数值分析-期末复习整理版

1、Chapter 1 误差误差限计算、有效数字分析relativeerror相对逞差说r为進确慎.v为x的一个近似值称为近似值/的相对误薯可简召为二绝对误差设工为准确值为兀的-个近似值，称e（x* = T X为近似值丁的绝对误差简称误差可简记为£|£（V）同 X* -T|< S（X）薮值列x ）称九T的绝对误差限或误差限,有效数字若F作为H的近似值，其绝对倶差的绝对值不 超过某一位数字的半个单it而该位数字到的第 一拉非零数字共有用矩则称用”近饥r时具有用位 电效数字简称F有川位有效数妾Chapter 2插值法 差值条件（唯一性）1、拉格朗日差值a）插值基函数b）差值余

2、项(f = 0丄加/*2.2 拉格朗巧描值2.2.1基函数考虑最简単、最棊本的插值问题.或“次插值弟项式/A）（/=0丄 申h 便其满足插值条件bg、=* J 7:（7 = 0,1,- *,«）P，J = l可知，除弋虑外,其余都是人©）的零点，故珂设<（-*：） = -Xoy（X 曲一（土一 Aa>1>何 =乂（斗_%）_斗_1）兀_兀屮）叫耳_耳）其中H为常数*由於沪1可得A= 七）血-1）（斗 _-vi+i）T-_An）亡如二Cv 曲_JCv 兀讥） -（龙二斗）（曲竝）（叫巴工聞卜叫斗斗称之为拉格朗日基甫数,都是川衣多项式“2,2.2竝格明日插值名

3、项式利用拉格朗曰基函麹低h构造决数用超过肝的多项式 匚（耳）=片百（对十片韓”町+-+j;Ux）=Sr/j<A）可知其満足、. ni“Jgh/=g丄齊为拉格朗插倚雪项式.再由插值多项式的唯一忆 得（A）=ZJX）特别地，当打=1时又叫线性插俺耳几何意义为 过繭点的自线.当"4时又叫抛物（线）插值，其儿 何意义为过三点的抛物线.所以这是因为若取/(")=+伙=0,1,丿),由插值多项式的唯 一性有工厶(x)x； =x*=0,1,/Z=4)特别当防0时,就得到 加)三1/=0例1已知)=丘科=：4心=9,用线性插值(即一次插 值多项式)求历的近似值。解儿=2,” =3,基

4、函数分别为：v 91V _4 13=匕=一尹-9)心)=釘=尹-4)插值多项式为A(x)=儿 d) + M(x)= 2 x(x-9) + 3 x|(x-4) QJ= -|(a9)+|(.v-4)(=|(a+6)L13衙a厶仃)二一= 265则拉格朗日的三次插值多项式为3( v) = Fo/o(*)十( r) +nZ2( v)十旳厶(*)=(-2)x=l(x-l)(x-3)(x-4)+0xl(x+lXx-3)(x-4)+()x(x + l)(x-lX.v-4)+3xl(.r+l)(x-l)(.v-3) o13=一 1)(入-3)(v4) +(.v+1X.v-1X-v -4)ZU4+I(.v +

5、l)(.v-lX-v-3)(=宀4宀3)2.2.3插值余项截断误差心(斗)寸(工)L(x)也称为n次Ldgmnge插 值多项式的余项。以下为拉格朗H余项定理。定理2设/(v)在区间°上上存在+1阶导数， 萨aj (/=0,1皿)为”+1个互异节点，则对任何 -ve a#,有S+l)!貝中皱】)二flGv-Aj忆eia9b)且与工有关)1例4给定函数表X10111213Inx2.3025852.3978952.4849072.564949于是/uLi二0.325因为 r(x)=, A/3 = max | /)冃p(2)|=?X玛2,45故 |恥)$兽(.v-2)(.v-2.5)(.v-

6、4)| 斗冷心-2心-2.5)(工-4)|IRQ)冃 /(3)厶 l< 昇 I (3 2)(32.5)(3-4)|6 8用二次插值计算lnll25的近似值,并估计误差. 解 取节点xo=10,x1=11,x2=12作二次插值有 1讥2%(11.25)=喘粘严曲 严U5F(H25)込叫2碱测(11-10X11-12)(12-10)(12-11)= 2.420426= 0.03125例2求过点(-1,-2),(1、0),(3,-6),(4)的抛物线插值(即 三次插值多项式).解以.v0=-1,.v1=1,x2=3,.v3=4以为节点的基换数 分别为：g)(x_l)(x_3)(x_4)(-1-

7、1)(-!-3)(-1-4)= -Gv + l)(；v-3)(x-4)(x + l)(w 3心4)(1+1)(!-3)(1-4)(V + l)(x l)(xT (3 + 1)(3 1)(34)= 4cv + 1Xv-1)(a:-4) o(” + 1心1心3)(4 + 1)(4 1)(4一3)例3设= 点厲二乙工严历,勺=4,求/：w) 的拋物插值多殒式假计算7(3)的近似值并估计误崟解 Jo = /(2) = 0“ =/(15) = 0“ =/(4) = 0.25插值多项式为£2(.v)=0.5x(”一巧心一4) (2-15)(2-4)I 0.25x(大 2)(25) (4-2X4-

8、2.5)= 0.0&v2-0.42Sv + 1.15在区间10,12上lnx的三阶导鮒上限酿血 可得嘶I式|&(1L25)| 吞 |(11出-10)(11 25-11)(1125-12)|<0(1(0073.实际 ±,lnll. 25=2.420368,|R2(11.25) 1=0.000058.2、牛顿插值构造差商表性质4若冗|在|砧上存在阶导数*且节点曲，,©E险灿,则至少存在一点农，列满足下式n!例 1 /(a)=- &+卅一 10,求/1 厶,9及flZ "训.；Vj (.v) = 0.41075+1.116(1.-0140)

9、+ a 2800( .V 一 <1斗0)(斗-0.S5)战/(aS9tq ta Jv:(ft596) = (1632010又，斗，斗1 = 01970叮帑过前四点的二抚牛頰捕值多项武JVj(x) = JV2(x) + *,l*7a(A?-4.4CIXJC -0-S5)(x -IJ.fi?) 故 /(0.596),(1).596) = 0.6319H5/l也、r vj = U” W 可得巧E的截断眾差|&aJ m 0.O344(jt OJ55X* 0-63Xx -80)1J(0l5»6)|a04 x MF*例2谡尹芻1+乩2t2+5t 3, H二机插偵窖坝 式求/U .2

10、及川工”呦的诉似值.解 相应的函数值及差分表如下*3-阶遂分阶圣分三阶塗井四阶誥&11.522.532.7182S4.-181697.2890612.1S24920,085541.73412.MI3471巧yu7.903051.1-1396.886063.1OME20,74210K223560,48146斗曲一阶苣分二阶差井三阶養井1L522.532,718284.48169 7J8SU6 12.1S2492 0.085541J63412+9(1347 畑343 7,903051+14 刃61謝筋恥3 J 09610.742101.223S60JS146求用用牛顿前插公式，且由l+2=

11、l+0+5hMIJ-X71R2HI L7ta4lx(14 i 三空(14禺3 1)+a742l°a4x(L4-lX04-2) A3A3S652曲-阶整分二阶菱分三阶差竹四阶趙井1L521.532.71828481697.2890612,14249 20.08554L763412.903474.79343 703051443961J8«O63.10962fl.742101.22356fl+48146求A2.K）用牛顿后插公式甩由2.A3+0.龜得住-0.4 /（2.8）sA；（25）| 求/U.豹呢？=加08凶 M9O5 越4）+卫譽（E4）K（-a4U） +122356 乂

12、 出赵 乂+纨+2） = 15.76808723、埃尔米特插值构造三次埃尔米特插值多项式如下码（兀）=川Zf；（曲）=Mj(i=M)淋为三次埃尔米特插值籌项式.函数值导数値竝%竝%也）1000D100际）04)10卩血）00012-5-1三次埃尔米特閒值老项式设尸那）是区间刿上的实画數 也0心是创上相异两点'且 jWV）在竝上的頤澈值和一阶导数值分别为 （f*l）和叫=厂（对（f-0,1）,求三次宴项式H3（x,使其驕足: 定理3滿足条件式 卑沖=丹碍（叫）=叫（f = OJ） 的三决埃尔米特插值爭项式存在且唯一.枸造三族埃尔用持播值多项式如下：场何 =Ft（x）卜耳碍3+叫炖仗）+由

13、 術0"=瑤(址)=0可将代写成 tf0(.V)= fl + V A'o)( A' - A2由兔(壮0=h得必=T(也 *1)再由tZQ(X9) 0,得6=T所以g 场)曲一巧孔一叫 同理（将叫cm远些（3）5 一叫吟一町）同样由玛（切=罔（眄）二（场）=山可令/(X)=f(.V-A0)(TV -Xj)2心口黒K熬巴舲町得满足条件的三次埃尔米特插值多项式为«iUh U+2斗一曲xi 一科）见(“)-“ +Ji«l(-t) + «AW+叫阿(疋)+%(床-观)(RJ（） = fl +2Z1（-V）（i：r）几（耳）=（耳一也硏（叭=【1 十

14、 2咼*）片（禺）A（v）=（盟賈）矗&为以伽風），（眄小）插值点的Lagrange=別十20（=卄川1甘4=叫一岭如一曲斗一码码一观知+吶-讪二5呼 叫巧一次基險数.f v-121、J/3(x) = llx 1+2 亠m144ii12f®1/221/24/+12 x 1 + 2I 121-144144-121)11 m144-121A121-144.v-144 H x-2i(,r-121 Y ,r-l+4,144121 JI 121-1441+ 24Xl21-l44Al-nia 144A 121得 V125 ft Ws (125) =11.18035rw(x= 152-5.

15、2课差佔让定理4设爪）在包含网的区间血可内存在网阶 导数，则丘皿少时有余项尽何 g）-恥）专严僚r 沧-寸 （和甸且与耳有关） 设札=黑念珂胡则当垃為內）时， 余项有如下估计式（误差限）I爲何智例2已知及其一阶导做的轴见下表屛埃尔 米特插值公式计算垃5“的近似值,并佔计其截断倏琏. 解尽E=吕(2* 21)(.v-144)r f (265-2.y)(x- 121)"十- (x121)a-144)+ _1 ,121)22 -2j八f24 8 23*八f16a? 5可求得| 览(125) I = 41 asJI s 1 384-16IS i93埜r一« 0*000012i&am

16、p;4 121J*114、分段低次插值例3构造函®y（Aj=lLV<lSK<1（*±的数表，应如何 选取步按A才能使利用数表进行分段插值时误差不 超过 0.5X101.'/*（x） = 一t,胚=maxfH（x） = 1.xU如I1欲使，/（对p（x）兰 g 曙 m” |xio得 /rixio-2即进行分段线性插值时，应取A<2X10-误差不 超过 0.5XKF4,=-,A/ = max /N)(j(*)二 GX41仝卫o欲使J|/(.v)-ZZ(x)| max /(j)(a)二鲨丄11 3 露 g*6斗 2得 A2V1 xlO-1即进行分段三次埃

17、尔米特插值时应取k < 2旳X10'1误差不超过2 Xl(Ha5、三次样条插值（概念）2.7三挟样条插值2.74问题的提出定义 洽定区间也上的一个划分R=g<A严吒筍".yrf阳（日儿+屛h如果函数SU）满足:（1）Eg冃池=0儿肋；（2）在每个小区间陷心上是决數不超 过3的多项式；在每个内芳点斗（扫1卫呼册1）上具有-阶连续导埶 则称5（a）为关于上述划分的一个三次多顼式样案 函数，简称二衩样条。Chapter 3函数逼近与曲线拟合（送分） 1、最小二乘法 写出法方程Z71* 工T-l解之可得a. =4/71431 =-2.7857,0. =0.5000故所求拟

18、合多项式为P(x) = 4.7143-2.7857a- i O.SOQOx2.例 己知一组观测数据如表所示，试用最小二乘 法求一个多项式拟合这组数据.X011345y521123解作散点图如右，从右图可以看出这些 点接近一条抛物线，因此 设所求公式为丹兀）二岭十厲込+玛空代入法方程（E 1）叫 4（S Vj） Oi 4 （迟屛）血= i-li-1i-1b6h（£药）叫晋（£工为血+（£工加1 =i-1/u1-14$矗（工屛M+ （乞算；）6 =L 百r-1I-(6c0 +15et + 55c2 =14代数据得” 15 + 55 + 225:30(55 + 225

19、+ 979 = 122例7已知-组实验数据如下，求它的拟合曲蛭.i（.v）=% +aL.v,这里朋=m 叫伍）=1“（ x）=x,故11§4544+56&85213d解根据所暗数据.在 坐标紙卜标岀各点.见图. 从图中看到各点在-条直 践附近，故可选择歩性函 数熾拟合曲线，即令得法方程弼隔=乞耳=氐II低丿帀£四/>4人磺崩）=,冊二£耳過=2XIfJ（軒| J匸去呻J =皿丘低申）=g吗壽冷囲劇炉r 22兔=47t22at + 74/jj =1JS5.解得=2*77,0=1.13.于是所求拟合ift皱为用:仁町=277 + 1"3乂2、范

20、式计算（向量、矩阵）例 1 R啲内积，tv,j- Ex- （airv3< >vjrt=厲曲,*产则其内积定义为g 刃二 £.勺”（12）1=1由此导出的向量2-范数为若给定实議炖产0（=1.用*迢称为权函数+则在削 上叩定又加权内秋均H斗刃=另斗北（13）不难騎证2）给出的找,）瞒足内积定义的4条.当M-1 时，（13）就是门2）.定文2（向竝的般数）如果向量AUT*（或S）的某个 实倩函数菁佃怦|圍|*满足条件：（1）阖同（洲|=0当且仅当40）（正定性），（2）|£LV|=|（Z| |M|t对任何炸歇或fitG侪次性），心川V切倒卜II+AI （三角不等式）

21、则称.VCv>=IMI是枣（或）上的一个向量范数（或模）.由3可推出不尊成+（4） | Ikll-IMI | 旷Hl下面给出几种常用的向矍范数*设円对如六讥1* |a | =向竝的寸范数傲人范数2- 114=XI-向量的i-范数i-l丄3- klla = E x） 1 =（纠眄町向邑的欧氏范数14- ih,=：向呈的门-范数真沪+呦g J容易证明前二种范数是的P范数特殊情况亨其中例6让算向議.v=（l, 2d）T的各种范数. 解 1. |x|Lmaxlt|-2|,3=3,2. |琲二"|2| + 3二6,3* |風=少+卜卧+ # =定文3设供吗为虫中一向虽序列,.1隹1?记

22、界范力叫.*凡呵件貳=（旳 '如果1皿屮二X；好=讥.皿fr则称彳山收敛于卞"+记为lim ajA> xChapter 4数值积分与数值微分1、梯形公式、辛普森公式例如¥用区间他切两端点的函数值与的 算术平均值作韧的近似值，可导岀求积公式/ =f (朗乩2何+/W1这便是人们所熟知的梯形公式*«=1吋.柯持斯系載为刖=匸询=討1专.- (I这时的牛顿-柯特斯公式为一阶求积公式.就是我们 所熟悉的梯形公戎#即"号心八八砒当*戸2时，柯特斯系数为即=-訴一如=右丄相应的牛顿-柯特斯公式为二阶求积介式，就是辛君 (dnipsyn)公式(又称为抛物

23、形求积公式)，即b aa + bS = /(«> +4()+/(*),6-z例题分别用梯形公式、辛普淼公式和柯特斯公 式计算积分1 = ( -Xr4rJasl+jr解；由梯形公式得IIfr +-1 =0.24705882 1 +0.6*1+T由辛普森公式得I=rt 6 !-+4x- +U =0244954661+0- 1+OJl- l+l1It柯待斯公式得,< 32 x , 1 12 x 1 + 0.6'1+0.7!+«,«积分的特碓值Ofil + A-1dx = arctan a = 0J44978660.6得求积公式为円84 SF=L几驯耳

24、气頤旳-g W)+; hfh)(a)=tv 得0=：丘dx=抑曲 +的=0牛TA如丸(-刖"1=爭故求积公式具有3次代数精度.2、代数精度判断4丄2代数精度的概念解得数值求积方袪的近似方法，为要保证精度，我 们自然希望求积公式能对“尽可能兽刃的函数准确 地成立，这就提出了所谓代数精度的概念.定史1如果求积公式(1)对所有次数不超过川的多项式都精确成立； (2至少对个帕+1次多项式不精确成立， 则称该公式具有般次代数耕度.制 1 验证梯形公式 I = f/(Ajd.Vft /(a4-/(*)| 具有一択杞数精度2解当/"炉】时，左=j*ldPv=-ff,右厂乎1十吓占-厲此时

25、公式精确成立"当血円时，当兀护0时，左寸皿冷何)&=pdr=A(-)右二狂爲右：竿财十几2 2 2公式也精确成宜.公式对.2不精确成立.故由定理1知，梯形公式的代数精度为1机*例2确定求枳公式中的待定系数*使共代数粋 度尽量髙：井指明求积公成所具有的代数精度.1=J ： /VM x ffi 咼/(协+凡/4/()令/巧=|小.齐代入公式悶端井令其相等*得4j +4 +4 =%A j(-A)+A=0=>- | +/ =0+=-A2h A hL784A-,=4 m护 4=-3、龙贝格求积公式4、5、高斯求积公式6、7、高斯-勒让德求积公式8数值微分了解即可Chapter 5

26、解线性方程组的直接方法1、消元法2、LU分解法5.4.1直接三角分解法(山分解5.4矩阵三角分解法高斯消去法有很塞变形，有的是高斯消去法的 改进，改写,有的是用于某一类特殊矩阵的高斯消 去法的简化.下面我们将介紹矩阵的宜接三角分解 法解特殊方稈齟用的平方报袪及追赶法*在322已经通过高斯消去法得到个将分解为 一个单位下三角矩啦和-个上三角矩阵乙的乘积， A=LU,其中定义如果£为单悅下三角阵，U为上三幷阵 则孤为杜里持尔(Doolittle)分解：如果E対下 三常阵，左为单拉上三角阵，则稅迎r为克劳特 (Oout)分解+并由定理7得到这种分解是唯啲.Chapter 6解线性方程组的迭

27、代法1、2、雅克比迭代法、高斯-塞德尔迭代法公式(会写)6.2.1雅可比(Jacobi)迭代法于是雅町比迭代法町写为矩阵形式设财eO (/=1,2,丿小 选取M为(的对角元素部分, 即选取对角阵)，A=D-N9由(2.3)式得到解方 程组小“的雅可比(Jacobi)迭代法.又称简单迭代法."3 = D(L + U)x(k)+Dlb6.2.2高斯一赛德尔迭代法其Jacobi迭代矩阵为x(0)(初始向蜀，25严)=Bx(k + / 仏=0,1, .,),°其中/?=/-/) U=Z)1(£+t)=J,戶D 'b称丿为解4=力的 雅可比迭代法的迭代矩阵.B/=B

28、1(L+r)=au他歼)aan_«n«22an在Jacobi迭代中，计算”严1)(2门切)时，使用 为妁)代替田)(1勺VI),即有*严=丄(Fjvf “燈-ax +1) 51a22圮叫十匕八俨- flT>r營+2)%建立迭代格式lOXj - x2 - 2x3= 7.2精11、 AT】 +10Xj 2屯二&3确.v- =1.2-xx 一 x2 +5*3 = 4.2 解：Jacobi迭代格式为解3.vr+1)=-(1 10”严+2.屮+7.2).V仟)=丄(.屮)10 1+2x +83).xf+1) =i(垮)+垮)+ 4.2)例1用雅可比迭代法解方程组或缩写为

29、铲)=丄(_£昭严-立产+切(心1,2,)aii ;=1称为高斯一塞德尔(Gauss Seidel)迭代法.于是高斯一塞德尔迭代法可写为矩阵形式x(z)=(D 一 LylUx(k) + (D - L)1 b其Gauss Seidel迭代矩阵为Bg=(DL 尸 U这就是说，选取分裂矩阵M为/的下三角部分， 即选J/=D-L(下三角阵)，A=M Nt由(2.3)式得到 解丄=0的高斯一塞德尔(GaussSeidel)迭代法芒)(初始向劃"下(2.7)N+i)=B® + / ("0,1,),其中B=HD-L) A= (D Ly'U=G, MD L尸0称

30、矩 阵G=(D-L)U为解的高斯一塞德尔迭代法的迭 代矩阵.护=*xIkJ+2+7.2>禺申=2 +2Jclft> +3.3）- 10老创a严+疳+4.2）取*叫=（0理卩计算结果如下，k眄计叩10.720.830.S420J71L07L15 9 V «111 *0999931J999931,299991121 川 999981.1999981.299997例2用GaussSeidel迭代法解上题*IO*】工立2jv=7.2* +10戈2 2算马SL3 x1 x2 + 5x3 = 4.2解：Gaus-Sidel迭代格式为V（+D =丄+1 10彳卅呦二W斗Z十2卅切+ 8

31、3）4*+1）=-（蜡切十垮切+4.2）5屮也二令 Af+2Af+7.2） 禺阿=令铲 +2曙+K3） 老巴二£（歼也1严+2）取妙=（MMF计算结果如下；kV10.720+9021.1644vi*« *4# + «*«8L099998L199M91J3、给迭代公式，判断收敛性，谱半径。6.3迭代法的收敛性631 -阶走常迭代法的基本定理设线性方程组Ax=b.（3,1）其中，A=（aft«为非奇异矩阵，记r为（3.1）精确 解，H设有等价的方理组Ax = O a- = &v 十 f.于是x' =Rx f.（3.2）设有解L=存的

32、一阶定常迭代法卅曲=舐3 + /.（33）有竟义的问题是：迭代矩阵迟满足什么条件时, 由迭代法产生的向量序列仪如收敛到八引进误差向量血何=工旳_疋依二（MZ卜由Qd）式减玉2灣到课差向量的递椎公式 严 二尿汽怙如（"（M2）.由&1节可知，研究迭代法3）收敛性问题就是要研 究迭代矩阵月满足什么条件时，有.胪>0（5矩阵）（盘->砂定义2设有矩阵序列丄讦個严）E册“及 4=（%）EQ",如果个数列极限存在且有 血11堺=码（f 2,胁 则H我称收敛于厶 记为Ibn （A8）»例4设有矩阵序列去,其中去二用，而(X 1s >2jC,B =.,

33、B* =才J7且设w<b考查矩阵序列极限.解显熱,当阳1时,则有 卿4 =阿胪=Chapter 7非线性方程求根1、2、二分法（先判断有根区间）若取区间叭，札的中点芥=十虬）作为疋的近眦值则有下述误差估计式* 1 t 1X 兀兰仇）二尹W町A' ,Art亡（灯曲小曲）只要”圧够大（即区间二分伙数杲够哆），误叢就可 足够小*由于在偶重根附近曲线严兀、）為上凹或下凸，即 的符号相同，因此不能用二分法求偶电根*7.L2二分法设/诃在区间偽切匕连续,贞町洪仍电则在皿 内有方程的根.取的中点如冷W十外将区间 分为二若八斗）=0,则曲就是方程的榄 否则判別根I在心的左侧还是右侧*若/<

34、#）几5）切,则疋丘（偽片h令"=打，bi=x0;若/凤）他5 则丄'丘（ 弘令码三占产乱 不论出现哪种情况，池“优）均为新的有根区间，它 的长度只有原有根区间长度的一半，达到了压缩有根 区间的冃的.对压缩了的有根区间，又可实行同样的步骤，再压 缩如此反复进行，即可的一系列有根区间套町眄二脚血nn斗，如 a由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间陽，虬的长度为若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将 无限进行下夫当秸时，区间必将最终收缩为一 点疋，显然弋就是所求的根.例2用二分法求例1中方程几丫尸艮-用-1=0的实根, 要求误差不超过仇（M）£解由例1可知A&

35、#39;e（t,i.5）,要想满足题意，BP：|A-r|<0.005则要由此解得” > -1 5.6,取按二分法计算过程见 lg2下表，屯二1.3242为所求之近似根.ft斗说明01.0L51.25（1） Ji忖1L25L5IJ75+21.251.3751.3125（2）根据精3L31251.3751.3438+度要求，41.312S134381.32K1+取到小数51*31 药1J2811.3203点后四位61.32031.32811.3242即可.二分法的优点是算法简单，乩总是收敛的，缺 点是收敛的太慢，故一般不单独将其用于求根，只 是用其为根求得-个较好的近似值.二分法的计算

36、步骤：步骤1准备 计算函数魂杓在城间0端点处的值步骤2二分计算苗歎/何在埴间中竝时刊2处的 值心+柳）.步骤3判断 若；（卅即2冋，则他+刖2即是根， 计尊过程结束否则检验.若7W）沢（卅勿门）5则臥（卅即2代替*,否则以 g讪2代替认反复执行歩驟2和步骤M直到区间切长度小于 允许误差粘此时中点附即2即为所求近似根.3、4、迭代的收敛性7.2迭代法及其收敛性7.2.1不动点迭代法将方程几町丸改写为等价方程形式沪憾臥（2.1）若婆求Af满足心"）=0,则A# =於"）：反之亦然，称A#为 函数韓巧的个F动点*求/pv）的零点就等于求西V）的 不动点，选择-个初始近似值 将它代

37、入3右端, 即可求得丄产詆坯）.例3表明原方程化为（2J）的形武不同，有的收敛, 有的不收敛，有的发散”只有收敛的的迭代过程2） 才有意义”为此我们首先要研究陨对的不定点的存 在性及迭代法（2.2）的收敛性.例3用迭代法求方程疋十2-二-3=0在区间1.可 内的实根.解 对方程进轩如下三种变形土ix =爭（x） = （3 l x-2x2）4X4 + 2a2 - a -3 = 0=> * =炉】f需）=-7vX + 4-1x =甕O = x4 +2a,: - 3分别按以上二种形式崖京迭代公式并取斗N进廿 迭代计算，结果如下：可以如此反复谡代计算5产侃珀（EM譌（2.2）値阴称为迭代函数.如

38、果对任何旺曰务恥由（2得 到的序列有极限liiii xk =则称迭代方程（2收敛.且宀门为处）的不动点， 故称卩为不动点迭代法.上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将 隐式方程®1）归结为一组显式的计算公式（22）,迭代 过程实质上是一个逐步显式化过程.1斗=普（斗口3屮xk-2xlr=xr = 1J24123心+严甲O = J疾z-1a6 = 1-124123血+】二他（兀）二理+2址一3 屯=96, jv4 = 8.495307 xlO7准确根1.12412029,可见迭代公式不同,收敛惜 况也不同第二种公成比笫一种公式收敛快得多，而 笫三种公式不收敛.参见书P266JH-例

39、戈珀严血岭）（*=«4-）Lim 召二 X*.k Too当侃工）连续时，显然L就是方秤二曲V）之报（不动点h 于是可以从数列懐订中求得满足精度要求的近似根. 这种求根方法称为不动点迭代扶，斗+1=（*3=<M,备）称为迭代格式，何划称为迭代函数，勺称为迭代初值, 数列R订称为诜代序列*如果離代序列收敛*则称迭 代格式收敛%否则称为城散* （儿何意义的解释见书 p2砧贞）5、牛顿迭代法（代公式）7.4牛顿法7.4J牛顿法及其收敛性对于方程几丫尸0,如杲几巧是线性函数，则它的 求根是容易的.牛顿法实质上是一种线性化方法，其 基本思想是将非线性方程/懐戶0逐步归结为某种线性 方程来求

40、解*设己知方程能冃）有近似柚°且在斗附近/肚）可 用一阶泰勒多项式近似，表示为当/V訴A时，方程爪冋可用线性方程（切线）近似代 協即Axo)+fXx(x 科=山解此线性方程得得迭代公式也F鴿八LT此式称为牛顿（Newton）迭代公式*(4.1)(42)洌7用牛顿迭代法求方程口門在bQ占附近的根. 解将原方程化为则fx）=xt 蚀=1+严牛顿迭代公式为一如取斗=0占,迭代得,=0.566311, t;=0.S671431, =1）.5671433,参见书p2力的例人牛顿法的计算步骤见书p27EChapter 9常微分方程初值问题数值解法1、公式计算：四种，欧拉公式、改进的欧拉公式、隐式

41、、梯形公式一般地设已做出该折线的顶点气，过巴（斗，儿） 依方向场的方向再推进到/Vil”心几+小显然两个 顶点尸，气+i的坐标有关系儿+】一儿二儿+】一儿j）,掘率叫+L叫ft即+21）这就是著老的（显式）欧拉（Euhr）公式.若初佰肌已 知，则依公式（11）uj逐次逐步算出各点数值解”"二山+趴和儿），內二H +例1用欧拉公式求解初値问题(2-2)解取步向=0儿欧拉公弓的具体形式为扎亠=J +（；一-）n具中X=nfj=0. In («=D, l，* 1 Oh己知丫产h由此式可得Ji = + 飒站-)= t + 0.1 = 1.1i + /f0i-)= tJ +0.1(1

42、.1-) = 1-191818Ji口依次计算下去，部分计算结果见下表.斗欧拉公式数值解儿准确囉也丫误差021.191818P 1.1832160.0086020.41.35821313416410*0165720.61.5089661.1832400.0257260.8L6497831.6124520.03733 JL01.7847701.7320510.052719与准确解）=我十石相比.可看岀欧拉公式的计算结 果精度很差.如果对方程(1.1)从斗到斗+i积分，得y(vhtl) =血)+(2.4)右端积分用左矩形公式斗)近似,再以几代替 J©”)，几柿代替用”也得到欧拉公式(2.1

43、),局部薇 断误差也是(2.3).如果右端秩分用右矩形公式/叽J"©%)近似, 则得到另一个公式几+1二儿+”(兀+1，儿丿S)称为(隐式)后退的欧拉公式.后退的欧拉公式与欧拉公式有着本质的区别，后 者是关于儿+】的一个直接计算公式，这类公式称作是 显式的；前者公式的右端含有未知的儿+】，它实际上 是关于几+i的一个函数方程，这类方程称作是隐式的.显式与隐式两类方法各有特点，考了到数值稳 定性等其他因素，人们有时需要选用隐式方法，但 使用显式算法远比隐式方便.隐式方程通常用迭代法求解，而迭代过程的实 质是逐步显式化.9.2.2梯形方法为得到比欧拉法精度高的计算公式，在等式(2.4) 右端积分用梯形求积公式近似，并用儿代替JU”)，JI 代替Jd”+J，则得几科=几拧/(叫，儿)+ "j】，J；.】)(27)称为矩形方法.矩形方法是隐式单步法，用迭代法求解，同后 退的欧拉方法一样，仍用欧拉法提供迭代初值，则 矩形迭代公式为于是有品|，吧r+妙D；/.r1(2.8)”：+i)=儿巧|/(%,几)+ /(%+,曲)(A =04, )为了分析迭代过程的收敛性，将(2.7)与(2.8)相减,得 儿+】-曲)二v(*+lJ «+1使得 则当8时有洛T.)；",这说明迭代过程(2«8)是