第二章 极限与连续

1、第二章 极限与连续第一节 数列的极限数列的极限第二节 函数的极限函数的极限第三节 极限运算法则、两个重要极限极限运算法则、两个重要极限第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大第五节第五节 函数的连续性函数的连续性第六节第六节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第一节 数列的极限数列的极限一、数列极限的概念一、数列极限的概念二、数列极限的几何意义数列极限的性二、数列极限的几何意义数列极限的性质质三、小结三、小结R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS一、数列极限的概念定义定义:按自然数按自然数, 3 ,

2、2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx 称为无穷数列称为无穷数列,简称数列简称数列, 记为记为nx.其中的每其中的每个数称为数列的项个数称为数列的项,nx称为通项称为通项(一般项一般项). 例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,)21( ,81,41,21n 2n)21(n ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.1x2x3x4xnx2.数列可看作自变量为正整数数列可看作自变量为正整数n的函数的函数 Nnnfxn),(;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,222,22

3、,2 .)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn问题问题:当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题:如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划“无限接近无限接近” ？ 1nxnnn11)1(1 ,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011

4、nx有有, 0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx定义定义 设设 nx 为一数列为一数列，如果存在常数如果存在常数a，对于对于任意给定的正数任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数N, ,使得使得当当Nn 时时, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那那么么就称常数就称常数 a是数列是数列 nx 的极限的极限, ,或者称数列或者称数列 nx 收敛收敛于于 a, ,记为记为 ,limaxnn 或或).( naxn 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：;. 1的的无无限限接接近近与与刻刻划划了了

5、不不等等式式axaxnn .2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 Nx1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义定义N 其中其中;:每一个或任给的每一个或任给的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn证明证明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任给任给,1 nx要要,1 n

6、只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：例例2.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,成成立立 ,0 任给任给所以所以,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证, 0 任给任给,0 nnqx,lnln

7、qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn 1、唯一性、唯一性定理定理1 1 如果数列收敛，则数列的极限只有一个如果数列收敛，则数列的极限只有一个. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使得使得正整数正整数., 021NN;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时恒有时恒有当当 ,max21NNN 取取时有时有则当则当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时时才才能能成成立立上上式式仅仅当当ba ,故收敛数列极限唯一故收敛数列极

8、限唯一.二、数列极限的性质二、数列极限的性质2、有界性有界性定定义义: 对对数数列列nx, 若若存存在在正正数数M, 使使得得一一切切自自然然数数n, 恒恒有有Mxn 成成立立, 则则称称数数列列nx有有界界, 否否则则, 称称为为无无界界. 例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数列数列数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上.有界有界无界无界定理定理2 2 如果数列收敛，则数列一定有界如果数列收敛，则数列一定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则. 11 axan即

9、有即有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .注意：有界数列也可能发散注意：有界数列也可能发散.)1(1是有界数列，且发散是有界数列，且发散例如数列例如数列 nnx3.收敛数列的保号性那那么么）（或或且且如如果果定定理理,00,limaaaxnx30, 0nxNnN时时，都都有有当当存存在在正正整整数数).0nx（或或0222, 0,20 aaaxaaxNnNaann从从而而时时，有有当当正正整整数数知知对对的的定定义

10、义，为为例例证证明明。由由数数列列极极限限以以证证).0(0,lim),0(0aaaxxxxnnnnn或或那那么么且且或或从从某某项项起起有有如如果果数数列列推推论论. 003, 0,max. 0, 0, 0lim. 0212211axxNnNNNxNnNaxxNnNxnnnnnnn，引引起起矛矛盾盾。所所以以必必有有，有有而而由由定定理理时时，由由假假定定有有当当取取时时，有有当当正正整整数数知知，则则由由定定理理现现用用反反证证法法证证明明。若若时时有有项项起起，即即从从第第设设数数列列证证34、子数列的收敛性、子数列的收敛性 的的子子数数列列（或或子子列列）的的一一个个数数列列称称为为原

11、原数数列列到到中中的的先先后后次次序序，这这样样得得这这些些项项在在原原数数列列保保持持中中任任意意抽抽取取无无限限多多项项并并定定义义：在在数数列列nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx . knnxxkxxkknnnnkkk项，显然，项，显然，中却是第中却是第在原数列在原数列而而项，项，是第是第中，一般项中，一般项在子数列在子数列注意：注意：例如，例如，定理定理4 4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同相同证证 的任一子数列的任一子数列是数列是数列设数列设数列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒有恒有时时使使,NK 取取,

12、时时则当则当Kk .NnnnNKk. axkn.limaxknk 证证毕毕三、小结三、小结数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限: :极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质: :唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.表表示示的的）的的过过程程是是用用时时，当当NnnaxNnNaxnnn(, 0, 0lim)(nfxxnnanfNnNanfaxnnn)(, 0, 0)(lim,lim时时，当当即即第二节 函数的极限函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限

13、三、函数极限的性质四、极限存在准则一、自变量趋向有限值时函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .0)()(0000表表示示的的过过程程，可可用用即即满满足足上上式式即即可可对对应应的的的的只只要要求求充充分分接接近近的的过过程程中中实实现现的的，是是在在无无限限接接近近于于xxxxxfxxxxAxfx0 x 0 x 0 x ,0邻邻域域的的去去心心点点 x.0程程度度接接近近体体现现xx 定定义义 2 2 如如果果对

14、对于于任任意意给给定定的的正正数数 ( (不不论论它它多多 么么小小) ), ,总总存存在在正正数数 , ,使使得得对对于于适适合合不不等等式式 00 xx的的一一切切 x, ,对对应应的的函函数数值值)(xf都都 满满足足不不等等式式 Axf)(, ,那那末末常常数数 A就就叫叫函函数数)(xf当当0 xx 时时的的极极限限, ,记记作作 )()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或 定义定义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当1、定义：、定义：2、几何解释、几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中

15、心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 例例1).( ,lim0为常数为常数证明证明CCCxx 证证Axf )(CC ,成立成立 , 0 任给任给0 .lim0CCxx , 0 任取任取,00时时当当 xx例例2.lim00 xxxx 证明证明证证,)(0 xxAxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 例例3. 211lim21 xx

16、x证明证明证证211)(2 xxAxf, 0 对对于于, 只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x= -1处没有定义处没有定义.1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx3.单侧极限单侧极限:例如例如,. 1)(lim,0, 10,)(02 xfxxxxexfxx证明证明设设两种情况分别讨论。两种情况分别讨论。和和需要分需要分00 xx,0 xx从从左左侧侧无无限限趋趋近近; 00 xx记作记作,0 xx从从右右侧侧无无限限趋趋近近; 00 xx记作记作左极限左极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(, 0,

17、 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当000:000 xxxxxxxxx注意注意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 0000limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例4证证1)1(lim0 xxxxxxx0000limlim 11lim00 x.1)(时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxxf二、自变量趋向无穷大时函数

18、的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的过程的过程表示表示 xXx. 01)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxfx 问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.定定义义 1 1 设设函函数数)(xf当当| x大大于于某某一一正正数数时时有有定定义义。如如果果存存在在常常数数A A, ,对对于于任任意意给给定定的的正正数数 ( (不不论论它它多多么么小小) ), ,总总存存

19、在在着着正正数数X, ,使使得得当当x满满足足不不等等式式Xx 时时，, ,所所对对应应的的函函数数值值)(xf都都满满足足不不等等式式 Axf)(, ,那那么么常常数数A就就叫叫做做函函数数)(xf当当 x时时的的极极限限, ,记记作作 )()()(lim xAxfAxfx当当或或 定定义义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim1、定义：、定义：:.10情形情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx )(lim2、另两种情形、另两种情形: A

20、xfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3、几何解释、几何解释: X X.2,)(,的的带带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线直直线线图图形形完完全全落落在在以以函函数数时时或或当当 AyxfyXxXxA例例5. 01lim xx证明证明证证xx101 x1 X1 , 0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,01 x. 01lim xx故故.)(,)(lim:的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfycycxfx 三、函数极限的性质三、函数极限的性质定 理定 理 2 2 （ 函 数 极 限 的 局 部

21、 有 界 性 ）（ 函 数 极 限 的 局 部 有 界 性 ） 若若.| )(|0, 00)(lim00MxfxxMAxfxx 时时，有有使使得得当当和和，那那么么存存在在常常数数 定理定理 1（函数极限的唯一性）（函数极限的唯一性） 若若)(lim0 xfxx存在存在,则则极限唯一极限唯一. 即可证得。即可证得。，证明思路：取证明思路：取, 1|1 AM).0)(0)(,|0, 0),0(0,)(lim00 xfxfxxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若定理定理3 3 ( (函数极限的保号性函数极限的保号性) ).0(0,)(lim),0)(0)(00 AAAxfxfxfxxx或或则

22、则且且或或的的某某一一去去心心邻邻域域内内若若在在推论推论)(lim)(lim)(),(,)()(lim0000 xfxfxfNnxxxxfxxfxxnnnnnxx 必必收收敛敛，且且么么相相应应的的函函数数值值数数列列那那且且满满足足：的的数数列列一一收收敛敛于于的的定定义义域域内内任任为为函函数数存存在在，如如果果定理定理4(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)证证.)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当则则Axfxx )(lim0设设.0, 0, 00 xxNnNn恒有恒有时时使当使当对上述对上述,)( Axfn从而有从而有.)(limAxfnn 故故,li

23、m00 xxxxnnn 且且又又例例6.1sinlim0不存在不存在证明证明xx证证 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 四、极限存在准则四、极限存在准则准则准则 如果数列如果数列nnyx ,及及 nz满足下列条件满足下列条件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那么么数列数列 nx 的极

24、限存在的极限存在, , 且且axnn lim. . 证证,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN,1 ayNnn有有时时当当时，时，则当则当取取NnNNN ,max21有有时时当当,Nn , ayan,2 azNnn有有时时当当, azan上面两个不等式同时成立上面两个不等式同时成立,即即, azxyannn, axn即即.limaxnn 上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限。上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限。准则准则 如果如果 ,)(lim,)(lim)2(),()()()|)(,()1()(0)(00AxhAxgxhxfxgMxrxUxxxxxxxo 时，时，或或当当

25、 那么那么)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意: :.)()(),()(的的极极限限容容易易求求出出与与或或与与并并且且与与或或与与键键是是构构造造出出利利用用夹夹逼逼准准则则求求极极限限关关xhxgzyxhxgzynnnn准则准则 I和和准则准则 I称为称为夹逼准则夹逼准则.例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼准则得由夹逼准则得. 1)12111(lim222 nnnnnx1x2x3x1 nxnx2.

26、单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.几何解释几何解释:AM例例2 2.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去

27、).2131lim nnx思考题思考题试问函数试问函数 0,50,100,sin)(2xxxxxxxf在在0 x处的左、右极限处的左、右极限是否存在？当是否存在？当0 x时，时，)(xf的极限是否存在？的极限是否存在？ 思考题解答思考题解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在, )(lim0 xfx, 0sinlim0 xxx右极限存在右极限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.第三节 极限运算法则、两个重要极限运算法则、两个重要极限极限一、极限运算法则一、极限运算法则二、例题二、例题三、两个重要极限三、两个重要极

28、限1 1、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质: :定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍有限个无穷小的代数和仍是无穷小是无穷小.证证,时时的的两两个个无无穷穷小小是是当当及及设设 x使使得得, 0, 0, 021 NN;21 时恒有时恒有当当Nx;22 时恒有时恒有当当Nx,max21NNN 取取恒有恒有时时当当,Nx 22 , )(0 x一、极限运算法则一、极限运算法则注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是是无无穷穷小小，时时例例如如nn1, .11不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个但但nn定理定理2 有界函数与无穷小的乘

29、积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证内有界，内有界，在在设函数设函数),(100 xUu.0, 0, 0101MuxxM 恒有恒有时时使得当使得当则则,0时的无穷小时的无穷小是当是当又设又设xx .0, 0, 0202Mxx 恒有恒有时时使得当使得当推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.,min21 取取恒有恒有时时则当则当,00 xx uuMM , .,0为无穷小为无穷小时时当当

30、 uxxxxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例如例如都是无穷小都是无穷小推论推论3可推广到任意个无穷小的乘积的情形。可推广到任意个无穷小的乘积的情形。定理定理3. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设证证.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其中其中BxgAxf由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得2.极限的四则运算极限的四则运算)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA.

31、0.)2(成立成立BAxgxf )()(BABA )( BBAB. 0 AB, 0, 0 B又又, 0 ,00时时当当 xx,2B BBBB21 B21 推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 2,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立.)(lim)(lim,)(),(, 0)(lim)(lim)()()()(40000000000Aufx

32、gfuxgxUxAufuxgxxgfxguufyxgfyuuxxuuxx 则则时，有时，有当当且存在且存在，去心邻域内有定义，若去心邻域内有定义，若的某个的某个在在复合而成，复合而成，与与是由是由法则）设函数法则）设函数（复合函数的极限运算（复合函数的极限运算定理定理)(lim0 xgfxx)(lim0ufuu)(xgu 令令)(lim00 xguxx 意义：意义：3.3.复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则二、例题二、例题例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx5

33、2322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小结小结: :则有则有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则有则有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf .,0)(0则则商商的的法法则则不不能能应应用用若若 xQ解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)

34、14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后后再再求求极极限限因因子子先先约约去去不不为为零零的的无无穷穷小小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的

35、极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法)小结小结: :为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.例例5 5).21(lim222nnnnn 求求

36、解解是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.例例6 6).(lim,0, 10,)(02xfxxxxexfxx 求求设设解解两两个个单单侧侧极极限限为为是是函函数数的的分分段段点点 ,0 x)(lim)(lim00 xexfxxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故例例7 7.lim333axaxax 求求解解axaxaxax 3233)()(lim原式原式

37、3233232)(limaaxxaxax 0 323203limauuaxu 令令思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf )(xf有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知： )()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误AC三、两个重要极限三、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO圆心角圆心角（如右

38、图）（如右图）作单位圆作单位圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 (2)exxx )11(l

39、imnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是是单单调调递递增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n12132112111 nn, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e类似地类似地,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 x

40、xxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(limtttttttt)1(lim)1(lim 例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(l

41、im2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大一、无穷小一、无穷小二、无穷小的比较与等价无穷小二、无穷小的比较与等价无穷小三、无穷大三、无穷大四、无穷小与无穷大的关系四、无穷小与无穷大的关系一、无穷小定定义义 1 1 如如果果函函数数)(xf当当0 xx ( (或或 x) )时时的的极极限限为为零零，那那么么 称称函函数数)(xf为为当当0 xx ( (或或 x) )时时的的无无穷穷小小。 例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是

42、当函数函数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意（1）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数.证证 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小.)(, 0lim)(,)(0, 0, 0,)(lim.000 AxfAxfAxfxxAxfxxxx且且则则令令时时，有有使使当当则则设设必必要要性性.)(lim,)(0, 0, 0, 0lim)(, 0lim)(.0000AxfAxfx

43、xAxfAAxfxxxxxx 故故时时，有有使使当当所所以以，因因为为于于是是是是常常数数，其其中中设设充充分分性性二、无穷小的比较二、无穷小的比较等价无穷小等价无穷小例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 由上面结果可看出，同时无穷小由上面结果可看出，同时无穷小, 但是趋但是趋向于零的向于零的“快慢快慢”程度却有不同程度却有不同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在；记作记作高阶的无穷小高阶的无

44、穷小是比是比，就说，就说如果如果)(,0lim)1( o定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;, 0lim)3(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 C低阶的无穷小低阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果 lim)(., 0, 0lim)4(无穷小无穷小阶的阶的的的是是就说就说如果如果kkCk ，03lim20 xxx，1sinlim0 xxx;302高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比时时，当当xxx ).0()3(2 xxox即即是等价无穷小是等价无穷小与与时，时，当当xxxsin0).0(sinxxx即即例如，例如，;, 1lim)5(

45、 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与就说就说如果如果例例1 1.sintan,0:的的三三阶阶无无穷穷小小为为时时当当证证明明xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx ).(1 o为为必要条件必要条件是等价无穷小的的充分是等价无穷小的的充分与与定理定理证证必要性必要性，设设 1limlim ，0 ，即，即因此因此)()( oo充分性充分性设设)( o )(limlimo）（ )(limo，1 因此因此 例例2

46、因为因为),(sinxoxx ).(21cos122xoxx ,0时时当当 x常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x)0(1)1(,21cos1, 1)1ln(arctanarcsintansin2 aaxxxxexxxxxxxax,tan,sinxxxx时有时有当当0.21cos1,arcsin2 xxxxx),(tanxoxx ),(arcsinxoxx 例例3 3解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx .1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有时时则当则当uuu10)1ln(1lim uuu10)1ln(lim1 eln1 .

47、 1 . 1),1ln(0 xexxxx时，时，即，当即，当定理定理( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理) ).limlim,lim, 则则存存在在且且设设证证 lim)lim( limlimlim.lim 例例4 4.2cos13sinlim20 xxx 求求解解.)2(212cos1 ,33sin,02xxxxx 时时当当29)2(21)3(lim220 xxx原式原式例例5 5.2cos2sin1cossin1lim0 xxxxx 求求解解21010121sincos2sin22coslim21)sin(cos)2sin22(cos2lim)sin(cossin2)2sin22(c

48、os2sin2limsin2cossin22sin22cos2sin2lim000220 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx原式原式注意：只有极限式中的因子才可再求极限时作等注意：只有极限式中的因子才可再求极限时作等价无穷小代换价无穷小代换三、无穷大三、无穷大定定义义 2 2 设设函函数数)(xf在在0 x某某一一去去心心邻邻域域内内有有定定义义（或或 x大大于于某某一一正正数数时时有有定定义义） 如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数M( (不不论论它它多多么么大大) ), ,总总存存在在正正数数 ( (或或正正数数X) ), ,使使得得对对于于适适合合不不等等式式

49、00 xx( (或或 xX) )的的一一切切x, ,对对应应的的函函数数值值)(xf总总满满足足不不等等式式 Mxf )(, ,则则称称函函数数)(xf当当0 xx ( (或或 x) )时时为为无无穷穷大大, ,记记作作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或 特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim20认为极

50、限存在认为极限存在）切勿将）切勿将（ xfxx.,1sin1,0,但但不不是是无无穷穷大大是是一一个个无无界界变变量量时时当当例例如如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk取取,22)( kxyk.)(,Mxykk 充分大时充分大时当当), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( kkxk取取, kxk 充分大时充分大时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大无界，无界，.11lim1 xx证明证明例例证证. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只要只要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(li

51、m:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 11 xy四、无穷小与无穷大的关系定理定理2 2 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中, ,无穷大的倒无穷大的倒数为无穷小数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证.)(lim0 xfxx设设,1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有时时使使得得当当.)(1 xf即即.)(1,0为无穷小为无穷小时时当当xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反之反之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有时时使得当使得当.)

52、(1Mxf 从而从而.)(1,0为无穷大为无穷大时时当当xfxx , 0)( xf由于由于意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可转化为关于无穷小都可转化为关于无穷小的讨论的讨论.第五节 函数的连续性函数的连续性一、函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点及类型二、函数的间断点及类型三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性一、函数的连续性一、函数的连续性.),(,),()(00000 xxxxxUxxUxxfy 的的增增量量，记记作作为为自自变变量量在在点点称称定定义义内内有有的的某某一一邻邻域域在在假假设设函函数数).()(000 xfxxfyyyxxx ，则则对对应应的的增增量

53、量记记为为时时，有有增增量量在在当当自自变变量量xx 00 xxy0)(xfy x y ,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是连连续续。在在点点那那么么就就称称函函数数如如果果的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义，在在设设函函数数定定义义000000)(0)()(limlim)(1xxfyxfxxfyxxfyxx :定义定义 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当连连续续。在在点点那那么么就就称称函函数数有有定定义义，如如果果的的某某一一邻邻域域内内在在点点设设函函数数定定义义0000)()()(lim)(

54、2xxfyxfxfxxfyxx 例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx .)(),()(lim000处左连续处左连续在点在点则称则称如果如果xxfxfxfxx 定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()(lim000处右连续处右连续在点在点则称则称如果如果xxfxfxfxx 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续

55、的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,.),(内是连续的内是连续的有理函数在区间有理函数在区间例例2 2.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx ,

56、1)2cos( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对任意的对任意的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy例例3 3.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf二、函数的间断点及类型二、函数的间断点及类型:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个

57、在点在点函数函数xxf;)()1(0处处有有定定义义在在点点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或间间断断点点的的不不连连续续点点为为并并称称点点或或间间断断处处不不连连续续在在点点就就称称函函数数一一个个不不满满足足上上述述三三个个条条件件中中只只要要有有xfxxxf.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 可去间断点可去间断点例例4 4.1, 1,11, 10,

58、1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)1(lim)(lim, 22lim)(lim1111 xxfxxfxxxx2)(lim1 xfx),1(f .0为为函函数数的的可可去去间间断断点点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.在此例中在此例中, 2)1( f令令 , 1,1, 10,2)(xxxxxf则则.1处的连续处的连续在在 x.)(),()(,)(0000跳跃间断点跳跃间断点的的为函数为函数则称点则称点但

59、但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 跳跃间断点跳跃间断点例例5 5.0,0,10,210,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxf解解, 0)0( f, 1)0( f),0()0( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf第二类间断点第二类间断点例例6 6.0, 0, 0,1)(处的连续

60、性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间例例7 7.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处处也也连连续续在在点点则则处处连连续续在在点点设设函函