2017年高考数学二轮总复习【专项能力训练课件】专题.

1、 专题6导数的简单应用与定积分 能力目标解渎 本部分主要考查导数的概念、求导公式、导数的儿何意义，及定积分和 导数的简单应用,此部分知识在高考中，一般既有选择或填空题，也有解答题 在高考中占有重要位置. (1) 导数的几何意义是高考中的一个热点,主要考查导数与切线斜率之 间的关系，最常见的问题是求过曲线上某一点的切线的斜率或方程,以平行 或垂直直线间的关系为载体求相关参数的取值或范围. (2) 对于导数的简单应用，主要体现在利用导数工具研究函数的单调性 极值、最值等基本问题，此部分要注意求解步骤的规范性(最好列表格，并注 意通过典型题目体会其中蕴含的转化与化归、分类讨论和数形结合等数学 思想)

2、. 能力目标解读 (3) 对于定积分，定积分的简单计算与应用是高考的热点，题型均为小题 难度较小，主要考查用微积分基本定理进行定积分的计算，利用定积分的儿 何童义求平面图形的面积. (4) 预测2015年的高考在导数方面还应体现应用知识的基础性，平时训 练应掌握通性通法;在定积分方面也是注意一般性训练即可，不需研究过深. 第二部分 专题6导数的简单应用与定积分 专题6导数的简单应用与定积分 第二部分 33- 1. (2014山东高考理6)直线y=4x与曲线y=?在第一象限内围成的封 闭图形的面积为( ) A.2/2 B.4V2 C.2 D.4 命题定位:本题主要考查定积分的运算知识解决本题还需

3、要将所求问 题进行化归，充分考查学生的化归、运算能力. 关闭I 由$ 警解得x=-2或x=0或x=2y i ky = 2, 所以直线与曲线上二？在第一象限内围成的封闭图形面积应为 关闭I 第二部分 专题6导数的简单应用与定积分 -5- 体点考题诠释 1 2. (2014课标全国I高考.理21)设函数/(x)=aerln +呼,曲线严心)在 点(1求1)处的切线方程为y=e(x-1 )+2. (1) 求 a,b; (2) 证明兀)1. 命题定位:本题主要考查直线方程、直线方程的斜率、对数、导数、 方程、单调性及最值等，体现化归与转化的思想和分类讨论的思想方法.对 于不等式的证明体现了构造函数.利

4、用导数工具的能力. 第二部分 专题6导数的简单应用与定积分 一6- 热点考题诠释 1 证明:由(1)知：心)二eln x+feE.从而/(x)等价于xln xxex- 设函数 g(x)=xn x,则 g(x)= 1 +ln x. 所以当 xW(0,9时0(x)vO; 当 炸(, + 8)时0(对0. 故g(x)在(0弓单调递减.在C，+ 8)单调递增，从而g(x)在(0,4-00)的最 小值为 设函数 /?(A)=xeA-|,则 hr(.r)=ev( 1 -x). 所以当xe(o.l)时斤(x)0；当xe(i,+oo)时力G)vO.故/心)在(0,1)单调 递增.在(1,+8)单调递减.从而力

5、(X)在(0.4-OO)的最大值为h( 1 ) = e 综上、当x0时,g(x)/?(x),即金)1专题6导数的简单应用与定积分 第二部分 -7- 施力突破方路 能力突破点一导数几何意义及其应用 思考:如何求曲线尸心）在点P（.vo,yo）处的切线方程及过点P（x ,y。）的切 线方程？ 特别地，如果曲线y=Ax）在点（xow）处的切线垂直于x轴,则此时导数 /V。）不存在，由切线定义可知.切线方程为 xmg 注意:若曲线尸/W在点P佩心 ）处的导数fg）不存在.就是切线与y 轴平行或是y轴:若f（丸）0则切线与x轴正方向夹角是锐角:若A-Vo）O.则 切线与x轴正方向夹角为钝角:若,f（xo

6、）=O.则切线与x轴平行或是X轴.能力癸破点一 专题6导数的简单应用与定积分 99 - 能力突破点一 ；链力突破方路 能力突破模型 能力迁移训练 【例1 设dER.函数fix)=x3 +ax2+(a-3)x的导函数是f(x),若/V)是偶 函数,则曲线y=Ax)在原点处的切线方程为( ) A.y=-3x B.y=-2x C.y=3x D.y=2x IL (1)由于三次函数的导函数是二次函数，可根据偶 函数的定义列式求4,也可以熟记一个结论，即几r)=A?+3大+(为偶函数 03=0; (2)求切线方程的关键是明确切点的位置,并充分应用过切点处的切线 斜率R等于函数在该点处的导数，最后由点斜式方

7、程写出即可. 我的解答： 解析:/(x)=3F+2or+a3), 又f(x)是偶函数,.=0,即 f(x)=3x2-3. :.k=f(0)=-3. 曲线过原点的切线方程为y=-3x,故选A 点评:解决此类问题要抓住两个关键点:其一 切点是交点;其二,在切点 处的导数是切线的斜率求曲线的切线时要注意“过点P的切线”与“在点 P处的切线”的差异过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在 已知曲线上;在点P处的切线，点P是切点.专题6导数的简单应用与定积分 第二部分 -11- 能力突破点一 i 能力突破方略能力突磁擾型能力迁移训练 1.已知删线尸駅+扌则曲线过点尸(2,4)的切线方程 为 _

8、. 关闭i |设曲线尸敦*与过点F（2,4）的切线相切于点力（,扣7+）则切线的斜率| |为k=y =xQ =坊，切线方程为尸（扣g +扌）=坊（宀3因为点P（2,4）在切线上I 2曲线y=log2x在点(IQ)处的切线与坐标轴所围三角形的面枳等 于 . ! 尺八2 /C.“、 虫凰.ce.*. X. 解析 专题6导数的简单应用与定积分 第二部分 -12- ?()g2e .1 关闭 .解析 第二部分 专题6导数的简单应用与定积分 -13- 能力突確点二 能力突破方略 能力突磁擾型 能力迁移训练 能力突破点二利用导数硏究函数的单调性 思考:导数与函数的单调性之间有何对应关系？ 【例2】已知函数f

9、x)=x3+ax2+x+GR (1) 讨论函数/U)的单调区间； (2) 设函数心)在区间(-|冷)上单调递减，求。的取值范围. II (1)按照用导数求函数单调性的步骤求解即可;(2) 根据函数单调性与导数的对应关系.结合单调区间与所给区间之间的包含 关系求解即可.专题6导数的简单应用与定积分 第二部分 -15- 能力突確点二 我的解答： 解:（1）7U）*+o?+x+1. =3x2+2ax+1 令 3疋+2“21 -0/=4/12-4（/.3）, 当/W3时,/W（W）M（MU）在R上单调递增: 当/3时.求得两根为 即用）在（oO,密巨）上递增. 在（孝，毎上递减， 在（呼2 + 00）

10、上递增. -a-Ja-3 2 3 3 （2）由题知，仁+阿 3 - 39 、a2 3, 解得 M2. 点评:讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况大多数情 况下,这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论, 在能够通过因式分解求岀不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类 讨论.在不能通过因式分解求出根的情况时.根据不等式对应方程的判别式 进行分类讨论.讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽 视了定义域的限制.专题6导数的简单应用与定积分 第二部分 -17- 能力突辕点二 q 能力突破方畤能力突確泾型能力迁移训练 3. 己知函数/(x)=3av-Zr2+ln

11、 x,a为常数. (1) 当a=时，求/(x)的单调区间； (2) 若函数/(x)在区间1,2上为单调函数，求a的取值范制. (2W)=3s4x+若函数/U)在区间1,2上为单调函数则或 能力突辕点二 能力癸広仃耳 专题6导数的简单应用与定积分 第二部分 -18- X f(x)W0在区间1,2上恒成立. 于是3a4x+丄M0,或3a4x+Zw0在区间1,2上恒成立即3dM4x丄,或 X I AC 3a W4x丄在区间1,2上恒成立. 令h(x)=4x-k则/心)在区间1,2上是增函数. 因此 A(x)max=/z(2)=y,/i(x)min=/i( 1 )=3. 即 或 3aW3.故 GM?或

12、 aWl.专题6导数的简单应用与定积分 第二部分 能力突破点三 能力突破方略能力突硫損型能力迁移i 能力突破点三 利用导数硏究函数的极值或最值 思考:如何求函数丿在区间切上的最值？ 【例 3 】设函数几)+x2-ax-a(a 0). (1) 若函数用)在区间(20)内恰有两个零点，求a的取值范围； (2) 当a=时,求函数用)在区间r,r+3上的最大值. I 根据题意对函数/U)求导.获得导函数f(x)=0的根. 确定函数./U)在区间(2,0)上的单调性，结合图形确定零点第二问注意与第一问 联系.要得到函数.心)在含参数的区间U+3上的最大值.需讨论/的大小.专题6导数的简单应用与定积分 第

13、二部分 -21- 能力突破点三 能力突破方略能力突確模型 解：(1) */(.r)=-x3+x2-av-6r(tz0), /./r(x)=x2+( 1 -a)x-a=(x+1 )(.rd) 3 2 令/(x)=o.解得 X=l/2=d0. 当X变化时fCUAx)的变化情况如下表： X (-CO,-I) -1 (-l,a) a ( ,+oo) .fix) + 0 - 0 + Jlx) 7 极大值 极小值 z 故函数几V)的单调递增区间为(oo,i),a+8)；单调递减区间为(id) 因此7U)在区间(2,1)内单调递增、在区间(-1,0)内单调递减.要使函数 /U)在区间(-2,0)内恰有两个需

14、点， f/(-2) 0,解得的取值范围是(0莒). 1/(0) 0. 第二部分 专题6导数的简单应用与定积分 -22- 能力突破点三 能力突破方略 能力突破楼型 能力迁移训练 (2)当 =1 时 由(1)可知函数/W的单调递增区间为(4,. 1),(1.+8)；单调递减区间为 (1,1). /W极大!=/(1) = 扌. 当r+3-l.即/)在区间(oo,2上的最大值为/(2)=X-1 )=4- 又-1 Wr+3W2,即-4W1 时，有r,F+3u(ao,2,-1 e r,r+3,专题6导数的简单应用与定积分 第二部分 -23- 能力突破点三 範力突破方昭能力突確模型 5)在区间U+3上的最大

15、值为用也S 1)=4 当r+32,即t-时， 由得心)在区间(8,2上的最大值为y(2)=/M)=4 用)在区间(1, + 00)上单调递增. .+3 )/(2),故.心)在区间t,t+3 上的最大值为 /Wmaxg+3)=扩+30+8r+5. 综上所述，当a=l时. /U)在区间r,/+3的最大值 点评：(1)求函数的单调递增区间转化为求不等式/(x)0(不恒为0)的 解集即可、 已知/U)在M上递增=/(%)0在M上恒成立;(2)研究函数的单 调性后可画出示意图讨论区间与2.0的位置关系画图一截取一观察即可.A-)max t3 + 3t2 + 8t + 5,t V 4 或 t 1, t0）

16、的导函数y寸G）的两零点为3和0. （1）求/（x）的单调区间； 若/U）的极小值为2,求用）在区间5+8）上的最大值. 由（1）知x=-3是/（X）的极小值点. 9a3b+c _ 3 9(0) = b-c = 0, 9(3) = -9a-3(2a-b) + b-c = 0. 解得 a= I ,Z?=5.c=5. X2+5X+5 x）的单调增区间是（3,0）,单调减区间是（OO,3）,（0,+8）. :.fi0）=5为函数/（x）的极大值. :.fix）在区间卜5,+8）上的最大值取5）和H0）中的最大者. 而咒5） =占=5e、5=y（0）. 函数心）在区间卜5,+8）上的最大值是5e5.

17、专题6导数的简单应用与定积分 第二部分 -27- 能力突破点四能力突破方略 能力突破点四 定积分问题 思考:如果被积函数为y=J(x),如何求由曲线y=A.x)与直线 x=a,x=b(a( 1,1)分别在抛物线尸/和尸/上，如图所示，若将一个质点随机投入正方 亠答案专题6导数的简单应用与定积分 第二部分 -31- 2 3 1已知函数 fix)=(m-2)x2+(m2-4x+m 是偶函数，函数 g(x)=-x+2x2+ntx+5 在 (-8,+ oo)内单调递减，贝IJ实数加=( ) A.2 B.-2 C2 D.0 关闭I :fix)=(m-2)x2+(m2-4)x+m 是偶函数， | /. /n2-4=0, A/n=2 I 函数 g(X)=-x3+2x