平面问题差分解

1、例题例题第一节第一节 差分公式的推导差分公式的推导第四节第四节 应力函数的差分解应力函数的差分解第五节第五节 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例 弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件、形变与位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程和边界条件。近似解法 因此，因此，弹性力学问题属于微分方程的弹性力学问题属于微分方程的边界问题。边界问题。通过求解，得出函数表示的精通过求解，得出函数表示的精确解答。确解答。 对于工程实际问题，由于荷载和边界对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函数式的解答。为此，较复杂，难以求出函数式的解答。为此，人们探讨人们探讨弹性力学的各种近

2、似解法，弹性力学的各种近似解法，主要主要有有变分法、差分法和有限单元法。变分法、差分法和有限单元法。近似解法)(xf21, fffxo 21 ff3f 1x2x3x)(xf差分法;d ,d1212ffffxxxx;dd1212xxffxfxf差分法将将微分方程微分方程用差分方程（代数方程）代替，用差分方程（代数方程）代替，于是，求解微分方程的问题化为求解差分于是，求解微分方程的问题化为求解差分方程的问题。方程的问题。将将导数导数用有限差商来代替，用有限差商来代替，将将微分微分用有限差分来代替，用有限差分来代替，导数差分公式 在平面弹性体上划分等间距h 的两组网格，分别x 、y 轴。网格交点称为

3、结点，h称为步长。应用应用泰勒级数公式泰勒级数公式 将将 在在 点展开点展开，)(xfox).()()(! 21)()()()(32oo22oooxoxxxfxxxfxfxf(a)抛物线差分公式抛物线差分公式略去式(a)中 以上项，分别用于结点1、3，;)(2)(o222oo1xfhxfhff3x,0301hxxhxx。022200)(2)(3xfhxfhff抛物线差分公式结点3，结点1，)()2(1)(),(21)(0312022310bfffhxfffhxf。抛物线差分公式式(b)又称为中心差分公式中心差分公式，并由此可导出高阶导数公式。从上两式解出o点的导数公式，)(3xo 抛物线差分公

4、式 差分公式差分公式()及及()是以相隔是以相隔2h的两结点处的函的两结点处的函数值来表示中间结点处的一阶导数值，可称为中点数值来表示中间结点处的一阶导数值，可称为中点导数公式。导数公式。 以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值，可称为端点导数公式。一阶导数值，可称为端点导数公式。 应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，精度较高。因为前者反映了结点两边的函数变化，精度较高。因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映了结点一边的函数变化。因此，我而后者却只反映了结点一边的函数变化。因此，我们总

5、是尽可能应用前者，而只有在无法应用前者时们总是尽可能应用前者，而只有在无法应用前者时才不得不应用后者。才不得不应用后者。线性差分公式线性差分公式在式(a)中仅取一、二项时，误差量级为 。)(2xo,)(001xfhff)( , )(1)(010cffhxf线性差分公式式(c)称为向前差分公式。向前差分公式。对结点1，得：,)(003xfhff)(),(1)(300dffhxf,02 T,)(bsqnT,bsTT 例11S2S 稳定温度场的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第一类边界条件是已知边界上的温度值；在 上的第二类边界条件是已知热流密度值，其中是导热系数。1S2S0)(02 T; 0)

6、(443210TTTTT1T2)(yq,)()(22yqyT(d),2)(0102hTTyT.)(22010yqhTT2T10T(e)ab40353025322224222017。0)222030(4,0)223532(4abbaTTTT13.25,53.28baTT（度）.yxf23思考题 对于单连体，按应力函数单连体，按应力函数 求解时，求解时， 应满足:)( )( .)(,)( )2()( )( ; 0 ) 1 (4bSSflmfmlaAysxyyxsyxx按 求解)( . , ,22222cyxxyxyyx按 求解)()(41)()(),2(1)()(),2(1)()(86750310

7、4220202022020220dhyxhxhyxyyx。差分法求解1.1.应力公式应力公式( (c) )的差分表示。的差分表示。对于o点， 差分法求解：差分法求解：0)(04 )(2)( 820876543210. 0)(1211109i相容方程(e)化为： 对每一内结点， 为未知，均应列出式(e)的方程 。2.2.相容方程相容方程(a)的差分的差分表示，表示，x相容方程yxy边界条件 应力边界条件用 表示 取出坐标 的正方向作为边界线s 的正向（图中为顺时针向），当移动 时， 为正，而 为负，外法线的方向余弦为dsdxdy.sin,cosdsdxmdsdyl边界条件,)(dd)(dd222

8、xfyxsxysy.)(dd)(dd222yfyxsyxsx,)(ddxfys( f ).)(ddyfxs边界条件即将上式和式(d)代入式(b)，得)(.)()(,)()(gdsfxxdsfyyBAABBAAByx边界条件式( f )、(g)分别是应力边界条件的微分、积应力边界条件的微分、积分形式。分形式。再将式(f )对s 积分，从固定的基点A到边界任一点B，得 通过分部积分从A到B积分，得yyxxddd.B,d)d(duvuvvuAAyyyxxxABABAB)()(.d)(d)(BAyBAxsfxxsfyyBB边界条件(h)由全微分 求边界点求边界点的的 Ax, 0)( ,)( ,AAyx

9、A)(.)(d)(,d)(,d)(idsfxxsfyysfxsfyBAyBAxBAyBBAxBBBB边界条件AyAAx)(Ay)(边界条件,BBx)(.)(By和边界条件BBx)(By)(0)()(AAyxAxyxy求解步骤（2）由边界结点的 、 值，求出边界 外一行虚结点的 值；（1）在边界上选定基点A， 令 ， 然后计算边界上各结点的 、 、 ；4.4.应力函数差分解的步骤应力函数差分解的步骤（3）对边界内所有结点列式(e)的方程， 联立求各结点的 值；求解步骤（5）按式(d)求各结点的应力。（4）求出边界外一行虚结点的 值；q问题 此题无函数式解答。应用差分法求解。 正方形深梁正方形深梁

10、, ,上边受均布荷载 ，下边两角点处有支承反力维持平衡，试求其应力。1.本题具有对称性对称性，取y轴如图，并取以反映对称性。, 0)()(AAyxA取网格如图。 AB间y向面力主矢量号， AB间x向面力主矢量， AB间面力对B点力矩，BAxBBAyBsfysfxd)(d)(BAxsfyyBBd)(BAysfxxBd)(注意符号为正.0)(04 i5. 求出应力求出应力，如AM线上各点应力，并绘 出分布图。4. 求出边界外一行虚结点的 值值。3. 对每一内点列差分方程 ，求求 出出 。2. 由边界点 的导数值，求出边界外一行 虚结点的虚结点的 值值。;75. 0 ,75. 0qminqmaxxx

11、.24. 0 ,84. 1qminqmaxxx比较xx 差分法优点差分法优点：差分法评价)(3xo )( xo 缺点缺点：差分法评价0)(02 Ta（Z向厚度 ）1AyB2FFFxaaa2.用差分法计算 图中A点的应 力分量。例题1例题2例题3例题4例题例题例题例题1 1设图中的矩形域为 ，取网格间距为h=2m,布置网格如图，各边界点的已知温度值（度）如图所示，试求内结点a,b的稳定温度值。mm 46 ab40353025322224222017解：对a,b列出方程如下：. 02220304, 02235324abbaTTTT解出.(13.25 ,53.28度）baTTFaBxy3aaaA.7

12、1（Z向厚度 ）1F65. 0)()(AAyxA. 0432B.)( , 0)(3FyxB0)(Ay.1516172Fa,.0)()(;611)( ,6)(ByAyBxAxaFaF)22(2)28(204231BA0.)(7652Fa1211ll14lh1098HGEDIJBAChhhh323414323111276xy1h=l/4FF0)()(AAyxA 计算各边界结点处的 、 、 值。 在A点及J点，各取 布置于两侧，以 反映荷载的对称性，按公式（其中 即AB之间面力对B点的力矩，图中以顺时针方向为正）。2F,d)(d)(,d)( ,d)(BAyBAxBBAyBBAxBsfxxsfyysf

13、xsfyBBxyByxF/2F/2F/2-Fh/2-Fh/2-Fh 计算边界外一行结点的 值。, 0)(,JIBAy,)()(2,3,3,212,11,7,6,2)(,FxGED.)()(3,4,310,9,8Fh. 0282012,11,10, 98 ,7, 6, 54, 3 , 2, 10,4416228,2168162043214321FhFh对结点1，对结点2，对结点3，对结点4，.2221648,78248243214213FhFh.5206. 0 ,5056. 0,1873. 0 ,2640. 03321FhFhFhFh解出),2(1)(),2(1)(03,104,22020hhyx4lh .0528.2)( ,8912.0)(,1648.0)(;6136.0)( ,4424.0)(,4984.1)(1412lF