下t分布f分布

1、第七章第三节(下)t分布和F分布三、t分布定理 设 X? N(0,1) , Y? 2(n), 且x与Y相互独立，则随机变量的概率密度为k 2t2f(t)= -2V(一) ； l ,n、n7 m(二)-A < t< ,(7.5)称T服从自由度为n的t分布，记 作Tt(n).证X的概率密度是1 Mx)9 eY的概率密度fv(y)由式(7.3)给出，X,Y的联合概率密度是u2e 2 fY(v),于是,XP(X) = u2P1 -.e 2 fY(v)dudvu = t s作变量替换：,x 2它的雅可比行列式是nVP( Y/nIdsdt2z2e(1t )zdzcu ccs ct eV cs

2、ct2js1 0Js(1s2 e 22)dsdtV 2, 2*(n)j2(1 t2)s（一）dt于是由于)z-(1 tXP Y/nxduT所以上式两边对x求导，即得式(7.5) ?(fn(X1一 Cn(1-t占所(1 伽；门t2C ()2dt,_O 1 Qdt6 / 16=m CnlimTim ce-dt4二 lim G 2 n .n ?lm o = 2,Im fn(t)Tm (1 »2n -12图7-2给出了当n=1,4,10时 的t(n) 分布的密度函数曲线，它的图形关于t=0 对称，且当n, 时，有t2lim fn 二故当n很大时,t分布近似于N(0,1).然而 对于比较小的n

3、的值,t分布与 正态分布 之间有较大的差异？ xF(xp P x 厂 f(t)dt,F (xp f(x) 0 ,F(x)严格单增,F (:，:厂(0,1)是对应，对给定：？： 一1,存在唯一 t (n),使得F(t,(n)，即对于给定的:：0A 1,可查t分布表 (见附录三)求出t (n),满足t曲)F(t p pT 空 t (n)二 f (t)dt 二：,的点ta(n)称为t分布的(下侧)a分位 占 八、t分布的分位点的性质：由f的对称性，即f(t)是偶函数，可得1F(x)+ F(x)= 1, F(0)二; t|n n),PT 也(n) M -,PT t,_： (n)(2)数t (n),满足

4、IPK n)"贝U P|T|J ,(n) =1-:； _2P|T| t,(n)，称北n)为双侧：分位点？当n>45时,t分布表中没有列出，此时 可查标准正态分布表，得乙，且有ta(n) Zc ?例5设Xi, X2, |l|,X32为来自于正态总体NC,42)的样本，令16(X- 1 )Y",吒7区-“)2求Y的分布.解由题设条件，得16'(Xjj )? N(0,16 4 2),i =1161 16、(Xjj )=16 ' (Xjj )=16U3232iW(Xi - l)-N(0,1)x (Xjj W7其中X -P)2_16；.)2_16V76 ji一其

5、中Y八( j_L 7显然U与V相互独立，由t分布的定义知,16(X 一)16U Ui _Lj7于是Y服从自由度16的t分布.定理四设X1,X2r ,Xn相互独立，且都服从N(*2),则有X ? NC / 2/n), x - 1 U? N (0,1)(3证因为所以V =CT? 2(n- 1)显然于是2一哼 S2 V (n -1) 1),U与V相互独立，s、n定理a一U U(nAv ? t(n _ 1).(n-1)Yi,、设 X X2,，Xm 和, 2? Yn分别是从正态总体)和N N(J J2广2)中所抽取的独立样本，则(X-Y)-c)T 一(A 1)Sf (n-1)s；mn(m n - 2)m

6、 n? t(m n -证因为2)，7)(7?2X? NC)2CT? N( J,)2(m-1)，所以X - Y? N( J，m tjn)于是，(XT V)? n(0,1) 1 1<T I + 一m n(m- 1) S22 CT(n%2(n1)由定理三知v = 2s：GTE?(m n - 2)且它们相互独立.由定理二可知又由定理三知U,V独立, 于是按t分布的定义得(X - ( ) - l2)寸(m-1)S2(n T)S ；|mn(m n- 2)UN / (m n - 2)? t(m n - 2)例6设总体X? N （?严2）,Y N （ S广2） , *与丫相互独立,X X ? X; 12

7、nYi, 丫2,，Ym分别是来自*和丫的样本，X , 丫分别是两个样本的样n本均值,Si2 八（X 厂 X） 2/（n_1）,i7试求下面统计量的分布：T = E A/nRl/m 记住结论 由正态总体样本函数的分布知，2 2X ? N （ 1, ： /n） ,丫 ? NC 2 广 /m）,因而2 2X - j-（J-）7 1/n 1/m? NX - Y ? NCi - v /n二/m）,经标准化得到21)3 ? 2(n-1)又由定理三知再由t分布定义知2(n - 1)S i t(n.)一 .马/(n-1)<1/n1/mt(nX-Y-("1-" 2)1)S 八 1 /

8、n 1/m四、F分布定理设X -2(nJ, 丫 ? 2(n2),且X与丫相互独立，则随机变量X/RY/nR| n2"2m 山)/ 2 n n f (U) = -2(2) ("J的概率密度为n n口(比)(nu>(1n2 n20,我们称F服从自由度为g,n2)的F 分布，记作 F F(n1, n2).证明略f(u)的图形入图7-3所示.对于给定的：0A1,查F分布表(见附录五)可得分位点F: 5,n2),使F : .( m,%)PF 辽 F: (mm) = f (u)du ,且不难验证下式成立：利用上式，可以求出F分布表中没有列出的其他数值？例7设X, X，X.为正态总

9、体N(1, )的样本，若 18 12 2 2(X- 1) (X- 1) H 0.95 , j 43V已知 Fo,5(12,6)= 4, 即 PF(12,6 厂 4=0.95 , 求常数a的值.12j = 1318(Xj T)2-1)12P 718(X(Xi-1)118Xj -2 (X- 1)j T3、2 2a)2因为所以有 1 = 4,即 a = 1 二 0.125 2a 82定理设总体X? N(n ),XX2, ,Xn为来自于总体X的 样本;总体 Y? N CJ； ), Y 1,丫 2, ,Ym 为 来自于总体Y的样本，x与丫独立.X =_L、Xi, s；=_L、X -X)X ? N(0,1

10、) , Y (n),且 X 与 YF (n - 1, m - 1), n i 土 n -1 i-i m1 m=J, 荷 l( Y厂Y )2,则(1) m Y-»二(一 1 2)2 ? 2(n m)；j吕C 2-2(m -1)Si -2(m -1)(n-1)s22 S1(m -1)2 22 S； ? (n m -2)(2)吁 s2? S)(4)X例8设百相互独立，求T2的分布.解 因为X? N(0,1)，所以X2T2(1),由题设知Y? 2(n),由X与丫相互X/ IT2=-F(1,nI独立，得到x2与丫相互独立，例9设XX2, ,Xn为来自总体 故X? N (叮的样本，试确定常数使服从F分布？解因为X ? NC r 2 /n),所以X)2-八n 2(1)2(n1)(nl)S2? N(0,1), 且与口 S2相互独立，/ n 由于(X)C 2 C .S(n m)i =m 11n (匚，2(n-1)所以当c2例10设Xl,X2>,Xn是来自正态总体N(0,1)的样本,V m : n ,试 确定常数c,m(、Xi)2使Y 乂寻r服从F分布.Z Xj2解因XX2人Xm1八|互独立同服从N(0,1),mXi服从正态分布N (0, m),i Tm'Xi ? N(0,