大学物理竞赛力学辅导2016

1、力力 学学 基基 本本 概概 念念 及及 补补 充充力学部分力学部分主要公式主要公式：（1). 牛顿第二定律牛顿第二定律 FdtPd（2). 角动量定理角动量定理 MdtLd对于质点对于质点,角动量角动量PrL对于刚体对于刚体,角动量角动量JL (3). 保守力与势能关系保守力与势能关系pEF(4). 三种势能三种势能重力势能重力势能mgzEp弹性势能弹性势能221kxEp万有引力势能万有引力势能rMmGEp(5). 保守力的特点保守力的特点0LrdF作功与路径无关作功与路径无关(6). 势能的定义势能的定义某个位置处的势能计算：某个位置处的势能计算：从这个位置移动到势能零点处，保守力所做的功

2、。从这个位置移动到势能零点处，保守力所做的功。00 0 =abpapbpbpaaCaAEEIf EEAFdr，o)(hEphkEpEHHE重力势能重力势能kEpEE)(xEpxABo弹性势能弹性势能xpEEo0kEkEpE引力势能引力势能( )pEhmgh21( )2pExkx( )pMmErGr 势能曲线的作用：势能曲线的作用： （1 1）根据势能曲线的形状可以）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动讨论物体的运动。 （2 2）利用势能曲线，可以）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向所受保守力的大小和方向。pppEEEA)(12pEAddxFAdcosd

3、xEFpxdd 表明：表明：保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标的导数的负值坐标的导数的负值。(7).转动动能转动动能212J(8).转动定律转动定律FrMvrddMJJt21()NiiiJrm(9).转动惯量转动惯量mrJd2ddmlddmSddmVar刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动一、刚体的平面平行运动一、刚体的平面平行运动定义：定义：当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保持一定的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平持一定的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平面运动，这就叫刚体的平面平行运动。面运动，这就叫刚体

4、的平面平行运动。 根据平面运动的定义，刚体平面运动的自由度根据平面运动的定义，刚体平面运动的自由度有三个，两个坐标决定质心位置，一个坐标决定转有三个，两个坐标决定质心位置，一个坐标决定转动角度。动角度。 刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相对于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。对于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。 主要讨论圆形物体在平面上或曲面上的滚动。通常主要讨论圆形物体在平面上或曲面上的滚动。通常质心就在圆的中心。质心就在圆的中心。二、滚动二、滚动几种滚动的形式：几种滚动的形式： 有滑滚动有滑滚动：接触面之间有相对滑动的滚动：接触面之间

5、有相对滑动的滚动 无滑滚动（纯滚动）无滑滚动（纯滚动）：接触面之间无相对滑动的滚动。：接触面之间无相对滑动的滚动。 车轮的纯滚动车轮的纯滚动 对于纯滚动，除了要满足前面的两个公式以外，还对于纯滚动，除了要满足前面的两个公式以外，还应该满足应该满足约束条件约束条件：CvRCaR 对于平面上的滚动，上式中对于平面上的滚动，上式中 、 是圆心（通常就是圆心（通常就是质心）的速度和加速度大小；是质心）的速度和加速度大小； 和和 为滚动物体的角为滚动物体的角速度和角加速度（物体在质心参考系中的角速度和角加速度和角加速度（物体在质心参考系中的角速度和角加速度）；速度）； 是滚动物体的圆半径。是滚动物体的圆

6、半径。 对于曲面上的滚动，式中的对于曲面上的滚动，式中的 应理解为圆心的切向应理解为圆心的切向加速度。加速度。CvCaRCa 车轮的纯滚动车轮的纯滚动CvARGRBRABGARBR 车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系Rx 则则Rvc 总结总结IFhIFhmFamaF 00此时：这样看待圆柱体的运动：此时：这样看待圆柱体的运动： O点以过点以过O 点为瞬心轴转动。点为瞬心轴转动。若：若： ，即：相对运动趋势向前，即：相对运动趋势向前， 向后。向后。 ra 00f12 rh ，即：相对运动趋势向后，即：相对运动趋势向后， 向前。向前。 ra 00f12

7、 rh ，即：无相对运动趋势，即：无相对运动趋势， ra 000 f12 rh关于关于“纯滚动纯滚动”问题，问题，判断静摩擦力方向判断静摩擦力方向：静摩擦力与相对运动趋势相反。：静摩擦力与相对运动趋势相反。（1）求质心的运动求质心的运动。 利用质心运动定律，设质心在利用质心运动定律，设质心在Oxy平面内运动，平面内运动，则有平动方程则有平动方程CxxmaF CyymaF zCMJ 刚体平面平行运动的求解刚体平面平行运动的求解:（2）在质心坐标系中讨论刚体绕通过质心并垂直于在质心坐标系中讨论刚体绕通过质心并垂直于空间固定平面的轴转动空间固定平面的轴转动。zCLJ（3）纯滚动约束方程纯滚动约束方程

8、。CvRCaR例题例题 讨论一匀质讨论一匀质实心的圆柱体在斜面实心的圆柱体在斜面上的运动。上的运动。N aCxG=mgrxyOfr 解解 圆柱体所受的力共有三个：圆柱体所受的力共有三个：重力重力G ，斜面的支承力，斜面的支承力N 和和摩擦力摩擦力f r，如图所示。设圆柱体的质量为，如图所示。设圆柱体的质量为m，半径，半径为为r，那么，它对其几何的转动惯量，那么，它对其几何的转动惯量 221mrJ 这样可得这样可得rCfmgmaxsincosmgNmayCrfJr以上三式中，以上三式中，aCx x和和aCy是圆柱体质心在是圆柱体质心在x x轴和轴和y y轴方轴方向的加速度，向的加速度， 是圆柱体

9、对其通过质心的几何轴转是圆柱体对其通过质心的几何轴转动的角加速度。因斜面粗糙，圆柱体下降时没有滑动的角加速度。因斜面粗糙，圆柱体下降时没有滑动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时0yCma解上列五个式子，得解上列五个式子，得0yCma我们取和斜面平行而向下的方向为我们取和斜面平行而向下的方向为x轴的方向，和轴的方向，和斜面垂直而向上为斜面垂直而向上为y轴的方向轴的方向，21sinmrJgaxCrmrJg21sin，sin2mgJmrJfrcosmgN 代入上式得代入上式得因因221mrJ rgsin32，sin31mgfr，sin32gaxC 如果这圆柱体从静

10、止开始沿斜面滚下一段距离如果这圆柱体从静止开始沿斜面滚下一段距离x，与之相应，下降的竖直距离是，与之相应，下降的竖直距离是h=xsin ，这时质心，这时质心的速度由的速度由ghgxxavxC34sin3422求得求得ghv34 如果斜面是光滑的，对圆柱体没有摩擦力，即如果斜面是光滑的，对圆柱体没有摩擦力，即fr=0，则圆柱体沿斜面滑下的加速度是，则圆柱体沿斜面滑下的加速度是singaxC而圆柱体对质心的角加速度与角速度为而圆柱体对质心的角加速度与角速度为，0 0 如果圆柱体从静止沿斜面下滑的距离也是如果圆柱体从静止沿斜面下滑的距离也是x x，则质心所获得的速度由，则质心所获得的速度由ghgxx

11、avxC2sin222求得求得ghv2 在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中，在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中，我们看到，两者加速度之比是我们看到，两者加速度之比是2/32/3，两者速度，两者速度之比是之比是32 本题也可用机械能守恒定律讨论本题也可用机械能守恒定律讨论。圆柱体在斜面。圆柱体在斜面上作纯粹滚动下落时，所受到的斜面的摩擦力和正压上作纯粹滚动下落时，所受到的斜面的摩擦力和正压力都不作功，满足机械能守恒的条件。圆柱体从静止力都不作功，满足机械能守恒的条件。圆柱体从静止滚下，它没有初动能，只有重力势能滚下，它没有初动能，只有重力势能mgh，当它滚动当它滚动下降这段高度时，全部动能是下降

12、这段高度时，全部动能是222121CkJmvEC 对纯粹滚动而言，对纯粹滚动而言，vc=r ，以此代入得，以此代入得22121CvmrJmECk 由机械能守恒定律得由机械能守恒定律得22121CvmrJmmghC求得求得212mrJghvCC代入上式得代入上式得因因221mrJ ghv34和以前的结果完全一致。和以前的结果完全一致。例例 一质量为一质量为m、半径为、半径为R R 的均质圆柱，在水平外力的均质圆柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所示。求质心，如图所示。求

13、质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。的加速度和圆柱所受的静摩擦力。解：设静摩擦力解：设静摩擦力f f 的方向如图所示，则由质心运的方向如图所示，则由质心运动方程：动方程：CmafF圆柱对质心的转动定律圆柱对质心的转动定律CJRflF纯滚动条件为纯滚动条件为RaC圆柱对质心的转动惯量为圆柱对质心的转动惯量为 FaC221mRJC联立以上四式，解得联立以上四式，解得mRlRFaC3)(2FRlRf32由此可见由此可见l0, 静摩擦力向后静摩擦力向后 lr/2, f 0 )观察者接收到的频率：观察者接收到的频率： Ruu /n+=v观察者观察者向向波源运动波源运动sRsRuuvRRuvuuRv观察者观

14、察者远离远离波源波源RRsuuv观察者观察者相对波源运动时相对波源运动时uuR RRsRsv若观察者接近波源若观察者接近波源R R为正，远离为负为正，远离为负2. 观察者不动，波源相对介质以速度观察者不动，波源相对介质以速度sv运动运动As sTsvT s sv波源波源向向观察者运动观察者运动观察者接收到的频率观察者接收到的频率 ()suTvssuvRssuuvuuuwswss svRwRw3. 波源与接收器同时相对介质运动波源与接收器同时相对介质运动uuR RRsRss svv观察者接收到的频率观察者接收到的频率 波源和观察者波源和观察者相向相向运动时运动时R RvS Sv和和均取正值均取正

15、值波源和观察者波源和观察者相背相背运动时运动时R RvS Sv和和均取负值均取负值波源波源远离远离观察者观察者RssuuvsuuR Rs sv波源波源相对相对观察者观察者运动时运动时若波源接近观察者若波源接近观察者s s为正，远离为负为正，远离为负例例 一个观察者站在铁路附近，听到迎面开来的一个观察者站在铁路附近，听到迎面开来的火车汽笛声为火车汽笛声为A4音音(频率为频率为440 Hz)，当火车驶过，当火车驶过他身旁后，汽笛声降为他身旁后，汽笛声降为 G4 音音(频率为频率为392 Hz)，问，问火车的速率为多少火车的速率为多少 ? 已知空气中的声速为已知空气中的声速为 330 m/s。解：设

16、汽笛原来的频率为解：设汽笛原来的频率为 0， 当火车驶近观察者时，接收到的频率为当火车驶近观察者时，接收到的频率为 ， = V 0 / ( V - u ) 当火车驶过观察者后，接收到的频率为当火车驶过观察者后，接收到的频率为 ， = V 0 / ( V + u ) / = ( V + u ) / ( V- u )火车速率火车速率 u = ( - ) V/ ( + ) = 19 m/skHz1101ms330u.已知空气中的声速为已知空气中的声速为的频率为的频率为Rv解：解：1）车为接收器）车为接收器uuRv例题例题12 利用多普勒效应监测车速，固定波源发出利用多普勒效应监测车速，固定波源发出求

17、车速求车速 .kHz100频率为频率为的超声波，当汽车向波源行驶时，的超声波，当汽车向波源行驶时，与波源安装在一起的接收器接收到从汽车反射回来的波与波源安装在一起的接收器接收到从汽车反射回来的波 2）车为波源）车为波源 SvuuRSuuvv车速车速RSvv18 .56hkmu 电磁波的传播不依赖弹性介质，波源和观测者电磁波的传播不依赖弹性介质，波源和观测者之间的相对运动速度决定了接听到的频率。电磁波之间的相对运动速度决定了接听到的频率。电磁波以光速传播，在涉及相对运动时应考虑相对论时空以光速传播，在涉及相对运动时应考虑相对论时空变换关系。变换关系。当波源和观测者在同一直线上运动时，得到当波源和

18、观测者在同一直线上运动时，得到 cvvcR RS Svv 波源和接收器之间相对运动的速度波源和接收器之间相对运动的速度。v 振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所作的振动，称为下所作的振动，称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动。 在回复力和阻力作用下的振动称为在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动阻尼振动。 对在流体对在流体( (液体、气体液体、气体) )中运动的物体，当物体速度中运动的物体，当物体速度较小时，阻力大小正比于较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示为速度，且方向相反，表示为 fddxFvt ：阻力系数阻力系数物体的形状、大小、和

19、介质的性质决定物体的形状、大小、和介质的性质决定在阻力作用下的弹簧振子在阻力作用下的弹簧振子受力：受力：运动方程运动方程: :引入引入固有角频率固有角频率20km在在小阻尼条件小阻尼条件下下 ，微分方程的解为，微分方程的解为: :)(0其中其中阻力阻力fFkx弹性恢复力弹性恢复力22ddddxxmkxtt 2202dd20ddxxxtt00ecos()txAt2202m，阻尼系数阻尼系数余弦项余弦项表征了表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动在弹性力和阻力作用下的周期运动；反映了反映了阻尼对振幅的影响阻尼对振幅的影响。tetAe0txO00ecos()txAt0A0其中其中和和为积分常数为积分常

20、数, ,由初始条件决定。由初始条件决定。上式中的上式中的阻尼振动的阻尼振动的准周期性振动准周期性振动 阻尼振动阻尼振动不是周期性振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因位，更不是简谐振动，因位移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。 位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振阻尼振动的周期动的周期，有，有显而易见，显而易见，由于阻尼，振动变慢了由于阻尼，振动变慢了。阻尼振动的振幅为：阻尼振动的振幅为：阻尼振动振幅的衰减程度。阻尼振动振幅的衰减程度。2200222T0etAA振幅随时间作指数衰减振幅随时间作指数

21、衰减。阻尼。阻尼大小决定了大小决定了00000000000coscossinsinxAvAAxA 00ecos()txAt0A0其中其中和和为积分常数为积分常数, ,由初始条件决定。由初始条件决定。2200000000()()tanvxAxvxx 即得即得 的所在象限可由的所在象限可由 的符号确定的符号确定。00cos 阻尼振动阻尼振动的能量仍然等于动能与势能之和，但的能量仍然等于动能与势能之和，但总总能量不再是常量能量不再是常量：221122Ekxmx00ecos()txAt0000ecos() esin()ttxAtAt 000esin()txAt 222002222001cos ()21

22、 sin ()2ttEkA etmA et22022222200001122ttkmmEmA eE emA 可见可见阻尼很小时阻尼很小时，能量仍然与，能量仍然与 时刻的振幅平方时刻的振幅平方成正比。成正比。t0 tAA e其中2EQE 阻尼系数阻尼系数的大小反映了阻尼的大小。也可以用一的大小反映了阻尼的大小。也可以用一周中振子损失的能量在总能量中所占的比例来描写阻周中振子损失的能量在总能量中所占的比例来描写阻尼的大小。通常定义时刻尼的大小。通常定义时刻 振子的能量振子的能量 与经过一周与经过一周后损失的能量后损失的能量 之比的之比的 倍为振子的倍为振子的品质因数品质因数 。QtEE22121t

23、Qe0222Qt 小阻尼（小阻尼（ 欠阻尼欠阻尼）情况下，由上式可得）情况下，由上式可得0阻尼振动的三种情形：阻尼振动的三种情形：临界阻尼临界阻尼过阻尼过阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼000 xOt 通过控制阻尼的大小，通过控制阻尼的大小，以满足不同实际需要。以满足不同实际需要。应用应用：1、机器加大摩擦阻尼、机器加大摩擦阻尼3、灵敏电流计临界阻尼灵敏电流计临界阻尼2、弦乐器加大辐射阻尼、弦乐器加大辐射阻尼解：解：第一宇宙速度（环绕速度）第一宇宙速度（环绕速度） 设在地球表面外某一高度的设在地球表面外某一高度的P点发射飞行器，发射速度为点发射飞行器，发射速度为v1，方

24、方向和地面平行。当向和地面平行。当v1的值使机械能的值使机械能E0; 因此有因此有, 000)0(xeeexxcctexx0texxa022由此可得由此可得第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛解解210PPghPP液GNN21容器对地面的压力等于液体的重力容器对地面的压力等于液体的重力, 对面对容器的支持力等于压力对面对容器的支持力等于压力, 因而也等于液体的重力因而也等于液体的重力. 所以有所以有第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛解解: (1) 对物块对物块A和和B分别列牛顿第二定律方程分别列牛顿第二定律方程ATaBmBgTaa0

25、amTAA:)(:0aamgmTBBB)(0aamgmamBBAgmamamamBBBA0)(00gammmmmgmamaBABBABB第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛解解: (2) (i) 对物块对物块A和和B(向下运动向下运动)分别列牛顿第二定律方程分别列牛顿第二定律方程)(:0aamTAA0;:amFamfTgmBBBBFf BABABmmammgma0)(BmBgTATaaa0fF由上述三个方程可得由上述三个方程可得,amamaamgmBBAB00)(0)(ammgmamamBABABBABmmgmaaB00不向下运动则要第第 25 届届 全国部分地区

26、大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛(ii) 对物块对物块A和和B(向上运动向上运动)分别列牛顿第二定律方程分别列牛顿第二定律方程)(:0aamTAA0;:amFamfgmTBBBBFf BABBAmmgmamma0)(BmBgTATaaa0fF由上述三个方程可得由上述三个方程可得,amamgmaamBBBA00)(动说明物体不可能向上运;0ammABamamgmamamABBBA00综合以上综合以上(i)和和(ii)的分析的分析, 可得要可得要B不动必须不动必须BABmmgma0第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛BABBAmmgmamma0)(BmBgTATa

27、aa0fF综合以上综合以上(i)和和(ii)的分析的分析, 可得要可得要B不动必须不动必须BABBABmmgmammgm0(iii) 如果没有题设的条件如果没有题设的条件 BAmm则物体则物体B有可能有可能会向上运动会向上运动, 此时有此时有a0要使物体要使物体B不向上运动不向上运动, 则必须则必须 a0; 即即gmammBBA0)(BABmmgma0第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛解解: 1、2间的线剪断后间的线剪断后, 1和和2 向左运动向左运动, 3向右运动向右运动. )2(43)2(442212121020202232221lqlqlqmmm运动过程中

28、只有静电场力做功运动过程中只有静电场力做功, 因此能量守恒因此能量守恒, 即即312v3v1v2当三个小球在竖直方向成一直线时当三个小球在竖直方向成一直线时, 3的速度为最大的速度为最大.) 1 (;021321且mmm三个小球组成的系统所受合外力为零三个小球组成的系统所受合外力为零, 动量守恒动量守恒, 即即由由(1)式得式得, 12322代入代入(2)式得式得, lqmm0223234212141第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛312v3v1v2lqmm0223234212141lqm022342143由此可得球由此可得球3的最大速度的最大速度, lmq0

29、2max36312v3v1v2312312v3v1v2系统在运动过程中系统在运动过程中, 合外力为零合外力为零, 质心不动质心不动.因此因此3运动的最大距离为运动的最大距离为llmlms3322334330cos220maxCCC第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛解解 (1) 设设B在在t时间内从时间内从A点运动到点运动到C点点221)(costLtSCACB在在C与与S的连线方向的速度为的连线方向的速度为SACvv1B根据多普勒效应根据多普勒效应, 观察者观察者B远离波源远离波源S, 因此因此B接收的频率为接收的频率为方向的速度是观察者在与波源连线000uu

30、代入代入v1得得, 02201)(1 (tLtuuu第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛解解 (2) B在在t时间内接收到的振动次数为时间内接收到的振动次数为ttdttLtudttN00220)(1 ()(SACvv1BttdtLtut02200)()(ttLut02200)()(2200LtLut022)(uLtLt第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛4Lxc解解(1) 滑动前滑动前, 软绳的质心坐标软绳的质心坐标LxLxLxxxc)(2/)()2/(滑动后滑动后, 软绳的质心坐标为软绳的质心坐标为)22(212)(212222xL

31、xLLLxLxL质心下落的高度为质心下落的高度为4)22(2122LxLxLLxxxhcccLxxL241x0 x0CC解题方法见解题方法见上册上册P56 例例2 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛质心下落的高度为质心下落的高度为LxxLh241MghM221由能量守恒得由能量守恒得)44(42)41(222222xLxLLgLxxLggh2)2(2xLLgLgxLxLLg2)2()2(22由此可得软绳的速度为由此可得软绳的速度为此时此时, 软绳的总动量为软绳的总动量为xxLPPPxxL)(LgLMxLLgxLxLLM2)2(2)2)(2(2x0 x0CCMgN

32、由动量定理由动量定理dtdPF合可得在坚直方向有可得在坚直方向有, 2)2(2LgLMxLdtddtdPNMgLgLMxL2)2(4LgLMdtdxxL2)2)(2(2LgLMxLLgxL2)2(2)2(4第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛LgLMxLLgxLNMg2)2(2)2(4MgN当当N=0时时, 有有22)2(2xLLMgMg整理得整理得LLLLx)22(41)221 (21)21(21即当即当x 为为 时时, 细钉为软绳提供的向上的支持力为零细钉为软绳提供的向上的支持力为零.Lxx)22(41022)2(2xLLMgNMg整理得整理得xLLxLL22

33、)2(222gLLgLLgxLx212222)2(00N=0时时, x = x0 ; 此时软绳的速度为此时软绳的速度为第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛x0以右侧向下运动的软绳为参照系以右侧向下运动的软绳为参照系S讨论问题讨论问题当当x=x0时时, 在运动坐标在运动坐标S系中右侧向下初速度为零系中右侧向下初速度为零, 左侧左侧B点向上的初速度为点向上的初速度为gLx020当当x=x0 时时软绳的质心坐标为软绳的质心坐标为)22(212002xLxLLxc初始时刻初始时刻 (即即x = x0时时), 软绳的软绳的BC间的距离为间的距离为)24(21)22(2120

34、02020020 xLxLLxxLxLLxxBCc)22(2122xLxLLxc静止坐标系中质心坐标为静止坐标系中质心坐标为xxxxcLxxLL2)(2)(1静止坐标系中质心的速度为静止坐标系中质心的速度为对比伽利略变速变换公司对比伽利略变速变换公司, u可得可得, 当当x=x0 时时, 质心质心C在运动坐标系在运动坐标系S中的相对速度为中的相对速度为)(2000负号表示方向向上LxLxxc即在即在S系里看质心系里看质心是向上运动的是向上运动的.撤去细钉后撤去细钉后, 软绳只受重力作用软绳只受重力作用, 因此软绳（参照系因此软绳（参照系S）将作自由落体运动）将作自由落体运动.第第 25 届届

35、全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛x0软绳被拉直时软绳被拉直时, 所用时间为所用时间为t; BC间的距离为间的距离为2LBC 在在S系中系中, B点向上的速度为点向上的速度为v0; 质心向上的速度大小为质心向上的速度大小为vc, 且二者关系为且二者关系为00LxcS系作自由落体运动系作自由落体运动, 在在S系中观察系中观察, B和和C都作向上的匀速直线运动都作向上的匀速直线运动(因为因为在在S系中观察时系中观察时, 软绳没有受力的作用软绳没有受力的作用 - 完全完全“失重失重”).0000002000)()2()/1 (/2xLxxLLxLxxBCBCtc将将 代入上式得代入上式

36、得gLLx00,)4221(gLLLLLLLLLt)4221()4221)(42212()24(212002xLxLLBCt=0, 时时BC间距离为间距离为gLgLL)22(4)22)(26()4221()4221)(4223(BCBCttc0因此有因此有第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛gLt)22(4)22)(26(gL8)226)(26(gL4)23)(26(gL4)2314(gL)22)(22(4)22)(26(2gLgL44. 24)2314(不正确gLt4)2914(第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛解解 分析分析:

37、本题中两个摆球是分别绕两个支点转动本题中两个摆球是分别绕两个支点转动.因此因此, 本题需要用动量定理和角动量定理求解本题需要用动量定理和角动量定理求解. (2) 两个摆对每个转动点的总力矩也都不为零两个摆对每个转动点的总力矩也都不为零, 因此碰撞过程中的系统角动量也不守恒因此碰撞过程中的系统角动量也不守恒.(1) 两个摆球在碰撞过程中两个摆球在碰撞过程中, 所受合外力所受合外力 都不为零都不为零, 因此系统的动量不守恒因此系统的动量不守恒;N2第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛如图所示如图所示, 碰撞过程两个摆所受的内外力分别为碰撞过程两个摆所受的内外力分别为N

38、和和N1, N2设碰撞时间为设碰撞时间为t, t很小很小. 对两个摆分别列动量定理方程对两个摆分别列动量定理方程摆摆1: 摆的动量等于质心摆的动量等于质心(圆心圆心)的动量的动量.) 1 (220111101111RmRmmmtNtN摆摆2: 摆的动量等于质心的动量摆的动量等于质心的动量.)2(322202222RmmmtNtN) 3()3()3(301101111ccccJRPJRPtRNtRN摆摆1: 摆的角动量等于质心相对于摆的角动量等于质心相对于O2的角动量加上摆相对于质心的角动量的角动量加上摆相对于质心的角动量.角动量方程角动量方程: 两个摆必须以同一点为参考点列方程两个摆必须以同一

39、点为参考点列方程, 现以现以O2为参考点列方程为参考点列方程)sin(12JLrpLLLtMMdt或角动量定理角动量定理动量方程动量方程(设向右为正设向右为正):12PPtFFdt动量定理动量定理N2Rv1cr1cv2c)4()3(3222ccJRPtRN摆摆2: 摆的角动量等于质心相对于摆的角动量等于质心相对于O2的角动量加上摆相对于质心的角动量的角动量加上摆相对于质心的角动量.碰撞为弹性碰撞碰撞为弹性碰撞, 动能守恒动能守恒:)5(212121222211201JJJ第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛N2Rv1cr1cv2c上述方程可化简为上述方程可化简为:

40、)21 ()(2011mRtNtN)22(2922mRtNtN21)3(221)3(2302101121111RmRRmRmRRmtRNtRN21621630212012211RmRmmRRmtRNtRN)23(2133011mRtNtN)24(45721921)3(33222222222RmRmRmRRmtN) 1 (220111101111RmRmmmtNtN)2(322202222RmmmtNtN) 3()3()3(301101111ccccJRPJRPtRNtRN)4()3(3222ccJRPtRN)5(212121222211201JJJ222222212121202121)3(21

41、)2(21)2(21RmRmRmRmRmRm第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛222222212121202121)3(21)2(21)2(21RmRmRmRmRmRm解联立方程组解联立方程组(1-2)- (4-2) 即可求得即可求得 1和和 2: )25(4572921929292222122222212202mRmRRmmRmR)21 ()(2011mRtNtN)23(2133011mRtNtN)24(45732RmtN)25(19)(6222120)22(2922mRtNtN由于由于N2只出现在只出现在(2-2)式中式中, 且不是所要求的量且不是所要求的量

42、, 因此去除因此去除(2-2)式可式可.)6(4572132011RmmRtN(3-2)+(4-2)得得3 (1-2)+(4-2)得得)7(457632011RmmRtN第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛)6(4572132011RmmRtN)7(457632011RmmRtN由由(6)和和(7)得得RmmRRmmR201201457645732133)8(9191022457213601201两边乘两边乘4除除mR2得得)25(19)(6222120由由(5-2)得得, 22101019)(6)9()(23102由由(8)/(9)得得)(2)(93191010

43、2221019919)(6(8)式入得式入得第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛)(2)(93191010)(27)(381010001138272738016511由此解得由此解得, 0000102653665761996511199199 1代入代入(8)式得式得第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛解解 (1) 细杆在转动过程中机械能守恒细杆在转动过程中机械能守恒, 由此可得由此可得sin3sin2312121222LgLmgmLmghJcCChcmg(2) 转动过程的策略矩为转动过程的策略矩为cos2LmgMLgmLmgLJMJ

44、M2cos331cos212由转动定律得由转动定律得第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛解解 (1) 设在设在dt时间内有时间内有dm质量的水通过小孔流出水瓶质量的水通过小孔流出水瓶, 则由机械能守恒得瓶里水则由机械能守恒得瓶里水 的势能减小等于流出去的水的动能的势能减小等于流出去的水的动能.CH / 2221212gSHVgHHmgEp瓶内水的势能瓶内水的势能gSHdHdEp流出的水的质量流出的水的质量SdHdVdm流出的水的动能流出的水的动能SdHdmdEk21212121由机械能守恒得由机械能守恒得SdHgSHdHdEdEkP2121由此可得由此可得gH21

45、(2) 水瓶抛出后水瓶抛出后, 瓶口的水与瓶口的水与整个水瓶一样只受重力的作整个水瓶一样只受重力的作用用, 初速度又相同初速度又相同, 因此它们因此它们的运动完全一样的运动完全一样, 所以小孔没所以小孔没有水流出有水流出. 即即 v2=0.第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛解解: (1) 合成驻波的表达式为合成驻波的表达式为321)42cos(2)4cos()42cos(200 xtAxtA2cos2cos2coscos)42cos(2)22cos()2cos(000 xtAxtAxtA)42cos(2)42cos(200 xtAxtA)2cos()4cos(2

46、0 xtA)4cos()2cos(20txA(2) 驻波的振幅驻波的振幅)2cos(2)(0 xAxA波腹处坐标波腹处坐标,.2, 1, 0,221)2cos(kkxkxx第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2020)/(11clll解解 (1)根据相对论根据相对论, 在在S系中空心管的长度为系中空心管的长度为:因此在因此在S系中粒子不动系中粒子不动, 管的管的B端经过粒子时端经过粒子时t=0, 则管的则管的A端经过粒子的时刻端经过粒子的时刻t1为为/)/(1/201cllt0121cS粒子相对于粒子相对于S系的速度为系的速度为222121ccS(2) 粒子在管内

47、反射后相对管子的速度为粒子在管内反射后相对管子的速度为v, 则粒子相对于则粒子相对于S系的速度为系的速度为在在S系粒子从系粒子从A端到端到B端所用时间为满足端所用时间为满足)(1220222cllttS第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛因此因此, 在在S系看粒子从系看粒子从B到到A再到端所用时间为再到端所用时间为)(1/ )1 ()(122220220212cclclttt/)/(1/201cllt在在S系粒子从系粒子从B端到端到A端所用时间为端所用时间为)(12)1 (1 )(12202222220clcccl)1/(2/)(122220222ccllttS)

48、(1)1/(2220222cltc)(1)1 ()1 ()(1)1 ()1 (22222022222220222ccltcccltc由此可得在由此可得在S系粒子从系粒子从A端到端到B端所用时间为端所用时间为 )(1/)1 (222202cclt第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛解解 : 初始状态初始状态AB内的压强为内的压强为 P1AB= 76cm ; CD内的压强为内的压强为 P1CD= P1AB+76cm= 152cm ; 末状态末状态AB内的压强为内的压强为 P2AB; CD内的压强为内的压强为 P2CD; 则图则图2可得可得) 1 ()76(21(762

49、2ABCDABlxxPP令由气体状态方程可得由气体状态方程可得CDCDCDCDABABAVABVPVPVPVP22112211;)2()276(76176176212121xPPlPPSlPSPABABABABABABABAB) 3 ();276(761;)762(762121xPPSlPSPCDCDABCDCD第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛将将P1AB= 76cm, P1CD= 152cm代入代入(2)(3)式得式得)276()76()276(76176222xPxPABAB)276(76152)276(76115222xPxPCDCD将上两式代入将上两式

50、代入(1)76(27676152276)76(2xxx)276)(276)(76()276(76152)276()76(2xxxxx) 1 ()276(7622xlxPPABCDAB令)2()276(76121xPPABAB)3();276(76121xPPCDCD)21 (76)21 (76)1 (76)21 (76152)21 ()76(7633yyyyyyx则有令)21)(21)(1 ()21 (2)21 (yyyyy化简得化简得)44(142)21 (32yyyyy0274423yyy)41)(1 ()21 (2)21 (2yyyyABly代回去可求出求出第第 26 届届 全国部分地区

51、大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛解解 : 将坐标原点建在月心将坐标原点建在月心, 则月则月-地系统的地系统的 质心坐标质心坐标(即月球到质心的距离即月球到质心的距离)为为 mMmrMrc82422824010794. 31098. 5103 . 71084. 31098. 5月球绕质心月球绕质心C作圆周运动作圆周运动202rMmGmrFcn月球的运动周期为月球的运动周期为天天秒24.272436001035316. 21035316. 2106701. 21416. 322666TrCrC0mM2882411288241120)1084. 3(10794. 31098. 51067. 6)1084. 3(10794. 31098. 51067. 6rrGMc16112106701. 2101296. 7ss第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛分析分析 : 由于地球和月球实际都不是一个质点由于地球和月球实际都不是一个质点, 且地球有自转和绕太阳的公转等且地球有自转和绕太阳的公转等, 因此将看到月球的形状发生变化因此将看到月球的形