专题：基本不等式常见题型归纳(教师版)

1、专题函数常见题型归纳三个不等式关系：(1) a, b£R, a2+b2A2ab,当且仅当a=b时取等号.(2) a, b6Rt, ab>2yab,当且仅当a=b时取等号.a2 b2 a b(3) a, b6R, -1-<(-1-)25当且仅当a=b时取等号.上述三个不等关系揭示了 a2+b2 , ab , a+b三者间的不等关 系.其中，基本不等式及其变形：a, b Ft, a+bn2yOb(或ab< a + b 0 (o|一)2),当且仅当a=b时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值.利用基本不等式求最值：一 正、二定、三等号.【题型

2、一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】(扬州市20152016学年度第一学期期末 11)已知a>b>i且 2log a b3logba 7,则 1的最小值为ab21【解析】< a>b>1 且 2logab 3logb a 7 2log a b - 7,解得 loga ba>b>11 logab -,即ab2 . a fb2练习：1.（南京市、盐城市 2015届高三年级第一次模拟 10）若22实数x, y满足x y 0,且闻x log2 y 1 ,则-的最小值 x y为.解析：由 log 汉+log 2y=1 可得 log 2xy=1=log 22,则有

3、xy=2 ,那么22/、2x-=（x y） 2xy= （x-y） +A2、（x y）一二4,当且仅当（x x y x yx y 、 x y/22y）=,即x=V3+1, y=V3 1时等号成立，故-匕的最小值x yx y为4.2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁） 2017届高三上学期期末）若实数x,y满足xy 3x 3（0 x 1）,则？ -的最小值2 x y 3为.3 .（无锡市2017届高三上学期期末）已知a 0,b 0,c 2,且a b 2,则变上 c旦的最小值为_一 b ab 2 c 2【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟 12）已知x, y为正实数，则4x4x + y

4、 + x + y的最大值为解析：由于+上=4x(x y) y(4x y)=4x2 8xy y24x + y x + y (4x y)(x y) 4x 5xy y=1 +3xy=1+2 4x y 5 3 * 5' ' y x22'4x 5xy yx4 y当且仅当4屋丫，即y=2x时等号成立. y x【典例3】若正数a、b满足ab a b 3,则a b的最小值为解析：由 a,b R ,得 ab a b 3 (ayb)2,(a b)2 4(a b) 12 0 ,解得 a b 6(当且仅当a b且ab a b 3,即a b 3时，取等号).变式：1.若a,b R ,且满足a解

5、析： 因 为 a,b R , 所 以 由a2 b2ab a b a2 b2 a, (a b)2 b2 a b ,则a b的最大值为 .4.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州） 2017届高三上学期期中）已知正数a, b满足1 9 J而5,则ab的最小值为 a b【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数x,y满足x y 1 ,则/-的最小值为x 2 y 1练习1.（江苏省镇江市高三数学期末 14）已知正数x,y满足1 1, x y则上牝的最小值为x 1 y 1解析：对于正数x, y,由于1 +二=1,则知x>1, y>1,那么+&

6、= x yx 1 y 1(色 +牝)(1+1-1-1) x 1 y 1x y(:x4x1 xx1 + d =)2=25,当且仅当y 1 y等号成立.2. （20132014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一） 11）已知正数x,y满足x 2y 2 ,则 的最小值为 . xy解析：2y 1 8 183 2L 148y 5 2,区亘9,当且仅xy y x y x 2 2yx . 2y x当H以时，取等号.故答案为：9.2y x3.(南通市2015届高三第一次调研测试 12)已知函数y ax b(b 0) 的图像经过点P(1,3),如下图所示，则4 1的最小值a 1 b为 .解析：由题可得a+b

7、=3,且a>1,那么一4+1=(a1+b) (4+) a 1 b 2a 1 b=-(4+=+组+1) nl (2、*胆+5) =9,当且仅当。=-4L2 b a 12 b a 12b a 1时等号成立.4.(江苏省苏北四市 2015届高三第一次模拟考试 12)己知a, b 为正数，且直线 ax by 6 0与直线2x (b 3)y 5 0互相平行，则 2a+3b的最小值为.【解析】由于直线ax+by6=0与直线2x+ (b 3) y+5=0互相平行， 贝|有且=上，即 3a+2b=ab,那么 2a+3b= (2a+3b) = (2a+3b)2 b 3ab(3 + 2)=鲍+史+13A2i

8、叵&+13=25,当且仅当a=生，即a=b ba bab ab a时等号成立.5 .常数a, b和正变量x, y满足ab= 16, a + 2b= 1.若x+ 2y的最小x y 2值为64,则ab=.答案：64;（考查基本不等式的应用）.6 .已知正实数a,b满足 一12 1 ,则ab的最大值2a b b 2b a a为.答案：2 2-2 3【题型三】代入消元法【典例5】(苏州市2016届高三调研测试14)已知ab1，a,b (0,1),4则'卫的最小值为.1 a 1 b解 析： 由 ab 1 得 a ,44b212 4b 24b2 12b 2 ( 7b 12221-21 a

9、1 b 4b 1 1 b 4b2 5b 14b2 5b 11令7b 1 t则7b 12 14b2 5b 149t494 21 4 4t2 27t 18 4t 更 273 当且t仅当t WE即Wi，等号成立.14练习1.(江苏省扬州市2015届高三上学期期末 12)设实数x, y 满足x2 + 2xy-1 = 0,则x2+y2的最小值是.2解析：由 x? + 2xy 1 = 0 可得 y= ,那么 x + y2= x +(1 x2)2=5x2+-1>2 /5x2 J_ 1=2/5 .1 当且仅当 5x2=。9x 9x 1J x 2， 1 IIxV 1 x 9 ,4x 4 4x 2，4 4x

10、 2224 4x即x4=1时等号成立. 52.（苏州市2014届高三调研测试13）已知正实数 x, y满足，则x + y的最小值为解析：丁正实数x , y满足xy+2x+y=4 ,(0 < x < 2 )x+y=x+(x+1)时取等号.x+y的最小值为故答案为3 .(南通市2014届高三第三次调研测试9)已知正实数x,y满足(x 1)(y 1) 16,则x y的最小值为.解析：正实数x, y 满足(x - 1) (y+1) =16, x q 1 ,y 1.x+y=6- y 1 2 I y 1 6- 8,当且仅当 y=3, (x=5)时取等 y 1y 1号.x+y的最小值为8.故答案

11、为：8.4 .(扬州市2017届高三上学期期中)若a 0,b 2,且a b 3,则使得4，取得最小值的实数a=。a b 25 .设实数x、y满足x2 +2xy 1 =0,则x + y的取值范围是6 .已知x, y, z R ,且x y z 1 , x2 y2 z2 3 ,求xyz的最大值为【题型四】换元法【典例6】（南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试 13）已知函数f（x）=ax2 + xb（a, b均为正数），不等式f（x）>0的解集记为P,集合Q= x| -2-t <x< 2 + t.若对于任意正数1 1 ,t, png ,则占b的最大值是.【解析】由题意可知

12、任意正数t,集合Q= x| -2-t<x<-2 + t,构成的集合Qt的交集为2 ,即 f 2 4a 2 b 0,b 4a 2 ,1111 3a 27-二.2Taba4a 24a2a1 1 9u9a b 4u2 10u 4/44u - 10u或 a -（舍）: b 0,故 a 32,令 3a 2 u ,18 2，当且仅当u 1，等号成立，a 1，1 1, 一 1则a b的取大值正2.2. （2016年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模试卷14）已知正数a, b, c满足b+cna,则的最小值为解法一：:正数a, b, c满足b+cna,当且仅当警火时取等号.故答案为：解法2

13、x 1 22x12x 1.2当且1时等号成立.故的最小值为2练习1.（江苏省南京市2016届高三第三次模拟 14）若实数x, y满足2x2+xy y2=1,则最竺斤的最大值为解析：由2x2+xy-y2=1可得,2x y x，代入x 2y_ 2_25x 2xy 2y得一 t2t11t2，令t;t 1Lt2 1t2mm2 2mm2 212二，当且仅当V2时取等号，故2y5x2 2xy 2y2的最大值为不2.设x,y是正实数，且x y1,则2"的最小值是y 1解：设x 2 s, y 1 t,则 s t 4,2所以8xy2 ,(s 2)2(t 1)24(s 4 -) (ts2 1)(s t)

14、(-1)s t(4s因为4s1(44 st) 1(84 sI 5)2 所以人 x 23.若实数xy满足2x2 + xy_y2=l,则x 2y5x2 2xy + 2y4.（江苏省苏、锡、常、镇2016届高三数学教学情况调查数学试题满足（一） 14 ）若实数取得最大值时的值为5 .解析:取最大值8取 得 最 大 值【题型五】判别式法【典例71南通市2015届高三第三次调研测试14.已知正实数x, y满足x 2 3y 10,则xy的取值范围为.x y【解析】设得:由解得即 xy 的 取 值 范 围 为练习1.（泰州市2016届高三第一次模拟 13）若正实数的最大值为【解析】令的 最 大 值 为2.设

15、x, y R, 3x2 y2 xy 1 ,则2x y的最大值为变式1.(江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研(二)数学D(c,d),若不等式CD > (m2)OC OD m(OC oB) (OD oA)对任意实数试题 14)在平面直角坐标系xOy中，设点A(1, 0) , B(0, 1), C(a,b),a, b, c, d都成立，则实数m的最大值是解析： 由题意得： (a c)2 (b d)2 > (m 2)(ac bd) mbc2 . 2, 22、a +c b +d > m(ac bd bc)a2 (mc)a+(c2 b2+d2 mbd mbc) > 0对任

16、意实数a都成立，因此 22222222(mc) 4(c b +d mbd mbc) 0 ,即 4d 4mbd 4(c b mbc) (mc) 0 对 任意实数 d 都成立，即 1 (4mb)2 4 4(4c2 4b2 4mbc m2c2) 0 , (m2 4)b2 4mbc 4c2 m2c2 0对任意实数, b都成立，即 22,2.、，. 22 2、 一4 一 2m 4 0, 2 (4mc)(m 4)( 4c mc) 0, m 12m 16 0,m2 6 2新，即1而m而1 ,实数m的最大值是非1【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法.判别式法：将所求问题可转化为二

17、次不等式，则可考虑般地，对于二次函数a 00a 00应用判别式法解题。f(x) ax 2 bx c(a 0,x R),有1) f (x) 0对xR恒成立2) f (x) 0对xR恒成立分离变量法：若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于 不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范 围。这种方法本质也还是求最值。一般地有：1) f (x) g(a)(a为参数)恒成立g(a) f (x) max2) f (x) g(a)(a为参数)恒成立g(a) f (x)max确定主元法：如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范 围的变量看作参数，则可简化解题过程。2.(南京市201

18、4届高三年级第三次模拟 14)设二次函数 f x ax2 bx c (a,b, c为常数)的导函数为f' x .对任意x R,不 等式f x f' x恒成立，则 下 J 的最大值为 .a c解析：: f xax2 bx c,f'x 2ax b,对任意 x R,不等式f x f' x 恒成立，ax2 bx c 2ax b 怛成立，即2ax b 2axe b 0恒 成 立,c 2,b 2a 4a c bb2 4a2 4ac 0 ,且 a 0 ,即 b2 4ac 4a2 ,故.22b 4ac 4a22a c a ca2ca4 - 1a2cc-12-12aa442 12、. 2 2I2a - 1a2收2,故答案为：2d5 2 .【题型六】分离参数法【典例8】(2013-2014学年江苏省镇江市高三(上)期末 14).已 知x>0, y>0,若不等式x3+y3nkxy (x+y)恒成立，则实数k的最 大值为.解析: x>0, y>0,.不等式 x3+y3>kxy (x+y)可化为，x2 -xy+y2nkx