167;2 方的特征值 和特征向量

1、时当132，解方程（ae）x = 0由101024012ea000210101得基础解系1212p例例3 求矩阵314020112a的特征值和特征向量的全部特征向量是对应于所以10322kkp解解 (1)由ae=0,求a的全部特征值。314020112ea341222220212得a的特征值为11232 (2)由(ae)x = 0,求a的特征向量。当11时,解方程（a+e）x = 0由111030414ae000010101得基础解系1011p所以对应于11的全部特征向量为 ，01kkp时当232解方程（a2e）x = 0 ,由1140001142ea000000114得基础解系4011103

2、2p,p的全部特征向量所以对应于2323322pkpk不同时为零32k ,k例例4 设是方阵a的特征值, 证证 因为是方阵a的特征值,设为p 0,使 ap = p,于是apapa2appapp2的特征值是所以22a 例例5 设3阶方阵a满足求a的特征值解解 设是a的特征值, x是 a 的关于 所对应的特征向量则ax = x，从而02323axxaxa, 02323aaa又 x0, 02323所以0232)(从而32(32 )0 x22a 则是的特征值.即 (1)(2) = 0故 得a的特征值为： 例例6 若是可逆阵a的特征值 , x 是 a的关于所对应的特征向量,则210321, 的特征值是1

3、11a 仍是它们的特征向量的特征值是xaa. 2xax1xxa1 1从而 11,axxa由已知两边左乘证证。 axax两边左乘因 2,11,a由定义知是的特征值. a axa x a xa x即 aa xx从而 aa故是的特征值。 axa是关于所对应的特征向量。 由上面各例类推,不难证明,若 是a的特征值, 则k是ak的特征值， mmmmaaaaeaa,aaa1010其中例例7 设有4阶方阵a满足a+3e=0,a,eaat02且.a 的一个特征值求解解0303ea,ea即由 a是的特征值。 3a 知是 的一个特征值。 2422 ,16taaea又得， 4,0,4aaa 从而而所以， 44:33

4、aa故的 一 个 特 征 值 为。 四、特征值与特征向量的有关定理四、特征值与特征向量的有关定理 定理定理2设1，2，m是a的m个特征值，p1， p2 , , pm依次是与之对应的特征向量，若1，2，m各不相同，则p1，p2，pm线性无关0 0mmxxxppp2211即则0 0, ,)(mmxxxppp2211a a在（2）两边左乘a，得并 21 m,jjjjp papap0 0mmmxxxppp2221110 0mmmxxxppp22222112112,mx xx证 设有常数使依次做下去0 0mmmmmmxxxppp122121111(m)将上面m个式子联立成线性方程组,得向量方程组由于系数

5、行列式是范得蒙行列式,所以11221 112222221112221111112220000mmmmmmmmmmmmmmppppppppppppx x x x x x x x xxxx112112222121111mmmmmmdjijim1021d,m所以各不相同又因为 由克莱默法则知,向量方程组仅有零解.即m,jxj21 0jp pm,j21 0jp p而）知由（故1 21 0m,jxj.p,p,pm线性无关2123,aaa 证明线性无关。1234令， 1,2,3,4 ,jjjaj 证明因为所以 1234aa11223344例8设a为4阶方阵，其特征值1，2，3，4各不相同，对应的特征向量依

6、次为1，2，3，4，使设常数4321k ,k ,k ,k（）11234()k即211223344aa2222112233443333311223344a2312340aaakkkk211223344)k (2222311223344()k 3333411223344)0k (整理,得= 02312 13 14 11() kk k k 2312232422() kk k k 231233 3433() kk k k 2312434444() kk k k 1234, 由于线性无关 于是其系数行列式是4阶范得蒙行列式,4321各不相同且所以上面方程组仅有零解04321kkkk由（）知23,aaa线性无关。231