微积分课件第4节多元复合函数的求导法则

1、1 返回一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则二、多元函数的全微分形式不变性二、多元函数的全微分形式不变性第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则目的要求：目的要求：一一. .掌握求多元复合函数偏导数的方法掌握求多元复合函数偏导数的方法二二. .了解多元函数的全微分形式的不变性了解多元函数的全微分形式的不变性重点重点: :多元复合函数的一阶及二阶偏导数计算多元复合函数的一阶及二阶偏导数计算难点难点: :抽象复合函数的偏导数计算抽象复合函数的偏导数计算第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则复合函数形式的复杂性，也使得多元复合函数复合函数形式的复

2、杂性，也使得多元复合函数求导法则形式具有多变性，学习中要注意把握求导法则形式具有多变性，学习中要注意把握函数的函数的结构特征与法则结构特征与法则之间的联系之间的联系. 同一元复合函数求导法则相同，同一元复合函数求导法则相同，多元复合多元复合函数函数求导法则在多元函数微分学中起着重要作求导法则在多元函数微分学中起着重要作用，它是多元函数微分学的用，它是多元函数微分学的核心核心.但是由于多元但是由于多元一、复合函数求导法则（链式法则）一、复合函数求导法则（链式法则）一、复合函数求导法则一、复合函数求导法则 设函数设函数 z= f (u, v) , ).(),(xxfz 设函数设函数 u = (x)

3、 与与v = (x) 在在x 处均可导处均可导, xzdd则复合函数则复合函数 对对 x 的导数存在的导数存在, )(),(xxfz zuvx求导公式求导公式函数结构函数结构),(xu )(xfy ),(ufy xuuyxydddddd 一元复合函一元复合函数求导法则数求导法则yux（中间变量为一元函数）中间变量为一元函数）函数函数则有复合则有复合),(),(xvxu 而而且且二元函数二元函数 z = f (u , v )在在 x 对应点对应点(u , v)处有一阶连续偏处有一阶连续偏定理定理导数导数,.ddxvvz xuuzdd 全导数全导数1.链式法则链式法则1复合函数的中间变量为一元函数

4、的情形复合函数的中间变量为一元函数的情形(链式法则链式法则),()(xxxu ).()(xxxv 证证，有增量有增量设自变量设自变量xxxoxvvzxuuzxz)( ,dxduxu,dxdvxv由于函数由于函数 z = f (u, v) 在点在点(u, v) 有连续偏导数有连续偏导数, ,)(ovvzuuzz ,)()(22vu ,0时时当当x0)()( xoxo.ddddlimdd0 xvvzxuuzxzxzx 所以所以所以所以则则xzdd.ddxvvz xuuzdd ),(),(xvxu 设函数设函数 z= f (u, v) , ).,(),(yxyxfz 多元复合函数的中间变量为多元复合

5、函数的中间变量为二元函数二元函数的求导法则的求导法则 设设 在点在点(x, y)处有偏导数处有偏导数, ),(),(yxvyxu 在点在点(x, y)处偏导数存在处偏导数存在,),(),(yxyxfz yz xz 求导公式求导公式函数结构函数结构zuvxy(中间变量为二元函数中间变量为二元函数)复合函数复合函数则有则有),(),(yxvyxu 而而且且则复合函数则复合函数而而 z = f (u, v)在对应点在对应点(u, v)有连续偏导数有连续偏导数, 定理定理 xuuz ;xvvz . yvvzyuuz 2.链式法则链式法则2 复合函数的中间变量为多元函数的情形复合函数的中间变量为多元函数

6、的情形例例1 1 设设 求全导数求全导数.dxdz,2vuz ,cosxu ,sin xv 解解xuxuvcos)sin(22 dxdvvzdxduuzdxdz zuvx由复合函数求导法则，得由复合函数求导法则，得.cossin2cos23xxx 解解2xxzsincos2 dxdzxxcossin22 .cos3x 一、复合函数求导法则一、复合函数求导法则., yzxz 例例2 设设 求求,sineyxvxyuvzu 解法解法1xz yz 1cosesine vyvuu).cos()sin(eyxyxyxy ).cos()sin(eyxyxxxy 1cosesine vxvuu)sin(e

7、yxyxy ).cos()sin(eyxyxyxy 由复合函数由复合函数)sin(eyxzxy 直接求偏导数直接求偏导数由复合函数求导法则，得由复合函数求导法则，得解法解法2xz )cos(eyxxy zuvxyxvvzxuuz yvvzyuuz yz ).cos()sin(eyxyxxxy )sin(e yxxxy )cos(eyxxy 一、复合函数求导法则一、复合函数求导法则.,. 122yzxzxyvyxuuzexv 求求设设Solution.xvvzxuuzxz yuuxvuvv ln21)ln()(2)(22222122yxyxyyxyxxy yvvzyuuzyz xuuyvuvv

8、ln21)ln()(2)(22222122yxyxxxyyxxy zuvxy一、复合函数求导法则一、复合函数求导法则小结二、复合函数微分法xzddzuvx.ddxvvz xuuzdd 1.链式法则链式法则1 复合函数的中间变量为一元函数的情形复合函数的中间变量为一元函数的情形yz xz zuvxy xuuz ;xvvz . yvvzyuuz 2.链式法则链式法则2复合函数的中间变量为多元函数的情形复合函数的中间变量为多元函数的情形因为多元复合函数类型复杂因为多元复合函数类型复杂, ,所以不要死记公式所以不要死记公式, ,要学会用要学会用函数结构图函数结构图.一、计算多元函数的全微分作业：P32

9、3 1(1) ,2（1） 下次课内容一、多元复合函数的求导法则复习二、复合函数微分法xzddzuvx.ddxvvz xuuzdd 1.链式法则链式法则1 复合函数的中间变量为一元函数的情形复合函数的中间变量为一元函数的情形yz xz zuvxy xuuz ;xvvz . yvvzyuuz 2.链式法则链式法则2复合函数的中间变量为多元函数的情形复合函数的中间变量为多元函数的情形因为多元复合函数类型复杂因为多元复合函数类型复杂, ,所以不要死记公式所以不要死记公式, ,要学会用要学会用函数结构图函数结构图.一、计算多元函数的全微分yyxfxyxfzyxd),(d),(d 3.链式法则链式法则3复

10、合函数的中间变量既有复合函数的中间变量既有一元又有多元函数一元又有多元函数的情形的情形)(),( yyxfz xz 则复合函数则复合函数 设函数设函数 z= f (u, v) , ),(),(yvyxu 而而 在点在点(x, y)处偏导数存在处偏导数存在, 且有且有zuvxy,xuuz yz . dydvvzyuuz 这类情形实际上是情形这类情形实际上是情形2的一种特例，的一种特例，,无无关关与与即即变变量量xv, 0 xv从从而而这样，这样，,一一元元函函数数是是因因为为yv换换成成所所以以yv ,dydv从而有上述结果。从而有上述结果。yz xz xuuz ;xvvz . yvvzyuuz

11、 一、复合函数求导法则一、复合函数求导法则4.链式法则链式法则4复合函数的某些复合函数的某些中间变量中间变量本身又是复合函数的本身又是复合函数的自变量自变量情形情形),(yxu ),( xyxfz .yuufyz ;xuuf xz xf 这里的这里的 与与 是代表不同的意义是代表不同的意义. xfxz 则复合函数则复合函数注意注意:zxuyxz ,),( 看看做做常常量量中中的的yxyxfz 是把复合函数是把复合函数,求求偏偏导导数数而而对对xxf ),(xufz 设设函函数数看看做做不不变变的的中中的的是是把把函函数数uxufz),( .求求偏偏导导数数而而对对x .也也有有类类似似的的区区

12、别别与与yfyz 在点在点(x, y)处偏导数存在处偏导数存在, 且有且有在链式法则在链式法则3的情形中，的情形中， 一种常见的情况是：一种常见的情况是：xz 在用复合函数求导公式对复合函数求导时，在用复合函数求导公式对复合函数求导时，首先要首先要 搞清楚哪些变量是搞清楚哪些变量是自变量自变量，哪些变量是，哪些变量是中间变量中间变量，以及，以及 中间变量又是哪些自变量的函数，总之搞清复合关系，中间变量又是哪些自变量的函数，总之搞清复合关系， 可以帮助我们正确求导，以致简化求导过程。可以帮助我们正确求导，以致简化求导过程。 函数函数z对某个自变量求偏导数时，对某个自变量求偏导数时， 3.一般地，

13、有一般地，有几个自变量几个自变量，再把所有乘积项相加。再把所有乘积项相加。并相应乘以该中间变量对自变量的偏导，并相应乘以该中间变量对自变量的偏导，必须使必须使z逐个对中间逐个对中间变量求偏导数，变量求偏导数，则在每个偏导数中就应有则在每个偏导数中就应有几项相加几项相加。有有几个中间变量几个中间变量，函数就有函数就有几个偏导数几个偏导数；注:2.2.掌握链式法则：连线相乘掌握链式法则：连线相乘, ,分路相加分路相加1.1.分析函数结构图分析函数结构图一、复合函数求导法则一、复合函数求导法则 (2) 设设z= f (u,v,w),),(),(),(yxwwyxvvyxuu ),(),(),( yx

14、wyxvyxufz xz .ywwzyvvzyuuzyz zuvwxy (1) 设设z= f (u,v,w), ),(),(),(xwwxvvxuu ),(),(),( xwxvxufz xwwzxvvzxuuzxzdddddddd uxzwv函数为函数为其复合其复合其复合函数为其复合函数为则则则则xuuz xvvz .xwwz 推广：推广：中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形 (3) 设设w = f (u, v) , ),(zyxu ),(zyxv ),(),(zyxzyxfw xw yvvwyuuwyw zvvwzuuwzw uvwxyz复合函数为复合函数为其其xuuw xvvw

15、多元复合函数的复合关系是多种多样的，我们不可能多元复合函数的复合关系是多种多样的，我们不可能把所有公式都写出来，也没有必要把所有的公式都写出来，把所有公式都写出来，也没有必要把所有的公式都写出来，只要我们把握住函数间的只要我们把握住函数间的复合关系复合关系及及函数对某个自变量求函数对某个自变量求偏导时，应通过一切有关的中间变量，用复合函数微分法偏导时，应通过一切有关的中间变量，用复合函数微分法微分到该自变量微分到该自变量这一原则这一原则（学会用函数结构图学会用函数结构图）,就可就可灵活地掌握复合函数求导法则灵活地掌握复合函数求导法则.一、复合函数求导法则一、复合函数求导法则解解tzdtdvvz

16、dtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 设设 求全导数求全导数,sin tuvz ,teu tvcos .dtdzzuvtt例例3由复合函数求导法则，得由复合函数求导法则，得解解2,sincosttezt dtdzttetettcossincos .cos)sin(costttet 一、复合函数求导法则一、复合函数求导法则 例例4 设设 求偏导数求偏导数.,e2sin),(222yxvxvxvxfzv 解解xvvfxfxz xvxxvv2)ecos()4(sin .2e)cos(4)sin(222222xyxxxyx

17、yx zxvyyvvfyz 由复合函数求导法则，得由复合函数求导法则，得yvxv2)ecos( .2e)cos()(2222yyxxyx 一、复合函数求导法则一、复合函数求导法则.,sin,),(. 22222yuxuyxzezyxfuexzyx 求求设设Solution.uxyzxyxzzfxfxu 2222zyxxe yzzfyfyu 2222zyxye yxzezyxsin22222 yxzezyxcos22222 例例5 设设 , 其中其中f (u,v)可微可微, 求偏导数求偏导数.),(22xyyxfz 一、复合函数求导法则一、复合函数求导法则 例例5 设设 , 其中其中f (u,v

18、)可微可微, 求偏导数求偏导数.),(22xyyxfz 令令 ,22yxu xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 其中其中 不能再具体计算了不能再具体计算了, ,这是因为函数这是因为函数 vzuz ,，vzyuzx 2，vzxuzy 2解解可得可得,xyv f 仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表达式达式. .zuvxy).,(vufz 则则 .uffuz 1 1一、复合函数求导法则一、复合函数求导法则 例例6 设设 其中其中f (u, v , t)可微可微, 求偏导数求偏导数.),(2xyzxyxfw 解解,2xyztxyvxu xw .twxz

19、vwx zw ,2twyzvwyuwx yw wuvtxyz令令于是于是xttwxvvwxuuw dd yttwyvvw zttw .twxy ),(tvufw 则则一、复合函数求导法则一、复合函数求导法则例例7 设设),(yxyxfxyz .,yzxz 求求 在这个函数的表达式中在这个函数的表达式中, 乘法中有复合函数乘法中有复合函数xz ),(yxyxfy xy ),(yxyxfy ,21ffxy yz .),(21ffxyyxyxfx ),(yxyxfx )1(121 ffxy这里这里 分别表示对第一、二个中间变量求导分别表示对第一、二个中间变量求导. .21, ff 解解所以先用乘法求

20、导公式所以先用乘法求导公式.wuvxy 1121 ff,yxvyxu 令令).,(vufw 则则一、复合函数求导法则一、复合函数求导法则zyuxySolution.xz 222ffxy 222fxfy )()1()()(2xyfxxyf yxyfyz 2ffxyf 2xff yxf 令令 ,xyu )()()(xyfxyxyf y2 22 20 0 一、复合函数求导法则一、复合函数求导法则例例8,),(),( ,),(),(),(有二阶连续偏导有二阶连续偏导在在有二阶连续偏导有二阶连续偏导在在设设vuvufzyxyxvyxu 求导过程须注意求导过程须注意: vzuz,uvxyxy yvxvyu

21、xu,xy.),(),(),(连连续续偏偏导导有有二二阶阶在在则则复复合合函函数数yxyxyxfz 二、高阶偏导数.,),(zxuxufxyzzyxfu 2 2求求具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导设设Solution.1 1f 注意注意),(11xyzzyxff ),(22xyzzyxff zxu 21111f 22221211)(f yf zxyfzxyf vwuxyz),(,wvfuxyzwzyxv 则则令令xwwuxvvuxu )(2 21 1fyzfz 2 2fyz xyf1212 2 2f y yz )(xyff22222121 例例9二、高阶偏导数vwxyz2 21 1ff ,.,

22、),(.zxuxufxyzzyxfuex 2 2求求具具有有二二阶阶连连续续导导数数设设Solution.)1(yzfxu 注意注意)(xyzzyxff yfyzxyfzxu )1)(1(2 )(,vfuxyzzyxv 则则令令vuxyz二、高阶偏导数例例10设设解解, xyxyfz其中其中f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数 .,222yxzxz 求求),(,vufzxyvxyu 由复合函数求导法则，得由复合函数求导法则，得zuvxyxvvzxuuzxz ,2vufxyyf vuff ,uvxy22xz 令令vfxy32 2xy uvuufxyyf2 vvvufxyyf2, xyxyff

23、uu xyxyffvv,y 二、高阶偏导数因为因为f 具有二阶连续偏导数，具有二阶连续偏导数，,vuuvff vvuvuuvfxyfxyfyfxyxz4222232222 类似地，类似地，yxz 2.132vvuuvufxyxyffxf 所以所以故故22xz vfxy32 2xy y vvvufxyyf2 uvuufxyyf2uf ,2vufxyyfxz xyvxyu ,vuff ,uvxy uvuufxxfy1vfx21 .12 vvvufxxfxy小结一、复合函数的求导法则yz xz zuvxy xuuz ;xvvz . yvvzyuuz 链式法则链式法则2复合函数的中间变量为多元函数的情

24、形复合函数的中间变量为多元函数的情形2.2.掌握链式法则：连线相乘掌握链式法则：连线相乘, ,分路相加分路相加1.1.分析函数结构图分析函数结构图),(),( yxyxfz 设设 z= f (u, v) , ),(),(yxvyxu 练习：练习：.,),(),(),(.),(),(.yzxzdzyxhvyvxguvuxfzzyyxfwvuf 存在，求存在，求的偏导数的偏导数可微，可微，设设的偏导数的偏导数可微，求可微，求设设2 21 1思考题思考题思考题解答思考题解答等式左端的等式左端的z是作为一个自变量是作为一个自变量x的函数，的函数， 而而等等式式右右端端最最后后一一项项f是是作作为为xv

25、u,的的三三元元函函数数， 写出来为写出来为( , , )ddddxu v xxzfuxux ( , , )( , , )d.du v xxu v xfvfvxx作业： P323 2(3)；5(2);6(1) 下次课内容一、多元函数的全微分形式的不变性二、隐函数微分法37一、多元函数的全微分形式的不变性二、隐函数微分法复习复习一、复合函数微分法一、复合函数微分法yz xz zuvxy xuuz ;xvvz . yvvzyuuz 链式法则链式法则2复合函数的中间变量为多元函数的情形复合函数的中间变量为多元函数的情形函数结构图函数结构图.),(),( yxyxfz 设设 z= f (u, v) ,

26、 ),(),(yxvyxu duufdy)( 这一性质称为这一性质称为一元函数一阶微分形式的不变性一元函数一阶微分形式的不变性形式形式,还是中间变量还是中间变量,则无论则无论u 是自变量是自变量,)(可可微微设设一一元元函函数数ufy 二、一阶全微分形式不变性回顾回顾:一元函数一阶微分形式的不变性一元函数一阶微分形式的不变性的的微微分分都都具具有有相相同同的的函函数数)(ufy .dddvvzuuzz 设设 二元函数二元函数z = f (u, v)有连续偏导数有连续偏导数, 如果如果u, v是中间变量是中间变量, ),(),(yxyxfz 的全微分为的全微分为yyzxxzzddd 其中其中 ,

27、 xvvzxuuzxz 当当u, v是是则复合函数则复合函数且具有连续偏导数且具有连续偏导数, ),(),(yxvyxu 即即 . yvvzyuuzyz 自变量时自变量时,有有多元函数的一阶全微分形式不变性多元函数的一阶全微分形式不变性yyvvzyuuzxxvvzxuuzzd dd 所以所以yyvvzyuuzxxvvzxuuzzd dd yyvxxvvzyyuxxuuzdddd.ddvvzuuz 由此可见由此可见, , 不论不论 u, vu, v是是自变量自变量还是还是中间变量中间变量, , 这个性质称为这个性质称为一阶全微分的形式不变性一阶全微分的形式不变性. .vvzuuzzddd 函数函

28、数z = f (u, v) 的全微分的形式具有同一形式的全微分的形式具有同一形式. .),(),(yxvyxu 例例1 1 求函数求函数 的偏导数和全微分的偏导数和全微分. .xyeyxz)( 解一解一xz yz dvduvud )(udvvduuvd )(2)(vudvvduvud 解二：解二：微分公式微分公式dyyzdxxzdz dyxyxedxyxyexyxy) 1()1 (22 dz故故)(xyeyxddz 由微分运算性质及全微分形式不变性，得由微分运算性质及全微分形式不变性，得)()(yxdedeyxxyxy ),1(2yxyexy ).1(2 xyxexy)()(xydeyxxy

29、)(dydxexy 二、一阶全微分形式不变性)()(xdyydxeyxxy dyxyxedxyxyexyxy) 1()1 (22 且且),1(2yxyexzxy ).1(2 xyxeyzxy)(dydxexy )()(xydeyxxy )(dydxexy dz二、一阶全微分形式不变性例例1 1 求函数求函数 的偏导数和全微分的偏导数和全微分. .xyeyxz)( 例例2 .,ln22dzyxz求求设设 解一解一)(ln22yxddz )ln(2122yxd )(1212222yxdyx )(1212222dydxyx ).(122ydyxdxyx 例例2 .,ln22dzyxz求求设设 由微分

30、运算性质及全微分形式不变性，得由微分运算性质及全微分形式不变性，得二、一阶全微分形式不变性例例2 .,ln22dzyxz求求设设 解二解二)ln(21ln2222yxyxz xz xyx2 .12122 22yxx yz yyx2 .12122 22yxy 故故dyyxydxyxxdz2222 利用全微分公式利用全微分公式二、一阶全微分形式不变性例例3 .,02yzxzezezxy 和和求求已已知知解解等式两端求微分，得等式两端求微分，得, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy, 02)( dzedzxdyydxezxydzez)2( ),(xdyydxexy dz,

31、22dyexedxeyezxyzxy ,2 zxyeyexz所以所以.2 zxyexeyz二、一阶全微分形式不变性 例例4 设设 其中其中f (u, v)有连续偏有连续偏导数导数, 求求),sin,(22xxyxfz . dz解解 设设,sin,22xvxyxu vvzuuzzddd d)d2(yxxyxuz .dd2sin)2(yuzxxvzxuzyx 由二元函数一阶微分形式不变性，得由二元函数一阶微分形式不变性，得).,(vufz 则则)dcossin2(xxxvz 二、一阶全微分形式不变性 例例4 设设 其中其中f (u, v)有连续偏有连续偏导数导数, 求求),sin,(22xxyxf

32、z . dz解解2,sin,22xvxyxu yyzxxzzddd ,2sin)2(vzxuzyx ).,(vufz 则则xz 设设zuvxyyz uzx .dd2sin)2(yuzxxvzxuzyx zd故故二、一阶全微分形式不变性小结小结一、复合函数微分法一、复合函数微分法yz xz zuvxy xuuz ;xvvz . yvvzyuuz 链式法则链式法则2复合函数的中间变量为多元函数的情形复合函数的中间变量为多元函数的情形函数结构图函数结构图.),(),( yxyxfz 设设 z= f (u, v) , ),(),(yxvyxu 二、一阶全微分形式不变性二、一阶全微分形式不变性 .dddvvzuuzz P271.求下列函数的