数学分析试题及答案解析

1、2014-2015 学 年 度 第 二 学 期数学分析2» A试卷学院 班级 学号（后两位） 姓名 题号一二三四五六七八总分核分人得分.判断题（每小题3分，共21分）（正确者后面括号内打对勾，否则打叉）x1 . 若f x在a,b连续，则f x在a,b上的不定积分 f x dx可表为f t dt C （）a2 .若 f x ,g x 为连续函数，则 f x g x dx f x dxg x dx （）.3 .若 f x dx绝对收敛， g x dx条件收敛，则 f x g x dx必然条件收敛（） aaa4 .若 f xdx收敛，则必有级数f n收敛（）1 n 15 .若fn与gn均在

2、区间I上内闭一致收敛，则fn gn也在区间I上内闭一致收敛（）.6 .若数项级数an条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（）n 17 .任何幕级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幕级数收敛半径与收敛域与原幕级数相同（）.单项选择题（每小题3分，共15分）a1 .若f x在a,b上可积，则下限函数 f x dx在a,b上（） xA.不连续 B. 连续 C. 可微 D.不能确定2 .若g x在a,b上可积，而f x在a,b上仅有有限个点处与g x不相等，则（）A. f x在a,b上一定不可积；bbB. f x在a,b上一定可积，但是 f x dx g x dx

3、; aa、bbC. f x在a,b上一定可积，并且 f x dx g x dx ;aa-D. f x在a,b上的可积性不能确定3.级数n 11 n-2 nA.发散B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定4 .设 Un为任一项级数，则下列说法正确的是（）A. 若lim Un 0 ,则级数un 一定收敛；nB. 若lim u1 ,则级数Un 一定收敛；n U unC. 若NinN时有,UT1,则级数Un一定收敛;D. 若N,当nN时有,1,则级数Un一定发散;Un5 .关于幕级数anxn的说法正确的是（）A. anXn在收敛区间上各点是绝对收敛的；B. anxn在收敛域上各点是绝对收敛的；C. an

4、xn的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；D. anxn在收敛域上是绝对并且一致收敛的； 三.计算与求值（每小题5分，共10分）1.2.四.1 nlim n n 1 n 2 n nn nln sin x ,2- dxcos x判断敛散性（每小题5分，共15分）1.3.x 1 ,：2 dx0 1. x x2.n!nn 1 n3.2n五.判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共10分）(sin nx , 八1.fn x, n 1,2n22.二 Dx2,六.已知一圆柱体的的半径为R,经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面300角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。（本题满10分）七.将一等腰

5、三角形铁板倒立竖直置于水中 （即底边在上），且上底边距水表面距离为10米,已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。（本题满分10分）cos nx ,八.证明：函数f x3在n上连续，且有连续的导函数.（本题满分9分）2014 -2015学年度第二学期数学分析2B卷？答案题号一二三四五六七八总分核分人得分姓名班级学号（后两位）、判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.? 2.? 3.? 4. ? 5. ? 6. ? 7. ?.单项选择题（每小题3分，共15分）1. B ; 2.C ; 3.A ; 4.D; 5.B求值与计算题（每小题5分，共10分

6、）1. limnx3 sin2 xdx2xe解:1由于030x3 sin2 xdx2x e13xndx0lim 3xndx lim n 0n n 13故由数列极限的迫敛性得:13 lim n 0=dx 03. 22xx sin x e2.设 f sin2 xsinxe - x，求 f x dx1 x解：令X 2/日sin t 得,1f x dx= .sin t f sin2tdsin2t 1 x1 sin2 tsin t t , 一 2sin t costdtcost sin t=2 tsintdt2t cost 2sin t C= 211 _xarcsin Xx 2Vx C5 分四.判别敛散

7、性（每小题5分，共10分）2.1.1 arctan x , dx0 1 x2解:瑕积分1In n n 2 ln narctan x1 x21 arctan x解： lim ln nn有 ln n从而当nn01In nln n由比较判别法呵。arctan x.1 x 4.2由柯西判别法知,dx收敛1In n n 2 ln n收敛五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题 5分，共15分）1. fn xx12,n 1,20,解:极限函数为f x lim fnnfn x f x1/n2 nsin 令，D 1,13n11-x -2xn从而 limsupfn fn故知该函数列在D上一致收敛.一一一c x

8、2解：因当 x D 时，Un x2nsin 23n3一 一 丁，2 n而正项级数-收敛，43由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛.3.解：易知，级数1n的部分和序列Sn 一致有界，-2分一 ,1而对 x D,Vn x -是单调的，又由于x n11x D, Vn x-0 n ,-x n n1,，一，一一一所以Vn x在D上一致收敛于0,x n从而由狄利克雷判别法可知，该级数在D上一致收敛。-5分六.设平面区域D是由圆x2 y22,抛物线y x2及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴22解：解方程组x y 2y x旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分 10分） 22得圆x2 y2 2与抛物线y

9、 x2在第一象限的交点坐标为：1,1 ,则所求旋转体得体积为:12V 0 2 y dy10 ydy10七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出 需要做多少功？（本题满分10分）解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为 x轴正向建立直角坐标系则分析可知做功微元为：dW52 xdx 25 xdx 5分10故所求为： W 215 xdx 8分0=1250=12250（千焦）10分八.设un x n 1,2 是a,b上的单调函数，证明：若un a与 un b都绝对收敛，则Un x在a,b上绝对且一致收敛.（本题满分9分）证明：Un x n 1,2 是a,

10、b上的单调函数，所以有Un x Un a Un b 4分又由 Un a与Un b都绝对收敛，所以 Un a Un b 收敛，7分 由优级数判别法知:Un x在a,b上绝对且一致收敛数学分析2» A试卷学院 班级 学号(后两位) 姓名 题号一二三四五六七总分核分人得分.判断题(每小题2分，共16分)(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1 .若f(x)在a,b上可导,则f(x)在a,b上可积.()2 .若函数f(x)在a,b上有无穷多个间断点，则f(x)在a,b上必不可积3 .若f(x)dx与g(x)dx均收敛，则 f (x) g(x)dx 一定条件收敛。aaa4 .若fn x在区间I上

11、内闭一致收敛，则fn x在区间I处处收敛()5.若 an为正项级数n 1.- a必发散an 0),且当n no时有：1 ,则级数anann 16. 若f x以2为周期，且在 ，上可积，则的傅里叶系数为:1 2an f x cosnxdx () no7 .若 an S,贝U an an 1 2s a1() n 1n 18 .幕级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。().单项选择题(每小题3分，共18分)1.下列广义积分中，收敛的积分是(A dx BdxC0 x1 xsin xdx d02.级数an收敛是 an部分和有界的(n 1n 1A必要条件充分条件C充分必要条件无关条件3.正项级数Un收敛的充

12、要条件是（A. lim un 0 nB. 数列Un单调有界C.部分和数列Sn有上界D.limSUn4.设 limnA.an 1ana则幕级数bnanX1的收敛半径R二（1a B. ab C.D.5.下列命题正确的是（Aan（x）在a,b绝对收敛必一致收敛n 1B an（x）在a,b 一致收敛必绝对收敛 n 1C若!im|an(x) 0,则 an(x)在a,b必绝对收敛n 1Dan （x）在a,b条件收敛必收敛n 16.1. 幕级数anxn的收敛域为 1,1，则幕级数anxn在1,1上A. 一致收敛 B.绝对收敛 C. 连续 D.可导三.求值或计算（每题4分，共16分）1. xx 1 In x

13、dx ；2. - 32x4 3x2 3dx sin xcosxc1x| ,3. . x x e dx . 11 -4.设 f x 在0,1上连续，求！im 0 f n/xdx四.（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性.彳dx1. t;enn!4.五、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题5分，共10分）. 一242.2 ( 1)n 13 nnx0.50.5,1.fn(x) x n , n 1,2, ；x (六.应用题型（14分）1. 一容器的内表面为由yx2绕y轴旋转而形成的旋转抛物面，其内现有水若再加水7（m3）,问水位升高了多少米?2.把由y e x , x轴，y轴和直线

14、x0所围平面图形绕x轴旋转得一旋转体，求此旋转体的体积V ,并求满足条件V a1一-lim V 的 a . 2七.证明题型 （10分）已知f x与g x均在a,b上连续,且在a,b上恒有f x g x ,但f x不包等于g x证明:2013 -2014 学年度第二学期数学分析2» B试卷学院 班级 学号（后两位） 姓名 题号一二三四五六七总分核分人得分、判断题（每小题2分，共18分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.对任何可导函数f x而言，f xdxf x C成立。（2.若函数f x在a,b上连续，则F xbf t出必为f x在a,b上的原函数。（ x3 .若级数 an 1n收敛，

15、必有lim nan0x4 .若im |an|1,则级数 an发散.n 15 .若幕级数anxn在x2处收敛，则其在-2,2上一致收敛.（）n 16 .如果f x在以a,b为端点的闭区间上可积，则必有bf x dxaf x dx.()7 .设f x在1,上有定义，则1 f x dx与级数 f n同敛散.（）n 1b8 .设f x在a,b任子区间可积，b为f x的暇点，则 f x dx与 a一. 1 1 .1 f b - -2dto敛目攵.（）bt t9.设f n x 在Da, x0x0,b上一致收敛，且lim f n x an n N 存在，则x xlim lim fn x lim lim fn

16、 x . n x xqx xq n.单项选择题（每小题3分，共15分）1 .函数f（x）在a,b上可积的必要条件是（A连续 B 有界 C 无间断点D 有原函数2 .下列说法正确的是()A. an和bn收敛，anbn也收敛n 1n 1n 1B. an和bn发散，(an bn)发散n 1n 1n 1C. an收敛和bn发散，(an bn)发散n 1n 1n 1D. an收敛和 bn发散，anbn发散n 1n 1n 13 .an(x)在a,b收敛于a(x),且an(x)可导，则(n 1A.an(x) an 1B.a(x)可导C.ba an (x) dxba a(x)dxD. an(x)一致收敛，则a

17、(x)必连续 n 14.级数n 11 1 nA.发散B.绝对收敛 C.条件收敛D.不确定5.幕级数nxn的收敛域为: n0.5,0.5 D. 0.5,0.5A. (-0.5,0.5 )B.卜0.5,0.5 C.三.求值与计算题(每小题4分，共16分), sin xcosx ,1. 厂 dx2 sin x2.x dx x2 13.limn4.2x a bdx四.判别敛散性(每小题4分，共16分)n ni3.4. n 1n 11 cos一n五.判别在所示区间上的一致收敛性(每小题5分，共10分)1. fn X 1 00 x 1/(n1/(n1) x1)n n 1,2,. x 0,112.n 1 (

18、x2、n)n六.应用题型(16分)1.试求由曲线y x2及曲线y 2x2所平面图形的面积.12.将01 cosxdx表达为级数形式,并确定前多少项的和作为其近似，可使之误差不超过十万分之一.七.(9分)证明：若函数项级数Un x满足:(i ) x D, Un(x) an n 1,2(ii) an收敛.则函数项级数un x在D上致收敛.014 -2015 学年度第二学期数学分析2» A卷？答案判断题（每小题3分，共21分）1. ? 2. ? 3.? 4.? 5. ? 6.? 7. ?.单项选择题（每小题3分，共15分）B, C, C, D, A.计算与求值（每小题5分，共10分）1.解

19、：原式=limn 1 - 1nlim exp ln 1nk 1nexp lim ln 1nk 1四.2.原式二lnln判断敛散性lim x x2exp In xdxIn sin x d tanx=4e 1sinx tanx tanx cotxdxsin x tanx x C（每小题5分，共15分）由柯西判别法知,3x 1尸-dx收敛。1 x x22 .由比式判别法an 1lim limnna nn 1 .n 111 lim en!n 1 1/nn1 -4 分故该级数收敛.3. 解：由莱布尼兹判别法知，交错级数1 n t, 收敛n 1 np2n又 0 11 2n知其单调且有界,故由阿贝尔判别法知

20、,级数收敛五.1.解：极限函数为f xlim fn xnfn x f xsin nxlim sup fn f0 故知该函数列在D上一致收敛.2.解：因当x D时,Un x2 nn X2而正项级数收敛,2n由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛.六.已知一圆柱体的的半径为 R,由圆柱下底圆直径线并保持与底圆面30角向斜上方切割，求所切下这块立体的体积。（本题满分 10分）轴，底圆的圆心为原点示坐标系,过x处用垂直x轴的平面取截该立体故所求立体的体积为:7（竖直方向为X轴）x2 dx解：在底圆面上以所截直径线为x匚角形的面积为:R122S x R x tan 30210七.解：建立图木坐标系则第

21、一象限等腰边的方程为x y10压力微元为：dF 2 10 x 10 x._ 一 2 .dx 2 100 x dx故所求为102 o 100x* 2dx1333.3313066.67 千牛10 分cos nxxN.证明： un1,2每一项在一 1 一 一而 收敛3n上一致收敛,所以co乎在3n故由定理结论知cosnx ,再者Un一L在n所以Un上一致收敛，结合Un x在上的连续性上有连续的导函数.可知f xcos nx 一3在n2014 -2015学年度第二学期数学分析2» B试卷学院 班级 学号(后两位) 姓名 题号一二三四五六七八总分核分人得分、判断题(每小题3分，共21分，正确者

22、括号内打对勾，否则打叉)1.若f x为偶函数，则 f xdx必为奇函数().x2 . y sgn x为符号函数，则上限函数y= sgntdt在 ， 上连续() a3 .若f xdx收敛，必有 lim f x 0().ax4 .若fn在区间I上内闭一致收敛，则 fn在区间I上处处收敛().5 .若 Un(x)在a,b上内闭一致收敛，则 Un(x)在a,b上一致收敛(6 .若数项级数an绝对收敛，则经过任意重拍后得到的新级数仍然绝对收敛，并且其和n 1不变().7 .若函数项级数un(x)在a,b上的某点收敛，且 un(x)在a,b上一致收敛，则 un(x)也在a,b上一致收敛().二.单项选择题(每小题3分，共15分)1 .函数f(x)是奇函数，且在a,a上可积，则()aaaA a f (x)dx 2 0f (x)dx B a f (x)