用分离变量法解常微分方程

1、用分离变量法解常微分方程 . 直接可分离变量的微分方程1.1形如 = (1.1)的方程，称为变量分离方程，这里，分别是的连续函数.如果(y)0，我们可将（1.1）改写成= ,这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到 通解：= + c. (1.2)其中，c表示该常数，分别理解为，的原函数.常数c的取值必须保证（1.2）有意义.使的是方程(1.1)的解.例1 求解方程的通解.解：(1)变形且分离变量：(2)两边积分： ，得.可以验证也是原方程的解，若视和是平等的，则也是原方程的解.我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题.例2 曲线上的点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分.求曲线的方程.

2、分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线的方程，用大写的表示法线上的动点，用小写的表示曲线上的点，为过点的法线的斜率.解：由题意得.从而法线的方程为.又被轴平分，与轴交点的坐标为，代入上式，得.整理后，得，图1分离变量，解得，其中c为任意正数，如图1. 变量可替换的微分方程通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程.下面，我们再介绍几种可化为变量分离方程的类型:2.1齐次方程形如 (1.3)的微分方程，称为齐次微分方程.这里是的连续函数.对方程(1.3)做变量变换 ， (1.4)即，于是 . (1.5)将(1.4),(1.5)代入（1.3），则原方程变为 ，整理后，

3、得到 . (1.6)方程（1.6）是一个变量分离方程.可按前面(1.1)的方法求解，然后代回原来的变量，便得到（1.3）的解.例3 求微分方程的通解.解：原方程化为 ，即，于是，令，即，将代入该方程，得，整理，即有，分离变量，得 ，两边积分，得，将代回来，得， ，即，其中为任意常数.另,即也是原方程的解，但此解课包含于通解之中.故,方程的通解为.2.2形如 (1.7)的方程，这里均为常数. 此方程经变量变换可化为变量分离方程.我们分三种情形来讨论：2.2.1 的情形.这时方程化为有通解，其中.2.2.2 的情形.令，这时有是变量分离方程.2.2.3 的情形.如果方程中不全为零，方程右端分子、分

4、母都是的一次多项式，因此， . （1.8）代表平面上两条相交直线，设交点.若令，.则（2.2）化为，.从而（2.1）变为 . (1.9)因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.1）的解.如果方程（2.1）中可不必求解（2.2），直接取变换即可.上述解题的方法也适用于比方程（2.1）更一般的方程类型.例4 求解方程 （2.0）解： 解方程组 , ,得.于是，令,代入方程（2.4），则有 . 再令,即 ，则化为，两边积分，得，因此，代回原变量，得，即.因此，方程（2.3）的通解为，其中，为任意常数.通过上述的求解，我们发现以上的方法是非常的准确的，但是对于像例5这种形式的的方程

5、，我们发现还可以用另一种方法凑微分进行求解.凑微分当方程满足： （2.2）时，方程会有更简便的求解方法（全微分的知识的运用）.即：将代入方程中，有即展开，得 （2.3）有条件（2.6）可知， （2.4）将（2.8）代入（2.7）中，得.很显然，这是一个全微分方程，从而原方程的通解为，其中为任意常数.例5 求解方程.解法一：该方程属于（2.2.2）的情形.于是，令.则所以，原方程可化为.这是一个分离变量方程.整理可得.将代入，可得即，通解为.其中c为任意常数.观察例6可以发现，方程也满足条件(2.6)，于是用凑微分的方法同样可以求解.解法二：原方程变形为.整理得.所以.两边积分，得原方程的通解为

6、=C，其中C为任意常数.以上的两种方法都是求解微分方程的常用方法,下面再介绍几种比较常见的课分离变量的方程.2.3形如 的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，这里的均为常数.做变量变换，这时有，即.是变量分离方程.而当时，为其特殊形式.例7 求解方程.解：因为 ， (2.5)可以化为.于是，令 . (2.6)则 , (2.7)将(2.9)代入(2.11)可以知道，这是一个分离变量方程.即.两边同时积分，得 . (2.8)再将(2.10)代入(2.12)，得.所以整理得，其中C为任意常数. 2.4其他几种变量能分离的方程类型2.4.1形如 , (2.9)的方程同样可已经变量替换化为变量分离方程.将(2.13)变形为 (3.0)做变量替换 . 这时有 ， (3.1)将(2.15)代入(2.14)中，得.是变量分离方程.2.4.2形如 ， (3.2)的方程是变量分离方程.做变量替换，则 ， (3.3)代入原方程，得.是变量分离方程.2.4.3形如 ， (3.4)的方程是变量分离方程.做变量替换，则，有 ， (3.5)将(2.19)代入(2.18)中，得，所以，原方程同样是变量可替换方程.2.4.4形如 (3.6)（其中、满足）的方程.可令，方程(2.20)化为齐次方程，事实上，由于，所以，即，再，设，可化为变量分离变量.除此之外，还有一些一般形式，如可以通过变量