非线性光子晶格在维度跨越时的横向局域(翻译)

1、物理评论 A 84, 043811 (2011)非线性光子晶格在维度跨越时的横向局域Dragana M. Jovi´c,1,2 Milivoj R. Beli´c,3 and Cornelia Denz21Institute of Physics, University of Belgrade, P.O.Box 68, 11001 Belgrade, Serbia2Institut f¨ur Angewandte Physik and Center for Nonlinear Science (CeNoS), Westf¨alische Wilhelms

2、-Universit¨at M¨unster,D-48149 M¨unster, Germany3Texas A&M University at Qatar, P.O. Box 23874, Doha, Qatar(Received 29 August 2011; published 5 October 2011)摘要：在数值研究中，我们证实了光的安德森局域化存在维度跨越。我们认为从二维（2D）到一维（1D）跨越的晶格中，光被诱导的现象在线性和非线性介质中都出现。非线性的影响和安德森局域化的障碍在这个系统中将做讨论一些细节。我们发现，二维中的线性局域化要比

3、一维中明显。我们还发现在中间跨越的情况中，局域化明显低于单纯是一维和二维下的线性介质，而在非线性介质下则取决于其强度。非线性情况下，一维的局域化比二维状态下明显要强，但在线性介质中却恰好相反。我们发现，在不同的局域化长度下维度跨越的特点是不同的，同时是沿着横向改变的。1、 介绍 近年来，人们对于安德森局域化无序系统的研究已经越来越感兴趣。【1,2】不管是物理学家还是数学家在理论上和实验上对于安德森局域化都做出了巨大的贡献，并且对其贡献从发现至今已愈50多年。【3】起初研究安德森局域化是用于固态【1】电子与单粒子，不过不久它就被用于很多物理领域像声学【4】、爱因斯坦凝聚体【5】和光学【6,7】。

4、这种普遍的波现象是近期随机离散光子晶格结构的调查中心。安德森局域化在实验上被认为是晶格从二维（2D）【8】向一维（1D）【9】横向跨越的可能。人们重新点燃对于维度跨越这个物理系统的研究，比如晶格持续不断地从一维向二维转换【10】。相似的问题在调查无序电介质中也曾出现【11,12】。在这个系统中自热而然会出现这样一个问题：这个系统是什么时候怎样从一维向二维跨越的？这就像用数学的类比方法描述电子在演变和光子波包，许多相关的现象在光学领域也能被更好的发现。在本文中我们将分析晶格在光的安德森局域化尤其是晶格从一维到二维的横向跨越的影响，其中也包括晶格结构从二维向一维不断改变的定位。对于一个系统的定量研

5、究同时依赖于安德森领域中无序和非线性的能量，这是存在的。这里我们考虑Kerry-type立体非线性的情况。当处于线性区域时二维的安德森局域化现象要比一维明显，而在非线性区域中则恰好相反。我们研究了处于非线性区域的局域化现象，同时与聚焦及非聚焦的非线性区域相比较。发现确实存在非线性聚焦区域中的局域化现象在一维中要比二维更明显。然而，在非聚焦区域，线性区域要比非线性区域更明显。从二维到一维的安德森局域化逐步转换行为中，我们通过研究大量的数据调查发现：这与参与的粒子比率、有效宽度和局域化的长度相反。我们观察了两个不同长度的局域化，发现系统在维度跨越时伴随着两个不同的横向方向。在线性区域下中间状态的局

6、域化明显低于单单是一维或二维的情况。但是，在非线性区域中局域化却取决于非线性的强度。本文按照以下方式呈现。在第二部分我们介绍一个模型，它描述了光在非线性介质中的传播，同时伴随着感应晶格的可能。第三部分总结了在线性区域中的结果，同时第四部分我们将在聚焦考虑局域化的前提下讨论比较线性区域与非线性区域的区别。第五部分研究系统中的横向区域。最后第六部分总结全文。 图一：有颜色部分表示从二维到一维维度跨越中的两种中间能级 图二：有颜色部分表示一维和二维原子晶格中的安德森局域化现象。该局域模是线性情况下的。晶体物理参数：晶体长度：，输入晶格强度：，晶格周期，束流强度：，束流2、 理论模型与系统的几何图形表

7、示我们发现光在感应光子晶格并沿z轴描述光束的传播，为解复杂的电场振幅E，使用有效非线性Schr¨odinger方程： （1）式中是横向的拉普拉斯算符，是无量纲非线性强度，是横向的晶格电势。此处，该情况被看做一系列电压峰峰值为的高斯光束。做无量纲换算：，其中是指半极大处全宽度的光束腰，是衍射长度。通过利用先前已成熟的数值方法这个传播方程在数值上得到了解决。为了研究安德森局域化效应，我们运用随机晶格强化度与随机晶格周期使之实现无序化。随机晶格强化度的数值范围是，其中r是在区间0,1中选出的随机数，N决定了无序化程度。随机晶格周期的数值范围是d±0.5d,d是指晶格周期。首先，我

8、们在一维无序光晶格里研究局域化效应，并将之与二维无序光晶格里的局域化效应做比较以观察不同之处。我们先从二维方形光晶格开始着手，在横向方向加大晶格周期，而使另一方向上的晶格周期保持不变（数值1）。在此步骤下，当一维里的数组因相差较大而无法相互作用时，但一段时间后，它能有效地作用于一维晶格。若一维数组之间的差距不大，这时我们就可以分析出从一维到二维系统的交叉点以及中间情形下的局域效应。从二维到一维晶格的渐次转变，我们可以研究安德森光局域化下的维度交叉。3、 线性中的局域化我们从一维和二维晶格里的线性介质的影响开始研究。线性区域意味着非线性特征的消失（）。为了观察安德森局域化的影响，我们增加了无序的

9、程度。典型的结果被统计在图2上。我们用描述安德森局域化的标准化方法来分析数据：逆参与比，有效的波束宽度。为了比较一维和二维下的安德森局域化，我们用不同无序程度下晶格输出的有效波束宽度衡量。很多障碍的克服需要这样来衡量数据。在我们处理数据的过程中，不同障碍的数据处理都从仿真随机数中开始。我们采用100种方式来实现每个障碍的处理。图3和图4中不同的误差来源于不同的运行方式。图3呈现了线性中一维和二维局域化的比较。平均有效宽度规范化了相应功能障碍的输入值。一维和二维的情况下有效地波束宽度都减少了障碍的水平，但在二维情况下降低的程度明显低于一维情况下的晶格。我们解释着陡峭的下降更多的局域化。随着障碍水

10、平的增加，有效的波束宽度在二维晶格中比一维晶格中减少的更快。四、线性区域与非线性区域的区别接下来，我们将在非线性区域下研究局域效应，并观察安德森局域化在非线性条件下的影响。同时，我们也要研究在非线性局域下的一维和二维现象。同时与聚焦及非聚焦的非线性区域相比较。在非聚焦的非线性区域下，图3是在线性局域下的一维和二维现象比较的结果。比较等代梁宽度在晶格输出与无序度下的比较。宽度的无序数字是特定的。点是指总体平均数，线是指点的最小二乘方。误差线描述的是数值的分布情况。参数是在图2中所取的。在一维和二维情况下，局域化比在线性局域中更不清晰。在聚焦情况下，情况更为复杂。图三：有颜色部分表示一维和二维原子

11、晶格中的安德森局域化现象。有效波束宽度在晶格输出与障碍等级的比较。宽度是在没有障碍的情况下得到的，点系综平均和行测适合。误差线的描绘来自统计数据，参数在图2。当增强一维和二维的非线性度时，无序度增强，等代梁宽度却变得更小，而局域化却变得比在线性局域里更为清晰。然而，当再次增加聚焦非线性度时，非线性度与无序化同时存在，却有不同的结论。当聚焦非线性度时某一个特定的数值时，而无序化对局域几乎不产生影响时，就会到达一个临界值。当无序化停止对局域产生影响时，非线性临界值在一维和二维的这两个不同的条件下又是不同的。我们在一维条件下所使用的参数是，在二维条件下所使用的参数是。图4.代表的是在一维条件下线性和

12、非线性局域下的局域化比较。当数值时，代表在线性局域下。在一维和二维的条件下，我们得出非线性局域。在这样一个聚焦局域下，一维局域化比二维局域化更为清晰，而在二维条件下，非聚焦局域化又比聚焦局域化更为清晰图4（b）。在一维条件下，非线性局域化比线性局域化更为清晰。在二维条件下，情况则截然相反：线性局域化比非线性局域化更为清晰。线性局域化与非线性局域化之间的巨大差距表明了无序化与非线性化对局域化的影响。图4：线性与非线性局域化的对比。一维晶格（a）和二维晶格（b）中的晶格输出有效的波束宽度和障碍水平。参数在图2。五、维度跨越最后，我们要研究一下从一维到二维系统的维度跨越及中间区的局域化效应。从二维的

13、光晶格着手，沿着Y横轴方向延长晶格周期，以达到分散的一维水平晶格。为了进行光局域化的维度跨越的定量分析，我们用局域长？表示。局域长是为了使平均亮度面适应以指数方式为主的配置面？。随着无序度的加强，输出强度光面变窄，随着指数衰减，直接预示着局域化增强。为了研究跨越局域，我们计算出了当平均强度面在无序度达到50% 时的局域长。我们也发现横轴正反方向的不同现象。图5.交叉局域沿着Y轴的横轴方向。在线性和非线性局域下，平均强度面达到50%的无序度。局域长及晶格周期率是为了测量沿着延展横轴的线性局域与非线性局域。红圈代表着二维晶格的局域长，蓝叉代表着一维晶格的局域长，其他参数和数值2一样保持不变。在横轴

14、的维度跨越的正反方向上，我们发现了两种不同的局域长。图6.跨越局域在非延展的X轴方向，在线性和非线性局域下，平均强度面达到50%的无序度。局域长及晶格周期率是为了测量沿着非延展横轴的线性局域与非线性局域。红圈代表着二维晶格的局域长，蓝叉代表着一维晶格的局域长，其他参数和数值一样保持不变。开始时，使设置的数值一样，也就是使晶格周期率等于1，然后变化数值。但是，局域长在横轴的两个想反的方向上测量的数值相似。但是，在跨越局域及一维光晶格条件下，局域长在横轴的两个想反的方向上测量的数值不同。图5表明在中间区局域效应是延着延展横轴变化的。局域长是由强度光面计算 得出的。图5（a）是这些面在线性条件下得出

15、的，而图5（b）则是在非线性条件下得出的。高斯签名在这些面中依然是可见的。图5（c）是指在线性局域以及非线性局域条件下在的展横轴方向上的局域长及晶格周期率。尽管我们可以看到在线性局域上有些数值上的摆动，但在延展横轴方向上，随着晶格周期率的增加，局域长变短。当周期率是一定的数值时，不管是在线性局域条件下，还是在非线性局域条件下，都能得到一个最小值？。当晶格周期率为5时，我们就可以得出一维局域化（蓝叉）。这时的局域长比二维条件下的局域长短。安德森局域化在非延展性横轴方向上的维度跨越是由图6展现的。图6（a）代表相关的强度光面输出值，6（b）代表在线性条件下的相关的强度光面输出值。在二维条件下，在正

16、反横轴方向上的局域长相近（红圈）。在中间区和一维条件下，数值则不同。在非延展横轴方向上，在中间区，局域长的数值变大，而在一维条件下，达到最大值图6（c）。晶格周期率的局域长达到5或更大时，这时局域长就要比在二维晶格长要长，且与一维条件下的晶格长相关（蓝叉）。两种不同的局域长与系统的非均向性紧密相关，这是由晶格在横轴的的非延展性决定的。六、总结我们已经在数值上分析了光的安德森局域化对维度跨越的影响。我们也已经观察了从一维到二维的安德森局域化转变的现象。我们也在此体系中研究了非线性与无序化的共同存在。在线性局域里，二维的局域化光晶格比一维的局域化光晶格更为清晰。但在非线性局域里，局域化的影响取决于

17、非线性化的强度。我们同时也观察了在非聚焦里的局域化，并将之与聚焦的局域化相比。我们在这个体系里发现了交叉维度的逐渐转变，而那存在着两种不同的局域长。在线性局域下纯粹的一维和二维的，它们的安德森局域化现象比在一维和二维的中间区的安德森局域化现象清晰。在非线性局域下，中间区的局域化现象取决于非线性的强度。答谢作者十分感谢能与Kivshar进行有用的讨论，并想答谢其他的研究人员。这项研究是由塞尔维亚科学与技术发展部门及卡塔尔国家基础研究中心支持的。参考文献：1 P. Anderson, Phys. Rev. 109, 1492 (1958).2 50 Years of Anderson Locali

18、zation, edited by E. Abrahams(World Scientific, Singapore, 2010).3 A. Lagendijk, B. van Tiggelen, and D. S.Wiersma, Phys. Today62(8), 24 (2009).4 H. Hefei, A. Strybulevych, J. M. Page, S. E. Skipetrov, and B. A. van Tiggelen, Nat. Phys. 4, 945 (2008).5 J. Billy, V. Josse, Z. Zuo, A. Bernard, B. Hambrecht, P. Lugan,D. Cl´ement, L. Sanchez-Palencia, P. Bouyer, and A. Aspect,Nature (London) 453, 891 (2008).6 S. John, Phys. Rev. Lett. 53, 2169 (1984).7 D. S.Wiersma, P.Bartolini, A. Lagendijk, and R. Righi