数值分析习题与答案

1、第一章绪论习题一1. 设x>O,x*的相对误差为3,求f(x)=ln x 的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(124)有珥巧H ftx)- fir)氐“蟲I ")|祁已知 x*的相对误差；满足：，而iI r r* IIltix-Mx*|3C-r*|<-!f 皿胡 J 1'切I x - X* | 13即汀:芦一 7试指出它们有2. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。Z>1 1O21PX；= 0.03U；= 560.40解：直接根据定义和式(122)(123) 则得匚有5位有效数字

2、，其误差限''"，相对误差限有 2 位有效数字，'；- '有 5位有效数字，3. 下列公式如何才比较准确？pi_l(1)b' .-(2).，； -； 2解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换 所给公式。(1)rr(2)4. 近似数x*=0.0310,是3位有数数字。5. 计算-【取.- -，利用：-；式计算误差最小。 十（3_ 2旋代,99 _ 702四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定：|1的数值表盘0.40.50.60.7Ln x-0.916291-0.693147-0.510826-0.35(675用线性插

3、值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8 ）。线性插值时，用 0.5及0.6两点，用Newton插值In 0.54 -0 693147 +-0.510826 + 0.6931470.6-0,5(0 54-0.5) = -0 620219限匚:u-r«z)=tax,P1« = A J/a 二器如肉（亍）卜尹4204" 06 二 0 0048二次插值时，用 0.5 , 0.6 , 0.7三点，作二次 Newton插值In 0.54 刘-0.620219 +(0.54 -

4、0.5)(0.54-0.6) = -0.620219 +(-1 40850) x0.04x (-0.06) = -0.616839肉卜不並|（一 0 5）（0 6）（0网2十厂峪二器®'，故區(利兰x 16 x 0.04 x 0 06 x Q 16 玄 0 0010242. 在-4Wx<4上给出：的等距节点函数表，若用二次 插值法求- 的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少？解：用误差估计式（5.8），“2J仗）二几严"丸4/（力一血力1勺曲 弓卫芽g |A7d）（g）l令 上，.卜'-.： _ " _ ' -1 - : I

5、 _ ； _ I ： _ ' _? 1 * “因 Ju - ''-_' "I/曰讣 <ixl0>0.0066得3. 若冷:-丁 ； - -.，求.'I 和-I.解：由均差与导数关系二 二/（x） = H +d +% + 1 丿=儿严（Q = 0于是一*| .:-.-.-：-4. 若了仗）叫机（X-耳）（xrj（X-耳）巧（工0丄）互异，求 川亦心宀的值，这里p< n+1.解：于仗） = %©）,/（" = 0（i =卽,屈， 由均 差对称 性/斑，珀”卫二丁1八可知当二二有- !X+1了（耳+1）_ 而当p

6、= n+ 1时于是得(X P 兰 n1, P = n +1hJ1筍，和,心+1 二另了 （馬）f 心殆）= ?-05. 求证y-解：解：只要按差分定义直接展开得=S s冲-纠）J4H=g _Avm_i +轨.】_够j + +M _A/o=Ays -Ay06. 已知Y NJ的函数表00.200.300.50工股)00.201340.304520.52110求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并 用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表Xif(X;)一阶均差级均差三阶均差000. 200.201341.005?0. 300. 304521.03180.08

7、3676 500.521121*08306 170670.17400由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得肉(0 23)1 -心心,彩0一罚叫(0.23由于 II : j '： 111 '(0.23)| 0.033133x0.23x0.03 x0.07x 0.27 432 xlO-67. 给定f(x)=cosx 的函数表00.10.20.30.40.50.(51.000000

8、.995000.980070.955340.921060.877580.82534用Newton等距插值公式计算 cos 0.048 及cos 0.566 的近似值并估计误差解：先构造差分表f(X1)勾W)"ECa3z(v7)MOajZCv7)1.00000-0.005000,99500-0.00993-0.014930.000130.98007-0.009800. 00012-0.024730.00025-0,000020.95634-0.009550.00010-0.034230.00036-0,000016 92106- 009206 00009-0,04348000044P.

9、 00876-CLO52240.85234> r cos 0,048, = 0.048,/j = 0 1J = -= 0.48 m . ZB K.丄 亠心计算h，用n=4得Newton前插公式N4(=) = Ji+M + 警垃7 +警侬-1)(£ 一 2) + 学必 一1雄-2)(£ - 3)=1 00000 + 0.4J- 0.00500 - O° °°"3 - 2.2 x1I 2I 624)误差估计由公式(5.17 )得R4 (0.048)|< 等|f(f -l)(z -2)(； -3)(f _4" 1.58

10、45xlO-7甘中 二sin 0 6 = 0.565计算 ' ' 时用 Newton 后插公式x= 0.566, X. = 0.6,£ = - = -0 34(5.18)= 0 S2534-0 34x - 0 05224 +0.66x-°QQS76+1.66x2岂些+ 2&x驳°。小24= 0.84405误差估计由公式(5.19 )得|&(0566)| 冬眷收f +1)0 + 2)(f + 3)(/ + 4)附 < 1.7064 x 10'7这里仍为0.565& 求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解

11、：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处 可先造二使它满足S(o)二0"3(1)=区 i，显然 >>3w = Xa(2-x)，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x -1)2由p(2)=1求出A=，于是/>(x) = ?2-x+l(xl)a = l?(J：-3)3449. 令；一称为第二类 Chebyshev多项式，试求-的表达式，并证明是-1,1 上带权宀 1：=的正交 多项式序列。解.因二L -1 1 i i. .: “z x 1 E 、sin(? + 1) arccos xw 4-1令忑=cos 片(x)sM (x) Jl-牡= f sm(n +1

12、)6 sin( ws +1) 00*=1J'O1aP0f1210. 用最小二乘法求一个形如 一一"的经验公式，使它拟合 下列数据，并计算均方误差Xi192531384419.032,34973.357.8解：本题给出拟合曲线 '，即八丄，故法方程系数4SI-04ZM 4- -*- V-.) = 5= 土才=7277699id爲 y) =Z = 271= 3693215!-0j-0法方程为5ti+5327Z>= 271.45327a +72776996 = 369321 5£解得；-' '',_ ii -ii -M最小二乘拟合曲线

13、为' " - ' ''；均方程为P|E = H£-(術= 0-0150321|< =0.122611. 填空题 满足条件/ -的插值多项式p(x)=().(2) i ：,则 f 1,2,3,4 : =() , f : 123,4,5:=( ).(3) 设为互异节点，1为对应的四次插值基函44拓 rnrf 工#A(°)/工d： + 2”j(©数，则 L =(),=().(4) 设 宀： 是区间0,1 上权函数为 p (x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中/. ' - I ,贝U =( ),-( )答:

14、(1)(2)：- . ' - 1X別(0) = W防+纠= x4 + 2 (3)-二"002 0卩上兀)二xa - + 510第4章 数值积分与数值微分习题4(4)1. 分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分解本题只要根据复合梯形公式（6.11 )及复合 Simpson公式（6.13 ）直接计算即可。对卷寸，取n=8,在分点处计算f（x）的值构造函数表。按式（6.11 ）求出m，按式（6.13 ）求得八m，积分-1。齐2. 用Simpson公式求积分“，并估计误差解：直接用Simpson公式（6.7 ）得I'1 八必 -（1 + 也宀 +訂）=0.63

15、233J0 6由（6.8 ）式估计误差，因 -"，故<3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.（1）£：' / ' | -/：（3） '匸、dim解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式 的参数。（1）令二代入公式两端并使其相等，得A+B + C=n严11 2|&? + C 二 13+c = l14_ 11 2 1解此方程组得 :-'-，于是有J/(x)如存(0) + |熄+ ”4 j 2.1*15再令心"，得I/如比)+6=24故求积公式具有3次代数精确

16、度。(2)令: -'代入公式两端使其相等，il+4)+4=4(*_1 (/?) + Ah = 0 t j4_j +j4l = 0A_-h += |(2A)3 T 儿 + 九二等血Q4i£严4=-?4 = 一心畑=处解出_得f：屜匚訊(一研而对1不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。(3)令"代入公式精确成立，得解得力+0切空-hA+ Eq = 0十丘= |3，得求积公式丄 了(或押 *1/3)+ ”($)对 5 -二'y心瓠莎十玷疔二-紀故求积公式具有2次代数精确度。4. 计算积分J -.'，若用复合Simpson公式要使误差不J_ v I A-

17、5C 1超过二，问区间要分为多少等分？若改用复合梯形公 式达到同样精确度，区间丨一应分为多少等分？ 解：由Simpson公式余项及厂-二二得|W)|M侖(却促詞严g3604«2即-二 取n=6,即区间匸分为12等分可使误差不超过_对梯形公式同样mf S口，由余项公式得vinJ取n=255才更使复合梯形公式误差不超过'5.用Romberg求积算法求积分取解：本题只要对积分Jo八必使用Romberg算法（6.20 ）,计算 到K= 3,结果如下表所示。00 63994010.6452350.63233320.635410O.63213E0.63212230.6329430.632

18、1210.6321200.632120于是积分一 ：''，积分准确值为0.7132726. 用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.st*討必解：本题直接应用三点Gauss公式计算即可。工_丄由于区间为，所以先做变换'二 '于是I« -0.555556 x(l,774597atfa8£®+(l -0.774597)2 - aiU7M) +0-888839tf05= 0.718252本题精确值：-2 = 0.7182818287.用三点Gauss-Chebyshev 求积公式计算积分解：本题直接用Gauss-Chebysh

19、ev求积公式计算即-'|7 / 于是 -,因n=2,即为三点公式，于是-J.-，即 Qi” 一 I： - -2.6304111+48.试确定常数A, B, C及a，使求积公式即恥-4/H) +步(0) Y畑有尽可能高的代数精确度,并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为Gauss型的求积公式？ 解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令对公式精确成立，得到A + B + C=dx=4（1）2-必 + aU 二 f 入必二 0（2）* 2/K + /C 二= 丄23-a3+C=0（4）a由（2） （4 ）得A=C,这两个方程不独立。故可令，得a2A+a*C =山 5（5）

20、“+但宀一 2防兰由（3） （5）解得 ：，代入（1 ）得 '则有求积公式S如利一医5次代数精确度。故它是Gauss型的令 :公式精确成立，故求积公式具有三点求积公式最高代数精确度为 5次，第五章解线性方程组的直接法 习题五1. 用Gauss消去法求解下列方程组.fl1 . * o解本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。再=-154x153 = -177.69x3 =-60（-4 += 476.92西=4（9-黒-爲）二2刀蕊 故2. 用列主元消去法求解方程组 系数矩阵A的行列式detA的值“ +心+也并求出解：先选列主元-，2行与1行交换得-1

21、8-183-1_1亍12-33151116 消元与2行交换1-1-133-1-15-183-1-1507173107173161876186750722660_ 16i3消兀77回代得解 吃-3rx2 2,Xj - 1行列式得7 22 detA= -18-' = -666 73.用 Doolittle分解法求111硏+产+評111o亍可+才兀1十弓也=8+ 勺 + 2 也 8解：由矩阵乘法得A=LU =14325160-36161451315再由一求得 = (9-154/由川-解得x = (-227.03,476 92-177.69/4.下述矩阵能否作Dool

22、ittle分解，若能分解，分解式是否唯一 ？12311a1=126A =2412212515461733161546中A2=0 >若A台匕 冃匕分解步分解11-: 1 ''-"'11'，相互矛盾，故 A不能分解，但"，若A中1行与2行交换，则可分解为 LU对B,显然-.-'，但它仍可分解为_1：111 -B =2 100-1? ©1_o0 42 一2-分解不唯一，'为一任意常数，且 U奇异。C可分解，且唯卩 '1 2 6 _0=2 1136 3 1_1 _5. 用追赶法解三对角方程组 Ax=b,其中解：

23、用解对三角方程组的追赶法公式（3.1.2 ）和（3.1.3 ）计算得123401= _才炖=_亍炖=一才，灿=_弓.3456a. = 2,a2 -= 一卫 ° = 一卫5 - T23 A 55 11111*_,5 2 1 1 1 r亍宁亍亍&八6r 3*2 3 66. 用平方根法解方程组1648-445-4=38-422B10k<2-i0001T2-1000P-12-100b0-12-1000-120 解：用：分解直接算得4£= 1 22-33由"：及-' J"求得7. 设*用，证明亦虬 解: 即卜，另一方面眩7;十卅+尤S段創彳1

24、 =啡I故 “ ' 'I-_卩6 0.5& 设A 。】°计计算A的行范数，列范数及F-范数和2 范数解：. -l,:-ata =0.37 0 33_0.33 0.34（） = 0.68534故制空=J0.68534 = 0.827859. 设工为上任一种范数,是非奇异的，定义啊|H，证明厂円門证明：根据矩阵算子定义和定义，得IM亠I如亠jwn令S 因P非奇异，故x与y为一对一，于是制户七十侶|10. 求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计.；40-179-*240-179 5-3i9ir240 M-319.51240'3'S B34

25、87; 即处7，即（卫+剑）0十&）=心解:记4 二240-319_-179240（54 s-0 5-0.5"0则Ax = b的解"（讨，而（乂 +期）（疋十和亠的解（卄斫（诃故 IK 二 4,|阖L 二 42403194991179240IK = 05JLIK = 056012由（3.12 ）的误差估计得6賦（A汇|<表明估计INL= 4略大，是符合实际的。0.4398811. 是非题（若"是"在末尾（）填+,"不是"填-）:题目中(1)若A对称正定，二则4是厂上的一种向量范数(2)定义(3)定义()kUj = max

26、h/|Er jiff是一种范数矩阵是一种范数矩阵(4)只要畑上疋0，贝y A总可分解为A=LU,其中为单位下三角阵，U为非奇上三角阵（5）只要 ，则总可用列主元消去法求得方程组（6）若A对称正定，则A可分解为話-工'，其中L为对角元（7）对任何二-从都有HL-()（8）若A为正交矩阵，则八-1()答案：(1)( + ) (2) (-) (3) ( + )(4)(-)(5) ( + ) (6) ( + ) (7)(-)(8)(+ )第六章解线性方程组的迭代法习题六1. 证明对于任意的矩阵A,序列收敛于零矩阵解：由于 l-klk-ir而' -：'-lim故2. 方程组+ 2

27、 + 7 = -12 _ 卞+4x2 + 2也=20 2巧-张鸟 + 10jf3 = 3（1）考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性 写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以龙叽（<w）计算到|严"时IL< 1旷为止A= -1解：因为 L24-3210具有严格对角占优，故 J法与GS法均收敛（2）J法得迭代公式是x严=-l（12 + 2xJ 十習）雋刚=*20 +申-羽0 屮冷（3-2#可+却）永=卽, 取- 1 -' "'，迭代到18次有 十二（-3.999996,2.999974,1 99999）7 |Am-?1&）|L &

28、lt;0 4145x10GS迭代法计算公式为护=*（12+2期 + 夢）才扣0 +计1-2彩）対呦=1（3 - N严+ 3x）fk =。丄|xr）-x（3）|t 0.9156x10"*3. 设方程组证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散解：Jacobi迭代为其迭代矩阵00-,谱半径为P月）=Gauss-Seide迭代法为t（m -1”打茨=蠢-知誥严） an其迭代矩阵0&二0alQan1221 %，其谱半径为p(.o) =a12a21alla22由于：-“，故Jacobi迭代法与 Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散4.下列两个

29、方程组Ax=b，若分别用J法及GS法求解，是否收敛？'12-2A- 1112 21解：Jacobi法的迭代矩阵是0B = D4(£ + 27) = - 12-21 =0-21 , detfzl/ 一 £)=0即5八-笛:-，故 - - '，J法收敛、GS法的迭代矩阵为'100-1'o-22-0-22_G= QD-L)U =11000-102一 3221000002-23 = 2)2 = OH】=0,為=為=22-2故： '10b0解此方程组的 GS法不收敛。A =5.设a10a0b吐 detA工0, 用 ,b表示解方程组Ax=f的J法

30、及GS法收敛的充分必要条件解 J法迭代矩阵为10故J法收敛的充要条件是I100To GS法迭0a0a0ioiob0_ b,det(-U B)=b2b10ToToTo0a00aX55B 代矩阵为_10 0 了0 -a 0G 二b 10 000 -b=0 口 5- ”0 0 0 _1iob_!ooab500110a500-b0a10心100 a 2b500bio宁a b/L 150邑)=0100 *1I .I 100'得GS法收敛得充要条件是 =6.用SOR方法解方程组（分别取3 =1.03, 3 =1, 3 =1.1）4 才i -= 1彳一可t 4x2 _乜=4-可 +4z3 = -3L

31、=精确解1 '',要求当“厂时迭代终止，并对每一个3值确定迭代次数解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为严二（1_妙带+专（1 +君）* 屮=（1-+ 扌（4+卅 + 却）聘 =（1 -初罗+ -C-3 + 屮）,七=01u4取："，当-:时，迭代5次达到要求= （0.5000043,1 0000002-0 4999995）7若取宀|，迭代6次得 工)二(0.5000035,0.9999989-0 5000003)r7. 对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速 度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使“ '那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次？解

32、：J法的迭代矩阵为100A-0414,det(2/ - B)=10 -0410故-,因A为对称正定三对角阵，最优松弛因子2= 1.033?/1 +J法收敛速度R(B)= -In XB) = -lnj- = L03972R (0,) =-In p(GJ = 3,4001SI旷門*10"，于是迭代次数由于'】，故若要求',-In 15425七対>尺R-In £15.425 、一*r .、记關*厲=工14.85 e对于 J 法' ' 1'''，取 K= 15t= 15 425 > 7.42对于 GS法-：- &#

33、39;I ，取 K= 8对于SOR法"-，取K= 51 2 0.321 £ 已知方程组则解此方程组的8.填空题di10可要使匕理"应满足()Jacobi迭代法是否收敛().它的渐近收敛速度 R(B)=().设方程组Ax=b,其中'21114其j法的迭代矩阵是().GS法的迭代矩阵是()Xi + ax2 4''；:其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足()1给定方程组AJ,a为实数.当a满足(),且0vsv2时SOF迭代法收敛(1) IJ 法是收敛的，R(.y =(r X5) = - In 0 S = 0.223)B =1。 22G =0丄

34、:2(3)J法迭代矩阵是53 °_,GS法迭代矩阵oL3満足':满足1第七章非线性方程求根习题七1.2.用二分法求方程厂|的正根，使误差小于0.05解 使用二分法先要确定有根区间本题f(x)=x2-x-仁0, 因 f(1)=-1,f(2)=1, 故区间1,2为有根 区间。另一根在-1,0内，故正根在1,2内。用二分法 计算各次迭代值如表。N鬲F(鬲)符号0121.511.521.75+21.51.751.625+31.51.15251.562541,56251 6251.5P375-* -十其误差 f “ 12.求方程 -在'- =1.5附近的一个根，将 方程改 写成

35、下列等价形式，并建立相应迭代公式y = 1 +Xjfc+l =1 T(1) '，迭代公式一 '.1(2) ',迭代公式- 1 1 1IK? = i(3) 1，迭代公式I试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方 法求具有4位有效数字的近似根1 2加 / 八 怖 e、-i 1 3T1= 1 + r（x）e1.3Tl 6评心）二-解：（1 ）取区间'且，2在-且八.".,在一中二；，贝y l<i ,满足收敛定理条件，故迭代收敛。（2）w（对二劭=，在1.3,1 q 中 ®G）e131.6，且帆亠尹心，在中旬中有|）| < 0.

36、46 =Z<1，故迭代收敛。（3）厂- 在一附近 "-，故迭代法发散。在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取；贝U可=1481248,1, = 1.472706； x3 = 1.468817,=1.467048Xj = 1.466243, = 1.465877, x7 = 1.465710, xe = 1 465634吃=1.465599rxia = 1.4655S3n = 1.465577Ia =1465574x13 =1 465572fx14 = 1 4655723. 设方程m上"广的迭代法2=4 + -cos（1）证明对,均有',其中宀为方程的根.（2）取=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过,并列出各次迭代值.（3）此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论解：（1） 迭代函数'.，对有(2)取'，则有各次迭代值x1 = 3.5642,也=3.3920t 也=3.3541,斥=3 3483