【微积分】极限运算法则ppt课件

1、第四节第四节 极限运算法那么极限运算法那么定理定理1. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设证证.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其其中中BxgAxf由无穷小运算法那么由无穷小运算法那么, 得得)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立BAxgxf )()(BABA )( BBAB. 0 AB, 0, 0 B又又, 0 ,00时时当当 xx,2B BBBB21 B

2、21 推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是是正正整整数数而而存存在在如如果果推论推论2 2,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立求极限方法举例求极限方法举例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim

3、1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小结小结: :则则有有多多项项式式设设,)(. 1110nnnaxaxaxP nnxxnxxxxaxaxaxP 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xP 则则有有且且有有理理函函数数设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf 阐明阐明: 假设假设,0)(0 xQ不能直接用商的运算法那么不能直接用商的运算法那么 .解解)32(lim21 xxx, 0 商的法那么不能用商的法那么不能用)

4、14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分分母母的的极极限限都都是是零零分分子子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的

5、极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法)小结小结: :为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子, ,分母分母, ,以分出无穷小以分出无穷小, ,然后再求极限然后再求极限. .例例5 5).21(lim222

6、nnnnn 求求解解是是无无限限多多个个无无穷穷小小之之和和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.例例6 6).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两两个个单单侧侧极极限限为为是是函函数数的的分分段段点点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故.)(lim)(lim)()()(lim)(lim0000

7、0000AufxufxxxufuxuxuxuAufuuxxxxuu 时时的的极极限限存存在在，且且当当，则则复复合合函函数数某某去去心心邻邻域域内内的的，且且在在点点，设设)(lim0 xufxx)(lim0ufuu)(xuu 令令0)(lim0uxuxx 意义：意义：定理定理2复合函数的极限运算法那么复合函数的极限运算法那么Aufuu )(lim00)(lim0uxuxx .)(lim0Axfxx 证证.)(,0, 0, 00 Aufuu有有时时当当.)(,0, 0, 00101 uxuxx有有时时当当对对上上述述，时时当当0202)(0,0uxuxx 由知条件，由知条件，取取 ,min21

8、 那么那么当当 00 xx时，时，0)(uxu 0, 从而有从而有Axuf )(. 这就证明了这就证明了解解: 令令.93lim23 xxx932 xxu那么那么 ux3lim61 原式原式 =uu61lim61 66 例例7. 求求 93lim23xxx 31lim3xx. )1(lim2xxxx 解法解法 1 原式原式 =xxxx 1lim21111lim2 xx21 解法解法 2 令令,1xt tttt1111lim20 21 那么那么原式原式 =22011limttt 111lim20 tt 0t例例8. 求求?)1(lim2 xxxx解法解法 1 原式原式 =xxxx 1lim211

9、11lim2 xx21 解法解法 2 令令,1xt tttt1111lim20 21 那么那么原式原式 =22011limttt 111lim20 tt 0t思索思索: .0)1(lim33 xaxx解解 : 令令,1xt 那么那么 tatt 33011lim001 atatt 3301lim 01lim330 att故故1 a因此因此例例9. 试确定常数试确定常数 a 使使小结小结1、极限的四那么运算法那么及其推论、极限的四那么运算法那么及其推论;2、极限求法、极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出

10、法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.3、复合函数的极限运算法那么、复合函数的极限运算法那么思索题解答思索题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf )(xf有极限，有极限，由极限运算法那么可知：由极限运算法那么可知： )()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与知矛盾，与知矛盾，故假设错误故假设错误思索题思索题 在某个过程中，假设在某个过程中，假设 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 能否有极限？为能否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()

11、(xgxf )(xf解解:利用前一极限式可令利用前一极限式可令bxaxxxf 2322)(再利用后一极限式再利用后一极限式 , 得得xxfx)(lim30 可见可见0,3 ba是多项式是多项式 , 且且,22)(lim23 xxxfx,3)(lim0 xxfx求求. )(xf)2(lim0 xbaxx 故故xxxxf322)(23 备用题备用题 设设._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填空题一、填空题:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、练练 习习 题题._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求以下各极限二、求以下各极限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、38231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 xx