2017年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线

1、4 同理AF丄， .AB 亠 1 -cos 日 sin2日 2P 2P cos2 J 而 y2 =4x，即 P =2 . 2017年高考试题分类汇编之圆锥曲线（理数） 解析 一、 选择题 1 二、 填空题 3 三、 大题 5 、选择题 【浙江卷】 2 椭圆 y -=1 的离心率是 9 4 A. B 2 5 3 .3 3 【解析】e 9二4 ,选 B. 33 2 2 【全国1卷（理）】10.已知 F 为抛物线 C: y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 li, 12,直线 li与 C 交于 A、B 两点，直线 12与 C 交于 D、E 两点，则 AB|+|DE|的最小值为（） B.

2、14 C. 12 D . 10 【解析】 设 AB倾斜角为.作 AK1垂直准线， AK2垂直 x轴 COST - GF = AK1 （几何关系） AF COS8+P=|AF AF 易知 AQ = AF （抛物线特性） GP =P 2 =P 又 DE 与AB垂直，即 DE 的倾斜角为 sin2 尹 / 1 AB DE =2P 乔 =4sin2F cos 二 COS _4 sinJcosJ _sinJcosH 4 丄 sin 22T| 4 4 爲、16，当-n取等号 即 AB| -.DE 最小值为 16，故选 A 2 2 X y 】9.若双曲线 C: 2 =1 ( a 0 , b 0 )的一条渐近

3、线被圆 a b B. C. 三 A. 3 3 3 【全国n卷 （理） 2 2 x-2 y -4所截得的弦长为 2，则C的离心率为（） B. .3 C. 、2 2*3 V 【解【解析】取渐近线，化成一般式 a bx ay 二 0 , 圆心 2, 0 到直-2 2 a b Q Q Q 得 c =4a , e =4=4 , e=2. 【全国III卷（理）】5.已知双曲=1（a0,b0）的一条渐近线方程为y冷x, 且与椭圆 2 2 x_丄 =1有公共焦点，则 C 的方程为 x2 1 A. 8 10 2 2 x y B. 1 2 x C. 5 =1 D. 2 2 x y 1 1 3 【解【解析】双曲线的

4、一条渐近线方程2 2 又椭圆誇.計与双曲线有公共焦点，易知 c=3, 由解得 a =2,b = .5，则双曲线 C 的方程为 2 2 汽=1， 故选 B. 【全国III卷（理）】10.已知椭圆 C: 2 2 令2=1 , A1, A2, 且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx-ay 2ab = 0相切，则 C 的离心率为（） 【解【解析】以 A1A2为直径为圆与直线 bx-ay，2ab=0 相切，.圆心到直线距离d 等于半径, 2 2 2 2 c，可得 a =3 a c j,即 c -e =_ a 3 2 2 【天津卷】（5）已知双曲线 笃_爲=1心0,b 0）的左焦点为F,离心率为 2 若

5、经过F a b 和P（0,4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ 2 2 2 2 2 2 2 2 xy“xy“xy“xy “ A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 4 4 8 8 4 8 8 4 4 x2 【解【解析】由题意得a = b, = -1劉c = 4, a = b = = 1 ,故选B. c 8 8 、填空题 【全国1卷（理）】15.已知双曲线 C: q =1（ a0 , b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心, a2 b2 心率为 【解【解析】如图, OA 二 a , AN 二 AM =b |2ab d a .a2 b2 又 a 0,b 0，则上式可化简为 a2

6、 2 =3b c2 2 x2 -2 b 为半径做圆 A,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点.若/ MAN=60 贝 U C 的离 T . MAN =60 ，二 AP = OP = J|OA|2 -|PA2 = 【解析】y =8x则 p =4，焦点为 F 2 ,0，准线I :x = -2， 如图，M为F、N中点， 故易知线段BM为梯形AFMC中位线， CN =2 , AF =4 , ME =3 又由定义 ME| |MF , 且 MN| |NF , NF| |NM|MF =6 2 【北京卷】（9）若双曲线 x2-1=1 的离心率为 J3，则实数 m= _ m OP -3-2 2

7、二 2 y =8x的焦点，M是C上一点，FM的延长 线交y轴于点N 若M为FN的中点，则 FN 2 b 2 【全国2卷（理）】16.已知F是抛物线C： 【解 2 X 2 【江苏卷】8在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 y =1的右准线与它的两条渐近线分别 3 父于点 P,Q，其焦点是F1 , F2，则四边形 F1PF2Q的面积是 【解析】右准线方程为X善3110渐近线为 yjx，则P V30 C 炖 10 2 2 【山东卷】14在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 笃_占=1 a 0,b . 0的右支与焦点为F a b 的抛物线 x2 =2px p 0 交于 AB 两点，若 AF| -|BF

8、 =4 OF，则该双曲线的渐近线方程 为. 【解析】丨川鬥【解析】丨川鬥+ + | |盯冃八盯冃八#+*+#+*+彳彳= =4彳彳=”+$=”+$严护严护, , r q f _ V* _ 2 _ 因为因为 / / b b n n7戸几戸几2专专= =Q二二，所以，所以J J +a = - = = a = 2b2b 渐近誉肪程渐近誉肪程 T T a a x x = 2 py= 2 py 二、大题 （1 ）求 C 的方程； （2）设直线 I不经过 P2点且与 C 相交于 A ,B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为-1, 证明：I过定点. Q（警，容），F1（-丽），F2（屈），则

9、S-近沢鬻二川 【全国I卷（理）】20. （12 分）已知椭圆 C: 2 2 a2 b2 =1 (ab0),四点 P1 (1,1), P2 (0,1), P3(-1J3 ),P4( 1 1 旦 2 2 中恰有三点在椭圆 20解：（1）根据椭圆对称性，必过 P3、P4 又 F4横坐标为 1,椭圆必不过 R,所以过 P2 , P3 , P4三点 当 斜 率 不 存 在 时 得 m =2，此时 I过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足. 当斜率存在时，设 I ： y =kx b b =1 A N，%，B x2 , y2 y kx 亠 b 联立 x24y2_4=0，整理得 1 4k2 X2 8kbx

10、4b2 斗0 2 8kb 4b -4 为 X2 2 ,为 X2 : 1 4k2 将 F2 (0 , 1 ), F3 -1，耳 代入椭圆方程得 b2 =1 ，解得 b2 =1 椭圆 C 的方程 为： 2 X 2y I :x =m，A m， yA ， B m， kp,A kp2B 一、A yA _1 -yA -1 -2 m mm 2 1 4k kP2A kP2B y1 -1 X1 y2 -1 X2 x2 kx1 b -x2 x1 kx2 b -x1 X1X2 8kb2 - 8k -8kb2 8kb 2 1 +4k_ 2 4b -4 1 4k2 8k b -1 4 b 1 b -1 又b =1= b

11、 - -2k -1，此时厶二-64k，存在 k 使得 0 成立. 直线 I的方程为 y =kx -2k -1 当 x =2 时，y = -1 所以 I过定点 2 , -1 .【全国II卷(理)】20. (12 分)设 O 为坐标原点, 动点 M 在椭圆 C: 2 X 2 y =1上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 2 N,点 P 满足 NP = 2NM . (1)求点 P 的轨迹方程； T T 设点 Q 在直线 x=-3 上，且OP PQ =1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 I过 C 的左焦 点 F. .解：设 P(x , y)，易知 N(x , 0) 由已知：OP PQ =(xp

12、 , yp) (一 3 一 yp , yQ yp) =1 , OP OQ-OP 方 OQ_OP2=i, 二 Xp XQ ypyQ 二-3xp =3 . 设直线OQ : y怜, 因为直线l与IOQ垂直. 故直线I方程为 y = ( - xp) yp , yQ 令 y =0，得ypyQ =3(x -Xp)， 1 一 3 ypyQ 二 x xp, 3 3yp yQ xp， ypyQ =3 3xp , x - -(3 3xp) Xp - -1 , 3 右 yQ =0，贝U -3xp =3,冷=一1, yp = 1 , 直线 OQ 方程为 y =0，直线l方程为 x = -1，直线l过点（-1 , 0）

13、，为椭圆C的左焦点. NP =(0 , y)又 NM y 盪OPOQ-OP 又M在椭圆上. 设点 Q(； , yo), P(xp , yp) , (yQ =0), 【全国III卷（理）】20. （12 分）已知抛物线 C: y2=2x,过点（2,0）的直线 l 交 C 与 A,B 两点，圆 M是以线段 AB 为直径的圆. (1 )证明：坐标原点 0 在圆 M 上; (n)求证：A 为线段 BM 的中点. 2 1 2 (2)设圆 M 过点 P (4, 解:(1)显然，当直线斜率为 设 l : x = my 2 , jy2 =2x |x =my 亠 2 -2),求直线 I与圆 M 的方程. 0 时

14、，直线与抛物线交于一点，不符合题意. A(x ,yi), BX, y2), 联立: 得 y - 2my - 4 =0 , 4 m2 uir uuu OA OB 16 恒大于 0 , % y2 =2m , y2=-4 = X1X2 河2 =(m% 2)( my2 2) 2 =(m 1)yy2 2m(y y2) 4 2 八 -4(m 1) 2m(2m) 4=0 ULT ULU 二 OA _OB，即 O 在圆M上. ULU ULT 若圆M过点P，则 AP BP =0 区-4)(X2 -4) (y 2)( y2 20 (m% -2)(my2 -2) (% 2)仏 2) =0 2 (m 1)% y2 -

15、 (2m - 2)(y1 y2) 8 =0 2 1 1 当 m 时，l:2x，y-4=0 圆心为 Q(x,y), 2 y1 +y2 1 1 丄 c 9 y0 , X。 y 2 二 2 2 2 4 半径 yoQ|=. 4 9 2 1 2 85 则圆 M :(x )2 (y )2 : 4 2 16 当 m =1 时，l:xy2=0 圆心为 Q(xo,y), y y - y2 y 冷 2 ，xe =y 2=3 , 半径 r =|OQ 32一 12 则圆 M 【北京卷】(18) 2 2 :(x -3) (y -1) =10 (14 分)已知抛物线 C： y2=2px 过点 P(1,1).过点(0, 1

16、 )作直线 交于不同的两点 M,N，过点 M 作 x轴的垂线分别与直线 OP、ON 交于点 A,B, I与抛物线 C 其中 O 为原 占 八(I)求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程; (I)把 P (1,1)代入 y2=2Px 得 P=2 - C:y2=x,(18)解: 焦点坐标(-,0),准线：X=-1 4 4 , 1 -k 田 X1 +X2= , X1X2 = k2 4k 1 -k k 2 上式=2kx 冷一=2kxi亠1 -k 2x. = 2为 A 为线段 BM 中点. 2x - 4k X1 2 【江苏卷】17.(14 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆E :笃+上

17、 a 1 的左、右焦点分别为 F1, F2，离心率为，两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上，且位 2 于第一象限，过点 F1作直线 PF1的垂线,过点 F2作直线 PF2 的垂线 d (1) 求椭圆 E 的标准方程； (2) 若直线，I?的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标.(n)设 I: y=kx+ , A (X1, y1), y2 B(X2, y2), OP: y=x, ON: y= - x , X2 由题知 A(Xi, Xi), B(xi, X2 X2 1 y kx 2二 2 y =x 2 2 kx + (k-1) 1 X+4=0， 1 -k X1+X2= k2 Xi

18、1 X2= 2 . 4k2 % X2 x b0) b2 2 2 联立得a=2,c=1 , b=,J3，故椭圆 E 的标准方程为 Z卜丄 4 3 (2)设 P(x,y)，则 xO,yo 0，由题意得 J y = (x|i) x x yo ，整理得- i-x2， y-；o yo 2 2 2 2 2 点P(Xo,yo)在椭圆E上，讣彳，3二寸，7必，故点 4 47 3 肝 的坐标是(卡一，一). 【江苏卷】B选修 4-2 :矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知矩阵 A=，B=. 求 AB; 2 2 若曲线 Ci； L =1在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2，求 C2的方程 (2)设

19、P(Xi, yi)是曲线Ci上任意一点，变换后对应的点为 Xi i oy* 8 2 .解：(1 1)AB=. 【山东卷】(21)(本小题满分 13 分) (I)求椭圆E的方程; (H)如图，动直线 I : yrkix-仝交椭圆E于A,B两点，C 是椭圆E上一点，直线 OC 的 2 斜率为 k2，且 kik , M是线段 0C 延长线上一点， 且 MC : AB =2:3 , L M 的半径为 MC , OS,OT是 L M 的两条切线，切点分别为S,T.求.SOT 的最大值，并求取得最大值时 所以 a =和 2, b =1 ,2 2 ，因为P(xi,yi)在曲线Ci上，所以x y =8 即曲线

20、 C2的 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆E : 2 2 a2 b2 =1 a b 0 的离心率为 2，焦距为2 . 2 (21)解：(I)由题意知 2c =2 , 直线 l 的斜率. 2 因此椭圆E的方程为分 yj (H)设 A xi,yi ,B X2,y2 , 得腑2田 2履4愿必1 =0 , 由题意知.: .0 , 且 xKx2 = 2 2 3ki 1 2ki2严必八2 2kj i 所以 |AB| =kT|xi X2 72 ki . 2ki2 i 2 8ki 所以 =4| 得 x-8kT, y2 =匸， -4k,2 i 片 4k； 因此 |OC|=Jx2fy2 =q 8ki2 包 4k

21、j . 联立方程 g 一、3, 2 2 y2=1, 由此直线 OC 的方程为 y述x 4ki 3 3近 2 1 +2k1 -4 7 傭4心週讦 因此仝 OT 兰 2 6 所以 fSOT最大值为-. 综上所述： .SOT 的最大值为 ，取得最大值时直线 l 的斜率为 k1 = _ 2 3 2 【天津卷】(19)(本小题满分 14 分) x2 y2 1 设椭圆 2 =1(a b 0)的左焦点为F，右顶点为 A，离心率为 已知A是抛物线 a b 2 1 y -2px(p 0)的焦点，F到抛物线的准线I的距离为一. 2由题意可知 sin SOT r |OC 因此 OC r 当且仅当 r2，即心时等号成

22、立，此时k；2， 3 t 2 2t2 t -1 1 (I)求椭圆的方程和抛物线的方程; (II)设I上两点P , Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点 B ( B异于点A )，直线BQ 与x轴相交于点D若 APD的面积为上6 ,求直线AP的方程. 2 (19)(1)解：设F的坐标为(_c,0).依题意，c=1 , P=a , a 2 2 1 c , P = 2 , 2 于是 b2 =a2 c2 4 (IQ解：设直线解：设直线 W W 尸尸的方程为的方程为* * 吩一吩一 1(呵呵h 0),与育线与育线 啲方程啲方程x二二-1联益, ,可得点可得点尺尺 7 7 丄丄) ), ,故故 w 与与

23、+ +竺二竺二 1 麻麻 N N 消去 S 整理得整理得(3m(3m: :+4)y+4)y: : + 6mi + 6mi =0,=0,解得解得 0.或或 m m 3 3 由点由点占异于占异于点且，点且，可得可得点丹点丹( (兰匸兰匸二丁竺二丁竺_)_)由由0(7二二) )，可得，可得直线月直线月Q的方程再的方程再 3 m* +4 3 冊冊* * 3附附+ + 4 m m +lXy+lXy- -i i=0,=0,令令=0,解侍解侍工二工二 一一 故故D D 卫卫) )一所以一所以 Sm +4 m m jm +4 w： im +1im +1 Sm + 2Sm + 2 j 話展因为的面积为些故$琢 3nr3nr- -2y/6 m2y/6 m +2 = 0 ,禅得禅得 m m =- -, ,所以懵所以懵=欢欢 3 J- 所以，直线 AP的