近似下，格波间在简谐近似下，格波间(即声子间即声子间)不存在相互作用，不存在相互作用，系统永远不会达到平衡，热阻为系统永远不会达到平衡，热阻为 (即热导率为即热导率为0)。所以解释热传导

43、现象，必须考虑声子间的相互作用，所以解释热传导现象，必须考虑声子间的相互作用，即必须考虑非简谐效应。即必须考虑非简谐效应。.! 31333adrUdadrUd22第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.6 晶体的热传导：热导率晶体的热传导：热导率n热导率热导率固体的导热本领固体的导热本领由热导率描述由热导率描述 若给定的样品两端温度不等，热流就会从若给定的样品两端温度不等，热流就会从高温端流向低温端。高温端流向低温端。能流密度能流密度Q正比于温度梯度：正比于温度梯度：xTQ热导率热导率：第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.6 晶体的热传导：热导率晶体的热

44、传导：热导率晶格振动系统可以看作晶格振动系统可以看作“声子气声子气”系统，系统，直接套用气体分子的热传导公式即可：直接套用气体分子的热传导公式即可：vlCV31平均速度平均速度平均自由程平均自由程晶格比热晶格比热：vlCVvlCV31第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.6 晶体的热传导：热导率晶体的热传导：热导率极低温区极低温区低温区低温区高温区高温区CVlvlCV31vT3 T3 Const.Const. Const. Const.11KTenlT1KTeLT1Te3TL第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.6 晶体的热传导：声子的散射机制晶体的热传

45、导：声子的散射机制n声子的散射机制声子的散射机制声子之间的散射声子之间的散射声子受晶体中点缺陷声子受晶体中点缺陷(杂质、空位杂质、空位)的散射的散射声子受样品边界的散射声子受样品边界的散射声子之间的散射：声子之间的散射：nGqqq321Gn0：正常过程：正常过程(N过程过程)Gn0：倒逆过程：倒逆过程(U过程过程)nGqqq321321qqq第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.6 晶体的热传导：声子的散射机制晶体的热传导：声子的散射机制q2q1q3N过程过程q1q2U过程过程Gnq1+q2Gn0：正常过程：正常过程(N过程过程)Gn0：倒逆过程：倒逆过程(U过程过程)对热

46、阻无贡献！对热阻无贡献！对热阻有贡献！对热阻有贡献！q3第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动3.1 3.1 原子间的相互作用原子间的相互作用3.2 3.2 一维单原子晶格的振动一维单原子晶格的振动3.3 3.3 一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动3.4 3.4 晶格振动的量子化及声子晶格振动的量子化及声子3.5 3.5 晶格的热容晶格的热容3.7 3.7 晶格振动的应用举例晶格振动的应用举例3.6 3.6 晶体的热传导晶体的热传导第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热振动第三章第三章 晶体中的原子热振动晶体中的原子热

47、振动3.4 3.4 晶格振动的量子化及声子晶格振动的量子化及声子3.5 3.5 晶格的热容晶格的热容3.7 3.7 晶格振动的应用举例晶格振动的应用举例3.6 3.6 晶体的热传导晶体的热传导n中子的非弹性散射中子的非弹性散射n金属的热导率与电导率金属的热导率与电导率n离子晶体的红外光学性质离子晶体的红外光学性质第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.7 晶格振动的应用举例：离子晶体的红外光学性质晶格振动的应用举例：离子晶体的红外光学性质n离子晶体的红外光学性质离子晶体的红外光学性质离子晶体的特征之一：大多数离子晶体对可见光离子晶体的特征之一：大多数离子晶体对可见光是透明的，

48、但是透明的，但在远红外区域则有一特征吸收峰在远红外区域则有一特征吸收峰。mMBAq0第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.7 晶格振动的应用举例：离子晶体的红外光学性质晶格振动的应用举例：离子晶体的红外光学性质离子晶体长光学波可以用光波激发，如果它们具离子晶体长光学波可以用光波激发，如果它们具有相同的频率和波矢，可以发生共振，这决定了有相同的频率和波矢，可以发生共振，这决定了离子晶体的红外光学性质，使离子晶体在红外区离子晶体的红外光学性质，使离子晶体在红外区对光波有强的吸收。对光波有强的吸收。在半波长的范围内，正离子所组成的一些布喇菲在半波长的范围内，正离子所组成的一些布喇菲原胞同向地位移，而负离子所组成的一些布喇菲原胞同向地位移，而负离子所组成的一些布喇菲原胞反向地位移，使晶体出现宏观的极化。长光原胞反向地位移，使晶体出现宏观的极化。长光学波又称为极化波。学波又称为极化波。第三章第三章 晶体中的原子热振动：晶体中的原子热振动：3.7 晶格振动的应用举例：中子的非弹性散射晶格振动的应用举例：中子的非弹性散射n中子的非弹性散射中子的非弹性散射中子的非弹性散射可以用来测量声子的色散关系。中子的非弹性散射可以用来测量声子的色散关系。散射过程遵守能量守恒和动量守恒：散射过程遵守能量守恒