一元二次方程复习讲义

1、顶尖教育·博学济天下 学习热线：2760090初三数学第21章一元二次方程复习讲义一、一元二次方程的定义方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a0）其中二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c例1求方程x2+3=2x-4的二次项系数，一次项系数及常数项的积例2若关于x的方程（m+3）+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，并计算这个方程的各项系数之和例3若关于x的方程（k2-4）x2+x+5=0是一元二次方程，求k的取值范围例4若是方程x2-5x+1=0的一个根，求2+的值1关于

2、的一元二次方程的一个根为1，则实数的值是（ ）AB或CD2一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长是（）1111或131311和133如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪要使草坪的面积为，求道路的宽（部分参考数据：，）二、一元二次方程的一般解法基本方法有： （1）配方法； （2）公式法；（3）因式分解法。联系：降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次 公式法是由配方法推导而得到 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程区别：配方法要先配方，再开方求根 公式法

3、直接利用公式求根 因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0例1、用三种方法解下列一元二次方程1、x2 +8x+12=0 2、3x2-x-6=0用适当的方法解一元二次方程1、x2-2x-2=0 2、2x2+1=2x 3、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3） 4、4x2-4x+1=x2+6x+95、（x-1）2-2（x2-1）=0 注意：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法三、判定一元二次方程的根的情况？一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式是=b2-4ac，1=b2-4ac>0一元二次

4、方程有两个不相等的实根； 2=b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；3=b2-4ac<0一元二次方程没有实根例1、不解方程判断下列方程根的情况1、x2-（1+2）x+4=0 2、 x2-2kx+（2k-1）=0例2、关于x的一元二次方程(a1)x2xa23a40有一个实数根是x0则a的值为 例3、已知a、b、c是ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，则ABC为 例5、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a0）有两个相等的实数根求的值例6、（2006广东）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形 (1

5、)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由四、一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根分别为x 1 x2 x1 + x 2= - x 1 x2=例1.方程的x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2, 则（x1 -1）（x 2-1）= 例2设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根，（1）试推导x1+x2=-，x1·x2=；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x

6、2）的值五、一元二次方程与实际问题的应用步骤:审 设 列 解 答应用题常见的几种类型：1. 增长率问题 增长率公式：例1：某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少?例2：某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。1、某工厂今年利润为a万元，比去年增长10%，去年的利润为 万元。2、某商品连续两次降价10%后的价格为a元，该商品的原价应为 3、X2X某林场第一年造林100亩，以后造林面积逐年增长，第二年、第三年共造林375亩，后两年平均每年的增长率是多少?2.面积问题提示：面积问题一定要画图分析例：一张长方

7、形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，再折起来做成一个无盖的小 盒子。已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是1536cm3，求长方形铁皮的长与宽 。1、要给一幅长30cm，宽25cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm，则依据题意列出的方程是_2、要建成一面积为130的仓库，仓库的一边靠墙（墙宽16m），并在与墙平行的一边开一个宽1m的门，现有能围成32m的木板。求仓库的长与宽各是多少？3.定价问题提示：单位利润×销量总利润例1：某电视机专卖店出售一种新面市的电视机，平均每天售出50台，每台盈利400元

8、。为了扩大销售,增加利润，专卖店决定采取适当降价的措施。经调查发现，如果每台电视机每降价 10元，平均每天可多售出5台。专卖店降价第一天，获利30000元。问：每台电视机降价多少元?1、合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那平均每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？2、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（35

9、010a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价？4.球赛问题（注：单循环必须除2）例：某校初二年级组织象棋比赛，每两个参赛选手之间都必须赛一场，全年级共进行了28场比赛，问这次参赛的选手有几位？1、新年到了，初三(2)班同学每人都互发贺卡祝福对方，共发了132张贺卡，问全班多少人？2、要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？5.倍增问题例1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几人？例2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每

10、个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分干总数是91，每个支干长出多少小分支？6.数位问题 123=1×100+2×10+3×1;十位数字是a，个数字是b，则这个两位数可表示为：10a+b例：有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。1、 一个两位数，它的数字和为9，如果十位数字是a，那么这个两位数可表示 为 ，若这个两位数的个位数字与十位数字对调组成一个新数，这个新数可表示为 。2、一个两位数，十位数字比个位数字小2，如果

11、把这个数的十位数字和个位数字对调，那么得到的新两位数与原来两位数的积为1855，若设十位为数字为X，则可列方程为： 3、一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位是 。7. 中考题选讲1、如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB16cm，BC6cm，动点P、Q分别从点A 、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，点Q以2 cm/s的速度向点D移动当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动。问几秒后，点P和点Q的距离是10 cm？ABCDPQE 2、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能

12、围成一个容积为15米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？3、云南省2006年至2007年茶叶种植面积与产茶面积情况如表所示，表格中的、分别为2006年和2007年全省茶叶种植面积：年份种植面积（万亩）产茶面积（万亩）2006年2007年合计（1）请求出表格中、的值；（2）在2006年全省种植的产茶面积中，若平均每亩产茶52千克，为使我省2008年全省茶叶种植产茶总产量达到22万吨，求2006年至2008年全省年产茶总产量的平均增长率（精确到0.01）（说明：茶叶种植面积产茶面积未产茶面积）4、2008

13、年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥杭州湾跨海大桥通车了通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运

14、输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？第22章一元二次方程复习题一、选择题1下面关于x的方程中ax2+bx+c=0；3（x-9）2-（x+1）2=1；x+3=；（a2+a+1）x2-a=0；=x-1一元二次方程的个数是（ ） A1 B2 C3 D42要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（ ） Aa0 Ba3 Ca1且b-1 Da3且b-1且c03若（x+y）（1-x-y）+6=0，则x+y的值是（ ） A2 B3 C-2或3 D2或-34

15、若关于x的一元二次方程3x2+k=0有实数根，则（ ） Ak>0 Bk<0 Ck0 Dk05下面对于二次三项式-x2+4x-5的值的判断正确的是（ ） A恒大于0 B恒小于0 C不小于0 D可能为06下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题：（1）若x2=a2，则x= a ；（2）方程2x（x-1）=x-1的根是 x=0 ；（3）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 5 其中答案完全正确的题目个数为（ ） A0 B1 C2 D37某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（ ） A500元 B

16、400元 C300元 D200元8利华机械厂四月份生产零件50万个，若五、六月份平均每月的增长率是20%，则第二季度共生产零件（ ） A100万个 B160万个 C180万个 D182万个二、填空题9若ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是_10已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是-1，则k=_11若x=2-，则x2-4x+8=_12若（m+1）+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是_13若a+b+c=0，且a0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根，它是_14若矩形的长是6cm，宽为3cm，一个正方形的面积等于该矩形的面

17、积，则正方形的边长是_15若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是_三、计算题（每题9分，共18分）16按要求解方程：（1）4x2-3x-1=0（用配方法）； （2）5x2-x-6=0（精确到01）17用适当的方法解方程：（1）（2x-1）2-7=3（x+1）； （2）（2x+1）（x-4）=5；（3）（x2-3）2-3（3-x2）+2=018若方程x2-2x+（2-）=0的两根是a和b（a>b），方程x-4=0的正根是c，试判断以a、b、c为边的三角形是否存在若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由19已知关于x的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0的两根之和为-1，两根之差

18、为1，其中a，b，c是ABC的三边长 （1）求方程的根；（2）试判断ABC的形状20某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？21李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程11公里，应收29.10元”出租车司机说：“请付29.10元”该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价N（N<12）是多少元里程（公里）0<x33<x6x>6价格（元） N 【中考真题】22.（2008广

19、州）方程的根是（ ） A B C D 23.（2008襄樊）某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的，则平均每次降价（ ）ABCD24.（2008威海）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 25（2008四川省资阳）已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)0的根的情况是（）A没有实数根B可能有且只有一个实数根C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根26（200年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为 .27.（2008江苏省淮安

20、市）小华在解一元二次方程x2-4x=0时只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根是x=_28(2008东莞市)在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80，求所截去小正方形的边长。29(2008年湘潭)阅读材料：如果，是一元二次方程的两根，那么有. 这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题:设是方程的两根，求的值.解法可以这样：则. 请你根据以上解法解答下题：已知是方程的两根，求：（1）的值；（2）的值.顶尖教育一元二次方程单元测试卷（考试时间：120分，满分： 150分）姓名 成绩评定 一、选一选（每小题

21、3分，共36分） 1方程x2+4x=2的正根为（ ）A2- B2+ C-2- D-2+2已知关于x的一元二次方程的两个根是1和-2，则这个方程是（ ）A. B. C. D.3.某商品两次价格上调后，单价价格从4.05元变为5元,则平均每次调价的百分率约为（ ）A9% B10% C11% D12%4.若使分式的值为零，则x的取值为（ ）A1或-1 B.-3或1 C.-3 D.-3或15将方程3（2x21）=（x+）（x）+3x+5化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为。（ ）A5，3，5 B5，3，5 C7，2 D8，6，16某商店卖出A、B两种价格不同的商品，商品A连续两次提价

22、20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以a元出售，则两种商品的原价分别是（ ）A.（1+20%）2；a（120%）2 B；; a（120%）27已知一个三角形的两边长是方程的根，则第三边长y的取值范围是（ ）Ay<8 B.2<y<8 C. 3<y<8 D.无法确定8一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这两位数是（ ）A16 B25 C52 D619若n是的根（，则m+n等于（ ）A B.-1 C. D. 110直角三角形的面积为6，两直角边的和为7，则斜边长为（ ）A D711

23、如果关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的最大整数值 ( ) (A)1. (B)2. (C)0. (D)112已知一直角三角形的三边长为a、b、c，B=90°，那么关于x的方程a（x21）2x+b（x2+1）=0的根的情况为（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C没有实数根 D无法确定二、填一填 （每小题3分，共30分） 13方程（x-2）（x-3）=6的解为_14若x=2-，则x2-4x+4=_15.若关于x的方程有一根是2，则另一根为_16已知一元二次方程有一个根为，那么这个方程可以是_（只需写一个）17某种型号的微机，原售价为720

24、0元/台，经过连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次的百分率为_.18.要给一副长30cm,宽25cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占的面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm,则根据题意，列出方程是_19.代数式的最小值是_20已知 则的值是_；21已知关于x的二次方程有实数根，则k的取值范围_22若，则=_三、解答题 （仔细是我们要培养的良好习惯）23（5分）（用配方法） 24. （5分）25（5分） 26. （5分）27. （5分） 28.（5分） 29（10分）已知关于x的方程（m+1）x+（m2）x1=0，问：（1）m取何值时，它是一元二次方

25、程？并求方程的解； 30. （10分）如图，在长为32 m，宽为20 m的矩形地面上修建同样宽度的道路（图中阴影部分），余下的部分种植草坪，要使草坪的面积为540m2,求道路的宽？31（10分）某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率。32（12分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1

26、）若商场平均每天要赢利1 200元，每件衬衫应降价多少元？ 温馨提示：恭喜你完成了这份试卷，请仔细再检查一遍，考试高分的技巧在于把会做的题目做对。、一、1B 点拨：方程与a的取值有关；方程经过整理后，二次项系数为2，是一元二次方程；方程是分式方程；方程的二次项系数经过配方后可化为（a+）2+不论a取何值，都不为0，所以方程是一元二次方程；方程不是整式方程也可排除，故一元二次方程仅有2个2B 点拨：由a-30，得a33C 点拨：用换元法求值，可设x+y=a，原式可化为a（1-a）+6=0，解得a1=3，a2=-24D 点拨：把原方程移项，变形为：x2=-由于实数的平方均为非负数，故-0，则k05

27、B 点拨：-x2+4x-5=-（x2-4x+5）=-（x2-4x+4+1）=-（x-2）2=-1 由于不论x取何值，-（x-2）20，所以-x2+4x-5<06A 点拨：第（1）题的正确答案应是x=±a；第（2）题的正确答案应是x1=1，x2=第（3）题的正确答案是5或7C 点拨：设商品的原价是x元则0.75x+25=0.9x-20解之得x=3008D 点拨：五月份生产零件：50（1+20%）=60（万个） 六月份生产零件50（1+20%）2=72（万个） 所以第二季度共生产零件50+60+72=182（万个），故选D二、9a>-2且a0 点拨：不可忘记a010±

28、; 点拨：把-1代入方程：（-1）2+3×（-1）+k2=0，则k2=2，所以k=±1114 点拨：由x=2-，得x-2=-两边同时平方，得（x-2）2=10，即x2-4x+4=10， 所以x2-4x+8=14注意整体代入思想的运用12-3或1 点拨：由 解得m=-3或m=1131 点拨：由a+b+c=0，得b=-（a+c），原方程可化为ax-（a+c）x+c=0，解得x1=1，x2=143cm 点拨：设正方形的边长为xcm，则x2=6×3，解之得x=±3，由于边长不能为负，故x=-3舍去，故正方形的边长为3cm1530或-30 点拨：设其中的一个偶数为

29、x，则x（x+2）=224解得x1=14，x2=-16，则另一个偶数为16，-14这两数的和是30或-30三、16解：（1）4x2-3x-1=0，称 ，得4x2-3x=1， 二次项系数化为1，得x2-x=， 配方，得x2-x+（）2=+（）2， （x-）2=，x-=±，x=±， 所以x1=+=1，x2=-= （2）5x2-x-6=0 原方程可化为（x+2）（x-3）=0， +2=0或-3=0， 所以x1=0.9，x2=1.3 点拨：不要急于下手，一定要审清题，按要求解题17解：（1）（2x-1）2-7=3（x+1） 整理，得4x2-7x-9=0，因为a=4，b=-7，c=-

30、9 所以x= 即x1=，x2=（2）（2x+1）（x-4）=5，整理，得2x2-7x-9=0， （x+1）（2x-9）=0，即x+1=0或2x-9=0， 所以x1=-1，x2= （3）设x2-3=y，则原方程可化为y2+3y+2=0 解这个方程，得y1=-1，y2=-2 当y1=-1时，x2-3=-1x2=2，x1=，x2=- 当y2=-2时，x2-3=-2，x2=1，x3=1，x4=-1 点拨：在解方程时，一定要认真分析，选择恰当的方法，若遇到比较复杂的方程，审题就显得更重要了方程（3）采用了换元法，使解题变得简单18解：解方程x2-2x+（2-）=0，得x1=，x2=2- 方程x2-4=0的两根是x1=2，x2=-2 所以a、b、c的值分别是，2-，2 因为+2-=2，所以以a、b、c为边的三角形不存在 点拨：先解这两个方程，求出方程的根，再用两边的和与第三边相比较等来判断19解：（1）设方程的两根为x1，x2（x1>x2），则x1+x1=-1，x1-x2=1，解得x1=0，x2=-1（2）当x=0时，（a+c）×02+2b×0-（c-a）=0所以c=a当x=-1时，（a+c）×（-1）2+2b×（-1）-（c-a）=0a+c-2b-