随机信号的谱估计方法及实现+孟波+20091342083

1、淮北师范大学 2013 届学士学位论文 随机信号的谱估计方法及实现学院、专业 物理与电子信息学院 电子信息工程 研 究 方 向 数字信号处理 学 生 姓 名 孟 波 学 号 20091342083 指导教师姓名 崔 少 华 指导教师职称 讲 师 2013 年 4 月 26 日淮北师范大学 2013 届学士毕业论文 随机信号的谱分析方法及实现1随机信号的谱估计方法及实现孟波淮北师范大学物理与电子信息学院 235000摘要 对一个确定性信号来进行傅里叶变换是频率域分析研究中的理论基础，但是对于一个随机信号来说，它是不存在傅里叶变换的，因而我们转而去研究它的功率谱。功率谱估计是数字信号处理中的一个重

2、要组成部分，其理论研究已经非常成熟，但是由于计算量的庞大传统的仿真实现往往令人不愿采用那种方法。采用功能强大的 MATLAB 软件对常用的几种线性法功率谱估计进行仿真，通过对于仿真结果进行研究讨论总结出这几种功率谱估计法的各自特点，并对其比较分析，通过对其特点仔细研究，从而在实际工作中做出合理的选择。本文简要介绍了 MATLAB 仿真软件的一些基本的功能、使用的特点和特有的优势等等，以及详细介绍了周期图法、平均周期图法、窗函数法等几种经典的功率谱估计方法的原理，并对各种方法进行仿真，通过观察到的结果来分析其优缺点，对这几种方法进行质量评价，并提出了改进方向。 关键词 自相关函数;功率谱;MAT

3、LAB;随机信号淮北师范大学 2013 届学士毕业论文 随机信号的谱分析方法及实现2Random signal spectrum estimation method and its implementation Meng BoSchool ofPhysics and Electronic Information, Huai Bei Normal University, Anhui Huaibei, 235000Abstract The Fourier transform of the deterministic signal in the frequency domain analysis i

4、s a basical, but for random signals, the Fourier transform does not exist. So we turn to study its power spectrum. Power spectrum estimation is an important part of the digital signal processing.Its theories is very mature now. Because of the hard of the traditional simulation, a lot ofpeople refuse

5、 to use it with powerful MATLAB to replace.The results of the simulation are discussed to summarize their respective characteristics of these kinds of power spectrum estimation methods and the comparative analysis. Through the carefully study of its characteristics,It results in the practical work t

6、o make the rational choice. This paper briefly introduces the MATLAB simulation software, the use of some of the basic functions of the characteristics , the unique advantage and so on, and the details of the power of several periodic graph method, average periodogram method, window function method

7、and the classical 淮北师范大学 2013 届学士毕业论文 随机信号的谱分析方法及实现3spectrum estimation method, and the method of simulation, the observed result analysis its advantages and disadvantages, to evaluate the quality of these methods and put forward the improvement direction.Keywords autocorrelation function; power spe

8、ctrum; MATLAB; random signal淮北师范大学 2013 届学士毕业论文 随机信号的谱分析方法及实现4目 录1 绪论.51.1常用的功率谱研究方法及其发展.51.2功率谱估计方法的产生.61.3功率谱估计应用方向.61.4本课题的主要研究内容.71.5MATLAB 应用方向 .71.6MATLAB 特点及其优势 .82古典法对随机信号的谱估计.92.1周期图法.92.2相关法谱估计 （BT）.92.3WELCH法 .113分析比较各种估计方法.123.1直接法.123.2间接法.133.3 WELCH法： .143.4对比分析各种估计方法.16结 论.17参考文献.18附

9、 录.19致 谢.21淮北师范大学 2013 届学士毕业论文 随机信号的谱分析方法及实现51 绪论在对信号和系统进行分析研究和处理的时候我们常用的方法主要有两种，一是对信号在时域进行分析处理，二是对信号在频率进行处理研究。这两类方法都是信号处理的重要方法。我们常认为功率谱就是无穷多个自相关函数的函数，如果只是单纯的对于数据进行观测，那么其只有有限个，也就只能得到有限个自相关函数。但如果想要根据有限个样本数据，去对随机序列的真正功率谱进行分析和计算，这才是我们常常面对的求取功率谱的最主要的问题，这是一个对于功率谱进行的估计问题。对于功率谱进行估计是随机信号处理的一个非常重要的课题，我们常常使用的

10、功率谱的估计方法主要是经典估计，我们也称之为线性估计。经典谱估计有可以分成两种，一种是 BT 法，也叫间接法；另一种是周期图法。这种方法是先按照有限个观测数据估计自相关函数，再计算功率谱。在 FFT 还未出现之前，BT法在很长时间里是最为常用的方法。但一直到 FFT 出现以后，周期图法才逐渐受到人们的重视。这种方法是直接对观测数据进行快速傅里叶变换,再求取模的平方，最后再除以 N 从而得到功率谱。将这两种方法相对比可知，周期图法较为简单，不用去估计其自相关函数，而且可以用快速傅里叶变换进行计算。因此，相对而言周期图法得到了更广泛的应用。频率分辨率低是经典谱估计的一个很致命且难以克服的缺点，这是

11、因为傅里叶变换域是无限大的，然而观察到数据却只是有限个，默认了所有观察不到的数据为 0，然而事实上 n 以外的信号仍有较强的相关性，所以这样估计出功率谱与真实的功率谱相比就会出现很大的偏差。信号在时域中与一个矩形窗函数相乘实际上相当于在频域与一个 sinc 函数卷积，sinc 函数分为主瓣和旁瓣，这样使卷积后的功率谱与真正的功率谱也不相同。sinc 函数的主瓣会导致谱的分辨率降低；而旁瓣则会引起间接导致信号失真。通过采用不同的窗函数，从而使得谱估计的分辨率得到很大的提高。旁瓣的压低常常是以增加主瓣宽度为代价的，因此经典谱估计有一个致命且难以避免和克服的缺点那就是谱分辨率很低。11.1常用的功率

12、谱研究方法及其发展对于功率谱进行谱估计是数字信号处理中的一个非常重要的内容，主要就是淮北师范大学 2013 届学士毕业论文 随机信号的谱分析方法及实现6研究信号在频域变换过程中的不同特性，其目的是根据有限数据提取有用信号。现在的谱估计是经过漫长的发展过程而来的，最早给出了“谱”的概念的人是英国的著名科学家牛顿。其后来自法国的著名工程师傅立叶首次提出了傅立叶谐波分析理论。即使是在今天该理论依然是数字信号处理的重要理论基础。在傅立叶级数被提出以后，曾被广泛应用于对自然界中周期信号的观测。在19 世纪末期，Schuster 提出利用傅立叶级数的幅值的平方去作为函数中功率的度量单位，并命名其为“周期图

13、”。最早的经典谱估计法就是这样被提出来的，即使是现在，这种方法依然被使用，不同的是现在是用快速傅立叶变换（FFT）去对离散傅立叶变换（DFT）进行计算的，信号中功率的度量单位是 DFT 的幅值的平方。周期图因为方差性能较差人们便开始去研究另外的分析方法。Yule 在 20 世纪 20 年代年提出了去用线性回归方程来模拟一个时间序列。事实上这是参数模型法谱估计的基础。 巴特利特在 20 世纪中叶第一次次提出了利用自回归模型系数来对功率谱进行计算。Toeplitz 矩阵结构在线性预测和自回归模型中都被使用了，根据该矩阵的特点 Levinson 曾在 20 世纪中叶第一次次提出了解 Yule-Wal

14、ker 的快速计算方法。他做的这些工作为现代谱估计的发展奠定了很好的理论基础。Cooley 和 Tukey在 1965 年提出的 FFT 算法，也对谱估计的发展起到了很大的促进作用。21.2功率谱估计方法的产生在通信系统中，我们往往需要研究具有某种统计特性的随机信号。由于随机信号是一类持续时间无限长，具有无限大能量的功率信号，所以它不满足在时域绝对可积的条件，也即不满足傅里叶变换条件，又因为其连解析表达式都不存在，因此就不能够应用确定信号的频谱计算方法去分析随机信号的频谱。然而，虽然随机信号的频谱不存在，但其相关函数确实确定的。对于一个平稳的随机信号，它的功率谱密度函数和它的相关函数的傅里叶变

15、换是一样的，我们称之为功率谱。1.3功率谱估计应用方向我们对于功率谱进行研究的最大意义就是因为其有着非常广泛的应用，在分析和认识一个随机信号时，我们通常要从对它的功率谱进行估计开始。信号处理中功率谱估计是一种比较常用的处理手段。在信号处理的许多地方，我们必须要在之前就清楚地了解信号的功率谱密度，这样才能最精确的去对信号进行还原，淮北师范大学 2013 届学士毕业论文 随机信号的谱分析方法及实现7对信号中夹杂的噪声进行有效滤除。通过对信号的功率谱进行估计可以得到信号的一系列其他参数。由于白色噪声的 PSD(用表示)为一常数即，于是有：)(P2)(P (1-1)22)()(HPyy所以通过对信号噪

16、声的估计，可以估计出系统的频率特性的粗略特性。)(H从宽带噪声中检测出窄带信号。在信号处理领域我们通常用功率谱估计处理此类问题。但是这对功率谱估计的分辨率有较高要求，要不然很难能够精确地地检测出来。如何去提高谱估计的分辨率已成为目前谱估计研究课题中的一项重要内容，功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率） ，信号分离，系统辨识等。谱估计技术是在通信系统中是一项重要内容。维纳滤波、卡尔曼滤波，可用于自适应滤波，信号波形预测等。1.4本课题的主要研究内容本课题的研究重点是对随机信号的功率谱密度系统性能的分析。首先对功率谱估计的

17、方法进行分析理解，然后通过 matlab 编程，得到仿真结果。对比各种谱估计方法总结出相关结论。 1.5MATLAB 应用方向MATLAB 的应用领域： （1） 数值分析。（2） 符号和数值计算。（3） 科学与工程绘图。（4） 控制系统的仿真与设计。(5) 对于数字图像进行处理。（6） 对于数字信号进行处理。（7） 对于通讯系统进行仿真与设计。（8） 对于金融与工程进行仿真。在主流的学术界，MATLAB 已经被大家公认为是最为为准确、可靠的科学计算软件。在许多国际高端的学术期刊上，都有着 MATLAB 的广泛应用，目前 MATLAB已广泛应用于：数值与符号的计算、工程绘图、科学绘图、对于数值进

18、行分析、淮北师范大学 2013 届学士毕业论文 随机信号的谱分析方法及实现8建模和仿真、控制系统的设计与仿真、数字图像处理、数字信号处理、通讯系统设计与仿真、财务与金融工程。具体表现为：航天工程、自动控制、生物医学工程、汽车工业、图像处理、语音处理、信号分析、雷达工程、计算机技术等诸多领域中。31.6MATLAB 特点及其优势特点：（1） 该语言可用于技术计算。（2） 该开发环境可管理代码、数据和文件进行。（3） 交互式工具可以按迭代的方式去设计及求解问题。（4） 数学函数有着极其广泛的应用。（5）三维和二维图形函数可用于可视化数据。（6）诸多工具可被应用于构建用户的自定义图形界面。（7）不同

19、的函数可集成多种语言和应用程序。（8）不能支持大写输入，其内核仅支持小写。4优势：（1）较好的的编程环境和工作平台。（2）程序语言简单易用。（3）科学计算和数据处理能力较强。（4）较好的图形图像处理功能。（5）高集成度工具箱可以被广泛的应用于诸多领域。（6）发布平台和程序接口较为实用。（7）应用软件开发（包括用户界面）很符合操作习惯。5淮北师范大学 2013 届学士毕业论文 随机信号的谱分析方法及实现92古典法对随机信号的谱估计2.1周期图法 周期图法又称直接法。它是从随机信号 x(n)中截取一段信号长度为 N，我们就认为它是能量有限的信号 x(n)真实功率谱的估计的抽样.)(jwxeS)(j

20、wxeS周期图法包含了下列二条假设：1周期图法认为抽取出来的随机序列是各态遍历的而且也是广义平稳的，可以用其中的某一段抽样序列来估计该随机序列的功率谱。这当然必然带来误差。2我们常对采用离散傅里叶变换法，此时可认为在时域里是周)(nxN)(nxN期的,在频域也是是周期的。之所以称其为周期图法是因为我们认为随机序)(kxN列样本 x(n)是所截取序列的一个周期性延拓。而利用相关法求相关函数时)(mRx将以外是其他数据全部都默认为是零，这也正是相关法与周期图法的不同)(nxN之处。现实中我们常将相关法与周期图法结合使用。 62.2相关法谱估计 （BT）相关法的谱估计通常有叫做间接法，这种方法是以相

21、关函数作为中间媒介来间接对功率谱进行求取和计算的。这种方法的具体操作可分为一下三个步骤：第一步：从无限长随机序列 x(n)中截取长度为 N 的有限长序列列。)(nxN第二步：由 N 长序列求（2M-1）点的自相关函数序列。即)(nxN)(mRx (2-1)()(1)(10mnxnxNmRNnNNx这里，m=-(M-1),-1,0,1,M-1，MN，是一个双边序列，因为自相)(mRx关函数的偶对称性式，所以只要求出其中的一半采样点即 m=0,M-1 的傅里叶变换，另一半也就知道了。第三步：由相关函数的傅式变换求功率谱。即 (2-2)jwmMMmXjwxemReS)()(1)1(从上面的操作过程可

22、以看出利用了两种不同的分段方式进行截断，一次是将淮北师范大学 2013 届学士毕业论文 随机信号的谱分析方法及实现10 x(n)截成 N 长，称为加数据窗，一次是将想 x(n)截成（2M-1）长，称为加延迟窗。所得的功率谱仅是近似值，常称之为谱估计，式中的代表估计值。一般取)(jwxeSMN，这样可以简化功率谱的计算难度并提高谱估计的质量。因此，在快速傅里叶变换法出现之前相关法是一种比较常用的谱估计方法。随着快速傅里叶变换法的普及，我们不再像以前一样单纯的去利用相关法，因为截断后的可视作能量信号，由相关卷积定理可得)(nxN (2-3)(mRx)()(1mxmxNNN由式（2-3）可以看出相关

23、被化为线性卷积，并可以用快速卷积来实现。若对（2-3）两边取（2N-1）点 DFT，则有 (2-4)2121212)(1)()(1)(KXNKxkxNmRNNNx此时用频域乘积来代替时域卷积，用快速相关求的方法过程可以分为)(mRx以下几个步骤：（1）对 N 长的充（N-1）个零，成为（2N-1）长度。 )(nxN（2）求（2N-1）点的 FFT，得。 220121212)()(NNmkNNNWnxKX（3）求。由离散傅里叶变换性质知，是非负的，212)(1KXNN)(12nxN满足共轭偶对称性，而一定是实偶的，且以（2N-1）为周期。)(12kxN212)(1KXNN （4）求（2N-1）点

24、的 IFFT： (2-5)mkNNNkNxWKXNNmR121)1(212)(1121)(这里是实偶的，m=-(N-1).0.N-1。本来 IFFT 求和范围是 0212)(1KXNN至 2N-2，由于的实偶性与周期性，求和范围改为-（N-1）至（N-212)(1KXNN1）不影响计算结果。同理可将 m 的范围改为-（N-1）至（N-1）。7在上例中利用到了快速相关的某些特性，之所以补零的目的是为了线性卷积淮北师范大学 2013 届学士毕业论文 随机信号的谱分析方法及实现11用圆周卷积来代替，这样就便于进一步采用快速卷积算法。快速相关的输出是从-（N-1）到（N-1）的 2N-1 点，加窗后截

25、取的是从（M-1）到（M-1）的频)(mWM段，最后对选取的（2M-1）点进行 FFT，得。不难看出：M 是数据点数，N)(kSx是自相关序列点数，如果 M=N，则（2N-1）点的 IFFT 后紧跟一个（2N-1）点的FFT，利用的对称性，FT 运算框的计算式变为)(mRx (2-6)(KSX1)1()(NNmXmR1212NmkNXW假设我们利用的是矩形窗因为 N=M，那么第二次的截断就不需要了。 mWM比较式（2-5）和式（2-6），, (m)RFFTkSxx）（正反傅氏变换可以抵消，直接得)(1)( 212KXNIFFTmRNx (2-7)）（kSx212)(1KXNN为了实行基 2FF

26、T，也可将采样点加 1 换成 2N 点，这样做一样可以得到同样的结果。2.3Welch 法Welch 法事实上是对 Bartlett 法的修正。它主要提出二方面的修正：其中之一是选择恰当的窗函数，直接加进法在周期图计算前，用这种方)(n法得到的每一段信号的周期图为 (2-8) )()(1)(210)(NnnjiiMennxMUI这里为归一化因子，而 Bartlett 法每段的周期图为102)(1NnnWMU (2-9)210)()(1)(NnnjiiMenxMI加这样的窗函数其最大的优点就是无可始终保证使谱估计的结果非负。另一个是在分段时，使每一段相互之间有重迭，在满足 N,M 的值一定的条件

27、下可使方差减小。Welch 建议的重迭率为 50。淮北师范大学 2013 届学士毕业论文 随机信号的谱分析方法及实现123分析比较各种估计方法3.1直接法直接法又被称为周期图法，它是把 x(n)的 N 个观测数据都看做是一个能量有限的序列，直接计算该随机序列的离散傅立叶变换，然后对其幅值求取平方，并除以 N，得到均值，将此均值作为 x(n)真实功率谱的估计。设原始信号为：)200cos(3)80cos(tty101520253035404550-40-30-20-101020图 1周期图法当 N=100 时的功率谱淮北师范大学 2013 届学士毕业论文 随机信号的谱分析方法及实现1305010

28、0150200250300350400450500-60-50-40-30-20-10010图 2周期图法当 N=1000 时的功率谱0500100015002000250030003500400045005000-70-60-50-40-30-20-10图 3周期图法当 N=100000 时的功率谱由图 1.2.3 可以看出随着采样点数的增加，该估计是渐进无偏的。且采用周期图法估计得出的功率谱很不平滑，相应的估计方差比较大。周期图法有一个缺点就是单纯的增加采样点数并不能使周期图变得更加平滑。利用周期图法得出的估计谱有其很难消除的缺点，其方差特性比较差，如果 N 太小那么其分辨率比较低，但如果

29、 N 太大，则方差较大。为了克服此缺点我们可以对其进行改进，对其改进可通过以下方法，即平均和平滑，所谓平均就是指将截取的数据段再)(nxN分成 L 个小段，再去对求取出来的功率谱求其功率谱的平均值，这种方法使虽然可以达到使估计的方差减少的目的，但是得到的负面效果就是偏差加大以及分辨淮北师范大学 2013 届学士毕业论文 随机信号的谱分析方法及实现14率下降。所谓平滑指的是用一个适当的窗函数与我们计算出的功率谱)(jweW进行卷积，从而达到平滑谱线的目的。利用这种方法计算出的谱估计是)(jweSX无偏的，有较小的方差，但是得到的负面效果那就是分辨率下降。由以上分析可知，谱估计的分辨率和方差是很难

30、兼得的。83.2间接法间接法是先由 x(n)估计出 R(n)，然后求取 R(n)的傅立叶变换，便得到 x(n)的功率谱估计。设原始信号为：)200cos(3)80cos(tty05010015020025030035040045050005101520253035图 4间接法 N=1000 功率谱图由图 4 可以看出信号一开始波形有很大的跳变且方差较大，随后进入相对稳定的状态，方差减小。BT 法有一个缺点那就是在当 M N 时, 的方差比较大,这就使得谱估)(mR计的质量下降;由 得到的有可能是负值或零,从而可能失去功率谱原本)(mR)(wS应有的物理意义。淮北师范大学 2013 届学士毕业论

31、文 随机信号的谱分析方法及实现153.3 Welch 法当前比较常用的改进方法就是 Welch 法，其又叫做加权交叠平均法，简记为WOSA 法。这种方法通过加窗的方式求取平滑，通过分段重叠的方法求得平均，因此即可实现平均又可实现平滑，具有显著优点。其主要步骤是：（1）将 N 长的数据段分成 L 个小段，每小段有 M 个点，相邻两小段间交叠M/2 点（即 2:1 分段） 。因为 L（M/2）+M/2=N,所以段数 (3-1)2/2/MMNL（2）对每一个小段加上同样的平滑窗后其傅氏变换 （3-,.1,)()()(10LienaxnxeXjwnMnijwi2）（3）用下面的公式求取每一个小段功率谱

32、的平均值 （3-21)(11)(jwilijwieXMULeS3）这里，代表窗函数的平均功率，MU 代表 M 长窗函数的能量。设原始信号为：)200cos(3)80cos(tty050100150200250300350400450500-35-30-25-20-15-10-5图 5加 Hamming 窗后功率谱图淮北师范大学 2013 届学士毕业论文 随机信号的谱分析方法及实现16050100150200250300350400450500-35-30-25-20-15-10-50图 6加矩形窗后功率谱图050100150200250300350400450500-35-30-25-20-1

33、5-10-50图 7加 blackman 窗后功率谱图对于一个平稳随机信号,不改变其采样频率、采样点数、FFT 点数、窗长度及重叠数据,分别加上矩形窗、Blackman 窗、 Hamming 窗，其仿真结果如图 5.6.7所示。由图 5.6.7 对比可见：对于同一个平稳随机信号加不同的窗其效果是有明显差异的。加上矩形窗其有较低的主瓣宽度，在防止信号能量泄露方面不如海明窗和 blackman 窗好，但分辨率较高，而加海明窗和 blackman 窗其主瓣宽度较大，可以很好的减少信号的能量泄露，但是其分辨率较低。三种窗各有其优缺点，具体如何选取还是根据具体的情况而定。3.4对比分析各种估计方法在以上

34、的方法中，每种方法各有其优缺点：（1) 周期图法和间接法的优点是分辨率较高，其缺点是方差比较大，曲线不平滑。淮北师范大学 2013 届学士毕业论文 随机信号的谱分析方法及实现17 (2)Welch 法与前两种方法相比较优点是方差比较小，曲线较为平滑，其缺点是分辨率比较低。 (3)Welch 法中加不同的窗其效果也是不同的，矩形窗比 Hanning 窗和Blackman 窗的主瓣包含更多的能量，因而使功率谱的主瓣较窄，分辨率比较高。且方差没有明显变大，因此是一个比较好的谱估计方法对于上面的仿真经仔细分析和研究不难发现，Welch 法在求功率谱的时候是通过加窗交叠的方法，这样处理对于减小方差以及偏

35、差有很大的好处，通常情况下更能接近设计的的要求，因而应用比较广泛。同时还可以发现，对同一个信号加上不同的窗函数，谱估计的质量及其特性是不同的。淮北师范大学 2013 届学士毕业论文 随机信号的谱分析方法及实现18结 论在经典的谱估计中，所有的方法都存在一个共同的问题那就是方差性能不好且频率分辨率比较低，其原因是进行谱估计时需要对数据进行加窗截断，用自相关函数及其有限个数据去估计无穷多个数据的功率谱，事实上这就默认了除窗以外的其他数据以及自相关函数都是零，用此方法研究其实是不严谨的，这种假设因为不符合事实所以使得经典谱估计分辨率较差。此外，在经典谱估计的功率谱定义中没有对极限和平均值的求取，这就

36、使得谱估计的方差比较大，如果数据很短，这个问题会变得更为严重。如何才能选取最好的窗函数、如何才能提高频谱的分辨率，如何才能增加信号谱估计质量，这都是将来我们需要进一步研究。淮北师范大学 2013 届学士毕业论文 随机信号的谱分析方法及实现19参考文献1胡广书. 数字信号处理：理论、算法与实现（第二版）M.北京：清华大学出版社，20032美 John G.Proakis Dimitris G.Manolakis.数字信号处理算法与应用（第三版）M.北京：中国电力出版社，20043苏金明.MATLAB 7.0 实用指南 M.北京：电子工业出版社，20044魏巍.MATLAB 信息工程工具箱技术手册M.北京：国防工业出版社，20045郑阿奇,曹戈,等. Matlab 实用教程M.北京:电子工业出版社 ,20076 John Wiley & Sons .Introduction to Discrete-Time Signal ProcessingM.北京中国电力出版社，1976.7丁玉美.数字信号处理 时域离散随机信号处理 M.西安电子科技大学出版社,2002.8姚武川,姚天任.经典谱估计方法的 Matla 分析 J.华中理工大学学报,2000,(4):1517淮北师范大学 2013 届学士